книги / Строительная механика машин

∂∂Qxx dxdy + ∂∂Qyy dydx + qdxdy = 0 ,

из которого следует:

	∂Q	∂Qy
	x +		+ q = 0 .	(1.7)
		∂y
	∂x

а

б

Рис. 1.5. Схема положительных направлений моментов (а) и сил (б) в срединной плоскости элемента пластины

Взяв моменты от всех действующих на элемент сил относительно оси х, получим другое уравнение равновесия:

	∂Мxу	dxdy −	∂Мy	dydx +Qy dxdy = 0 .	(1.8)
	∂x		∂y

11

Моментом нагрузки q и моментом, возникающим вследствие изменения силы Qy , пренебрегаем ввиду того, что они представля-

ют собой величины более высокого порядка малости. Тогда после упрощений уравнение равновесия (1.8) принимает вид:

– относительно оси х

	∂Мxу	−	∂Мy	+Qy = 0 ,	(1.9)
	∂x		∂y

– относительно оси у

∂Мух	−	∂М	х +Q	= 0 .	(1.10)
∂у		∂х	х

Поскольку в направлениях х и у сил нет, а относительно оси z нет моментов, то три уравнения (1.7), (1.9) и (1.10) полностью определяют равновесие элемента. Исключим из этих уравнений перерезывающие силы Qх и Qy . Определив их из уравнений (1.9), (1.10)

и произведя подстановку их значений в уравнение (1.7), получим:

	∂2 М	х +	∂2 Мух	+	∂2 Му	−	∂2 Мху	= −q .	(1.11)
	∂х2		∂у∂х		∂у2		∂х∂у

	Учитывая, что Мху = −Мух			(вследствие того что				τху = τух),
	представим уравнение равновесия (1.11) в окончательной форме:
	∂2 М	х +	∂2 Му	−2	∂2	Мху	= −q .	(1.12)
	∂х2		∂у2		∂х∂у

Для определения зависимости изгибающих моментов от функции прогибов рассмотрим чистый изгиб пластинки (рис. 1.6).

Выделим из пластинки элемент, как показано на рис. 1.7. Пусть 1 / rx и 1/ ry обозначают кривизны нейтральной поверхности n–n

в сечениях, параллельных соответственно плоскостям xz и yz. В таком случае, как и для балки, мы можем найти относительные удли-

12

нения в направлениях x и y для элементарного слоя abcd, отстоящего от нейтрального слоя на расстояние z:

εх = rz , rz . (1.13)

xy

Сучетом закона Гука (1.1) находим соответствующие напряжения в слое abcd: εy =

σ

=

Ez

1

+µ

1

σ

=

Ez

1

+µ

1

х

,

y

.

(1.14)

2

1

−µ

2

1−µ

rx

ry

ry

rx

Рис. 1.6. Чистый изгиб пластины

Рис. 1.7. Элемент пластинки

Эти напряжения пропорциональны расстоянию z от слоя abcd до нейтральной поверхности и зависят от величины кривизны изогнутой пластинки.

Поскольку эти нормальные растяжения распределены по боковым граням показанного на рис. 1.7 элемента, то их можно привести к парам, величины которых, приходящиеся на единицу длины, должны быть, очевидно, равны внешним моментам Мх и Му. Таким пу-

тем получаем уравнения:

h		h
2	σхzdydz = M x dy,	2	σy zdxdz = M y dx.
∫		∫		(1.15)
−h		−h
2		2

13

Подставив в них вместо σх и σу выражения (1.14), получим соотношения для определения изгибающих моментов:

	1
M x = D
r
	x

	1
M y = D
r
	y

+µ

+µ

1			= −D ∂2 w
ry			∂x2
1			= −D ∂2 w
rx			∂y2

+µ

+µ

∂2 w

∂y2 ,

(1.16)

∂2 w

∂x2 .

В случае действия касательных напряжений τ в слое abcd (см. рис. 1.7) по сечению, параллельному оси z, необходимо определять крутящий момент:

	M xy = −M yx =	Gh3	∂2 w	= D(1−µ)	∂2 w	,	(1.17)
		6	∂x∂y		∂x∂y

где G – модуль сдвига.

Отметим, что вследствие малой толщины элемента в сравнении с размерами пластинки пренебрегаем влиянием на изгиб перерезывающих сил Qх и Qy и сжимающего напряжения σz = 0 , вызванно-

го нагрузкой q.

Подставляя выражения (1.16), (1.17) в уравнение (1.12), найдем дифференциальное уравнение изогнутой поверхности:

	∂4 w	+	∂4 w	+		∂4 w		=	q	,	(1.18)
	∂x4		∂x2∂у2			∂у4			D
	или в символической форме:
			∆∆w =		q		.				(1.19)
					D

Уравнение (1.18) было получено Лагранжем в 1811 г., когда он рассматривал доклад, представленный во Французскую Академию наук Софией Жермен.

14

Уравнениями (1.9), (1.10) воспользуемся для определения пере-

резывающих сил:

Qx = ∂М∂уух + ∂∂Мхх

Qy = ∂М∂xхy + ∂∂Мyy

	∂			2	w		2	w
= −D				∂		+	∂			,
				∂x2			∂y2
	∂x
	∂			2	w		2	w
= −D				∂		+	∂		.
				∂x2			∂y2
	∂y

(1.20)

(1.21)

Компоненты тензора напряжений при изгибе определяются так:

σij =				Mij		z ,	(1.22)
или с учетом закона Гука так:				I
ε		=		Mij	z ,		(1.23)
	ij
				ЕI
где Mij – изгибающий момент				(рис. 1.8); I – момент			инерции,

I= h2 ; z – расстояние до срединной поверхности. 12

σijmax

Мij

h

–σmaxij

Рис. 1.8. Распределение по сечению максимальных нормальных напряжений при изгибе пластины

Тогда максимальные напряжения

σmax		= ±	6Mij	.	(1.24)
	z=± h
ij			h2
	2

В декартовой системе координат максимальные нормальные напряжения имеют вид:

15

σmaxx

h

= ±

6M

x

,

σmaxy

h

= ±

6M y

.

(1.25)

z=±

h2

z=±

h2

2

2

В случае действия касательных напряжений τ сдвиговые деформации

γ =	τ	.	(1.26)
	GI

Максимальные касательные напряжения имеют вид:

τmax		= ±	6M xy	.	(1.27)
	z=± h
xy			h2
	2

Для определения касательных напряжений τхz и τyz предполо-

жим, что они распределены по толщине пластинки по параболическому закону. Тогда:

τ

=

3 Q

τ

=

3 Qy

хz

x

,

yz

.

(1.28)

max

2

h

max

2

h

Таким образом, задача об изгибе пластинки поперечной нагрузкой сводится к интегрированию уравнения Софии Жермен (1.18). Если для какого-либо частного случая решение этого уравнения найдено и оно удовлетворяет граничным условиям, то с учетом выражений (1.16), (1.17) для определения моментов могут быть вычислены нормальные и касательные напряжения, а также относительные деформации (удлинения) в направлениях х и у:

εх =	M x −µM y	z ;	εy =	M y −µM x	z ,	(1.29)
	EI			EI

и сдвиговые деформации:

γхy =	M xy	z.	(1.30)
	GI

16

Таким образом можно определить напряженно-деформирован- ное состояние пластинки, которая находится под поперечной нагрузкой.

Кривизны в осевых направлениях можно определить по формулам:

θ

=

1

= −

∂2 w

, θ

=

1

= −

∂2 w

, θ

=

1

= −

∂2 w

, (1.31)

x

r

x2

y

r

y2

xy

r

∂x∂y

x

∂

y

∂

xy

где rx , ry , rxy – радиусы кривизны в соответствующих направлениях.

1.4. Изгиб круглых пластин

При изгибе круглой пластинки (рис. 1.9) расчет необходимо проводить в цилиндрических координатах. Начало координат поместим в центре неизогнутой пла-

стинки и через r обозначим радиальные расстояния точек, лежащих в срединной плоскости. Тогда максимальный наклон изогнутой поверхности в некоторой точке А

будет равен	dw , кривизна же сре-
	dr
динной поверхности пластинки в
диаметральном сечении rz для ма-				Рис. 1.9. Изгиб круглой пластины
лых прогибов выразится производ-
ной
	1		= − dw	= dϕ	,	(1.32)
		r
			dr	dr
		n

где ϕ – малый угол между нормалью к изогнутой поверхности

	в точке А и осью симметрии ОВ.
	Из условий симметрии заключаем, что	1	представляет собой
		r
		n

одну из главных кривизн изогнутой поверхности в точке А. Вторая

17

главная кривизна лежит в сечении, проходящем через нормаль АВ и перпендикуляр к плоскости rz. Заметим, что подобные АВ нормали для всех остальных точек срединной поверхности с радиальным расстоянием r образуют в своей совокупности коническую поверхность с вершиной в точке В. Очевидно, что расстояние АВ представляет собой радиус кривизны, который мы обозначим через rt . Тогда из

рис. 1.9 получим:

	1	= −	1 dw	=	ϕ .	(1.33)
	r		r dr
					r
	t

Имея выражения (1.32) и (1.33) для главных кривизн, мы можем получить и соответствующие значения изгибающих моментов, полагая, что между этими моментами и кривизнами остаются в силе соотношения (1.16), которые выведены в предположении незначительного влияния касательных напряжений на величину прогибов. Пользуясь этими соотношениями, получаем изгибающие моменты, отнесенные к единице длины, по окружным (тангенциальным) Мt сечениям пластинки и диаметральному Мr сечению rz:

= − 1 dw Mt D r dr

M = −D d 2 w r dr2

+µ d 2 w2 = −D ϕ				+µ dϕ ;
	dr		r			dr
+	µ dw	= −D dϕ			+	µ	ϕ .
	r dr		dr			r

(1.34)

(1.35)

Уравнения (1.34) и (1.35) содержат лишь одну переменную из двух, которая может быть определена из условий равновесия элемента пластинки, аналогичного, например, элементу abcd на рис. 1.10, вырезанному из пластинки двумя цилиндрическими сечениями ab и cd и двумя диаметральными ad и bc.

Пара сил (момент), действующая по грани cd элемента, равна

Mr rdθ,

(1.36)

а соответствующая пара сил по грани ab выразится произведением

18

		Мr +	dMr	dr	(r + dr)dθ,	(1.37)
			dr

где dθ – угол раствора вырезанного элемента (см. рис. 1.10).

Рис. 1.10. Условия равновесия пластинки

Каждая из пар сил, приложенных по граням ad и bc элемента,

равна Mt dr, обе же вместе они дадут	равнодействующую пару
в плоскости rOz, равную
Mt drdθ.	(1.38)

Полная перерезывающая сила, действующая по грани cd элемента, будет Qrdθdr ; соответствующая же сила по грани ab равна

Q + dQ dr			(r + dr )dθ .	(1.39)
	dr

Пренебрегая малой разностью между перерезывающими силами по двум противоположным граням элемента, мы вправе утверждать, что эти силы дают пару в плоскости rz, равную

Qrdθdr. (1.40)

19

Складывая с надлежащими знаками моменты (1.36), (1.37), (1.38), (1.40) и пренебрегая моментом от приходящейся на элемент внешней нагрузки как малой величиной более высокого порядка, получим для элемента abcd следующее уравнение равновесия:

Мr +

dMr

dr

(r + dr )dθ− Mr rdθ− Mt drdθ+Qrdθdr = 0.

dr

Из него, пренебрегая малой величиной более высокого порядка,

находим:

Мr +

dMr

r − Mt

+Qr = 0 .

(1.41)

dr

Если вместо

Mt и Мr

подставить сюда их выражения (1.34),

(1.35), то уравнение (1.41) примет вид:

d 2ϕ

+

1 dϕ

−

ϕ

= −

Q

,

(1.42)

dr2

r dr

r2

D

или в другом виде:

d 3w

+

1 d 2 w

−

1 dw

=

Q

.

(1.43)

dr3

r dr2

r2

dr

D

В любом частном случае симметрично нагруженной круглой пластинки перерезывающая сила легко может быть вычислена путем деления распределенной по окружности радиусом r нагрузки на 2πr . Тогда уравнениями (1.42) и (1.43) можно будет воспользоваться для определения наклона ϕ и прогиба w пластинки. Интегриро-

вание этих уравнений упрощается, если мы заметим, что их можно представить следующим образом:

d		1 d				Q
				(rϕ)	= −		,	(1.44)
dr r dr						D

20