книги / Теоретическая механика

	Ответ: a2 =	m2	−m1	g	.
		m2	+ m3	2
	Д30. Согласно теореме о движении центра масс системы пла-
	стина + точка,
		(m1 + m2 )aC = N					+(m1 + m2 )g + Fтр .
	Проецируя это уравнение на оси x, y и учитывая, что (при дви-
	жении пластины)		Fтр = f N , получим xC = − f yC − f g , откуда

xC = − f yC − f gt 2 2 +C1t +C2 . Далее,

(m1 + m2 )xC = m1x1 + m2 (x1 − Rsin kt), (m1 + m2 ) yC = m1b + m2 (b + R cos kt ).

Подставляя два последних равенства в выражение, содержащее произвольные постоянные C1 , C2 и находя эти постоянные из ус-

ловий x1(0) = 0 , x&1(0) =V0 , получаем

Ответ: x1(t) =V0t − fgt 2 2 +	m2 R	[f (1−cos kt) +sin kt − kt].
	m + m	2
	1

Д31. Согласно теореме о движении центра масс системы

(m1 + m2 + m3 )aC = N D + X A +YA + (m1 + m2 + m3 )g .

Проецируя это уравнение на (горизонтальную) ось x, найдем

3m xC = X A . Далее xC =(xC1 + xC2 + xC3 )	3 , где xC1 = (l 2)cos ϕ,
xC2 = (3l 2)cos ϕ , xC3 = 2lcos ϕ, откуда	xC = (4l 3)cos ϕ . Диффе-

ренцируя последнее равенство дважды по времени и полагая ϕ = 0 ,

ϕ = −ω1 , получим xC = −(4l3)ω21 ; таким образом, X A = −4mlω21 . Величину ω1 найдем из закона сохранения полной энергии:

Tнач + Пнач =Tкон + Пкон ,

71

где Tнач = 0 ,	Пнач = m1g (l 2)sin ϕ0 +m2 g (l 2)sin ϕ0 = mglsin ϕ0 (вы-
сота отсчитывается от уровня точки A), T		= J ω2 2 + J		2	ω2 2 ,
	кон	1 1			2
J1 = J 2 = ml2	3 , ω1 = ω2 (МЦС стержня 2 – в точке D),		Пкон = 0 .
Получаем ω21	=3(g l)sin ϕ0 .

Ответ: X A = −12m g sin ϕ0 .

К задаче Д32 К задаче Д33

Д32. Кинетическая энергия системы

T =T +T

2

+T = m V

2

2 + J

2

ω2

2 + m V 2

2 + J

ω2

2 ,

1

3

1 1

2

3 C

3

3

где

J

2

= m

R2 2 ,

J

3

= m

R2

2 . Так как (см. рисунок) ω

2

=V

R

2

,

2

2

3

(R 2),

1

V

C

=V

, V

D

=V

,

CC

V

=C

V

D , ω

3

=V

то T = BV 2

2 , где

1

1

1

1

B = m1 + m2

2 +3m3 . Сумма мощностей активных сил

∑N a = −m1gV1 −m3 gV1 + M ω3 = QV1 ,

где

Q = 2M R −(m1 + m3 )g . Из теоремы об изменении кинетиче-

ской энергии системы в дифференциальной форме (или из уравнения Лагранжа) следует, что a1x =QB ; a1 = a 1x .

72

Ответ: a1 =			2M R −(m1 + m3 )g			.
			m1 + m2 2 +3m3
Д33. Уравнение вращательного движения стержня OA:
			(m1R2 3)ε1 = M − N1R 2 .
Уравнение поступательного движения ползуна B:
				m2aB = N1					2 .
Из	этих уравнений			следует, что				M =(m1R2 3)ε1 + Rm2aB .
Найдем aB (кинематическая часть задачи).											Так как стержень AB
совершает мгновенно поступательное движение, то ωAB = 0 . Далее,
aB = aAn + aAτ + aBAn + aBAτ .				Проецируя это равенство на прямую AB,
находим	aB = −aAn + aAτ + aBAn 2 . Так							как			aAn = ω21R , aAτ = ε1R ,
aBAn = ωAB AB = 0 , то aB =(ε1 −ω21 )R .
Ответ: M =					2				2	.
		m1ε1 3		+ m2 (ε1 −ω1 )			R

73

Список литературы

1.Березина С.Г., Пушкарев А.Э. Задачи олимпиад Удмуртии по теоретической механике 2000–2004 гг. с ответами и решениями. – Ижевск.: Изд-во ИжГТУ, 2005. – 80 с.

2.Березкин Е.Н. Решение задач по теоретической механике.

Часть 1. – М.: Изд-во МГУ, 1973. – 92 с.

3.Березкин Е.Н. Решение задач по теоретической механике.

Часть 2. – М.: Изд-во МГУ, 1974. – 136 с.

4.Березова О.А., Друшляк Г.Е., Солодовников Р.В. Теоретиче-

ская механика: сборник задач. – Киев.: Вища школа, 1980. – 400 с.

5.Будник Ф.Г., Зингерман Ю.М., Селенский Е.И. Сборник за-

дач по теоретической механике. – М.: Высшая школа, 1987. – 176 с.

6.Кирсанов М.Н. Решебник. Теоретическая механика. – М.:

Физматлит, 2002. – 384 с.

7.Методические указания по решению нестандартных задач механики / сост. А.Н. Борисова, А.А. Рыков. – Новосибирск: Изд-во Новосибир. электротехн. ин-та, 1989. – 48 с.

8.Механика. Научные исследования и учебно-методические разработки: междунар. сб. науч. тр. / под ред. А.О. Шима-

новского. – Гомель: БелГУТ, 2007. – Вып. 1. – 107 с.

9.Механика. Научные исследования и учебно-методические разработки: междунар. сб. науч. тр. / под ред. А.О. Шима-

новского. – Гомель: БелГУТ, 2008. – Вып. 2. – 148 с.

10.Механика. Теория, задачи, учебно-методические разработки: сб. науч. тр. / под ред. А.О. Шимановского. – Гомель:

БелГУТ, 2006. – 144 с.

11.Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механи-

ке. – М.: Наука, 1981. – 480 с.

74

12.Попов А.И. Механика. Решение творческих задач динамики.

– Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2009. – 88 с.

13.Попов А.И. Механика. Решение творческих профессиональных задач. Часть 2. – Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2007. – 80 с.

14.Попов В.И., Тышкевич В.А., Шумский М.П. Сборник олим-

пиадных задач по теоретической механике. Часть 1: Статика и кинематика. – Тамбов: Изд-во ТИХМа, 1992. – 104 с.

15.Попов В.И., Тышкевич В.А., Шумский М.П. Сборник олим-

пиадных задач по теоретической механике. Часть 2: Динамика. – Тамбов: Изд-во ТИХМа, 1992. – 124 с.

16.Сборник задач по теоретической механике / Н.А. Бражни-

ченко [и др.]. – М.: Высшая школа, 1974. – 520 с.

17. Сборник задач по теоретической механике / под ред.

К.С. Колесникова. – М.: Наука, 1989. – 448 с.

18.Сборник конкурсных задач олимпиад по теоретической механике / под ред. А.В. Чигарева. – Минск: Тэхналогiя, 2000.

– 281 с.

19.Сборник олимпиадных задач по теоретической механике. Часть 1: Статика / А.И. Попов [и др.]. – Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2006. – 96 с.

75

Учебное издание

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Избранные задачи студенческих олимпиад ПГТУ

Составили:

Н.А. Воронович, М.А. Осипенко

Редактор и корректор Е. М. Сторожева

Подписано в печать 31.03.2010. Формат 90×60/90. Усл.печ.л. 4,75. Тираж 100 экз. Заказ № 000/2006.

Издательство Пермского государственного технического университета

Адрес: 614000, г. Пермь, Комсомольскийпроспект, 29, к. 113.

тел.: [phone]