книги / Оптимизация технологических процессов механической обработки

	V D 0,27 S 0,8 t 0,13 ≤	R	a зад	n0,1	;
		0,27		Z 0,48

− ограничение по волнистости поверхности, определяемое по эмпирической зависимости и представленное в работе [15],

	Wz пр =		Z 0,12			Sпоп0,91 t 0,32		.
				VD		0,28 n0,18
Из условия Wz пр ≤Wz пр.зад					получаем ограничение по вели-
чине волнистости
	Sпоп0,91 t 0,32				Wz пр.зад n0,18
				≤					.
	VD	0,28				Z 0,12

Определение минимума целевой функции при оптимизации режимов шлифования

При оптимизации режимов шлифования необходимо определить экстремальное значение целевой функции F (V, S, t) на допустимой области, заданной техническими ограничениями, полученными ранее, в пространстве трех переменных VD, S, t.

Область технических ограничений представляет собой криволинейный многогранник, заданный системой неравенств

(рис. 3.3).

Необходимо найти точку в области допустимых решений, в которой целевая функция будет минимальна. При общем подходе рассматриваются четыре типа точек А, B, C, D. Точка А находится внутри многогранника решений; B – на одной из его кри-

81

волинейных граней; C – на одном из его ребер; D – на одной из вершин многогранника.

	D	S
t
		C

А

B

0

V

Рис. 3.3. Графическое представление задачи определения точек в области технических ограничений, в которых целевая функция F (V, S, t) принимает минимальное значение

В работе [4] рассматриваются все случаи отыскания минимума целевой функции F (V, S, t) и делается вывод, что для целевой функции (19) точки А и B можно исключить из дальнейшего рассмотрения, и минимум целевой функции может находится только в точках C и D.

82

Первоначально отыскивается минимум на ребре многогранника, в точке С, затем – на вершине многогранника, в точке D. Для получения минимума целевой функции в точке C решаются системы из двух параметрических уравнений, представляющих совокупность технических ограничений, с получением функциональных зависимостей VD = f(t), S = f(t).

Полученные решения систем уравнений подставляем в формулу для целевой функции (19), после чего она примет вид

F(t) =

1

A

+

В1

.

(23)

ψ

ψ

1

t

+

И(Т) 1

T (t)

1

t

где ψ, ψ1, А1, В1 – постоянные, зависящие от условий шлифования. Найдем минимум целевой функции (23) с помощью произ-

водной

∂F

ψ′ И(Т)

ψ

=

−

×

∂t

ψ+2

И(Т) ψ+1

ψ+1

И(Т)

t

1

+

t

1

+

t

ψ′

t

B

1

B1 [T (t)−1

]′ .

× A1

+

1

+

ψ

ψ

T (t)

t

+

И(Т) 1

1

t

Приравняв ∂∂Ft к 0 , получим уравнение, из которого опре-

деляется значение t. По найденному t из ранее полученных зависимостей определяется значение VD и S.

83

Из всех полученных точек для рассматриваемых ребер отбрасываются те, которые не принадлежат многограннику ограничений. Это приводит к необходимости определять значение функции F (VD, S, t) в вершинах многогранника. Определение точек вершин многогранника (точки D) производится на основе решения систем из трех уравнений, представляющих совокупность принятых технических ограничений.

Из всей совокупности найденных точек, расположенных на ребрах и вершинах многогранника, выбирается та, в которой

F(VD , S, t) минимально.

3.5.Определение оптимальных режимов резания

сиспользованием вероятностной модели

Врассматриваемой ранее оптимизации режимов резания математические модели исследуемых процессов включали технические ограничения и целевые функции, которые выражались в виде зависимостей от некоторого числа управляемых и неуправляемых параметров. Такой подход принято называть детерминированным. Однако при более точном описании процесса резания необходимо учитывать влияние целого ряда случайных факторов, которые воздействуют на область технических ограничений, вид и величину целевой функции. В этом случае при выборе оптимальных значений режимов резания необходимо учитывать вероятностный характер математической модели, что требует применения стохастических методов стратегии поиска оптимума.

84

Вкачестве случайных факторов, оказывающих влияние на процесс резания, можно выделить следующие их отклонения от принятых значений:

1) размеров заготовки;

2) величинприпусковдляобработкиотдельныхповерхностей;

3) физико-механических свойств обрабатываемого материала; 4) геометрии и физико-механических свойств материала ре-

жущего инструмента, включая значение стойкости инструмента; 5) мощности привода главного движения станка; 6) точностных характеристик станка;

7) жесткостиразличныхэлементовтехнологическойсистемы. Учитывая связь между входными и выходными параметрами, можно предположить, что в предлагаемой постановке задачи значения оптимизируемых параметров скорости V, подачи S

иглубины резания t будут случайными величинами и, соответственно, случайной величиной будет целевая функция.

Вэтих случаях при выборе режимов резания целесообразно использовать математическое ожидание целевой функции М(С). Так, применительно к критерию математическое ожидание «минимальной себестоимости обработки» может быть использовано следующее выражение:

М(С) = а	t	оп	+	tс.п [m1 + M (m2 )]		+	a2 tn m1 + Ви [1 + М(m2 )]	,
1				M (N0 )			M (N0 )

где а1 – стоимость станкоминуты основного времени с учетом накладных расходов; а2 – то же для заточного станка; tоп – опе-

85

ративное время обработки детали; tс.п – время смены инструмента и поднастройки технологической системы; m1 – количество смен инструмента из-за износа или допустимого числа переточек (в первом приближении равно числу периодов стойкости); M(m2) – математическое ожидание количества смен инструмента из-за поломок или выкрашивания за время m1 М(Т); М(Т) – математическое ожидание стойкости инструмента; M(N0) – математическое ожидание числа деталей, обработанных за среднее время стойкости инструмента с учетом всех переточек; tn – время на переточку инструмента; Ви – стойкость инструмента.

Математическое ожидание M(N0) числа деталей, обработанных за время стойкости инструмента, и математическое ожидание М(Т) стойкости инструмента можно определить по формулам:

	M (N0 ) = M (T )	m1	∞
			; M (T ) = ∫T f (T ) dT ,
		tp
			−∞

где f(T) – плотность вероятности стойкости, которая приближенно равна среднему числу отказов в единицу времени, приходящемуся на один испытанный инструмент.

Математическое ожидание количества смен инструмента

M (m2 ) = m1 M (T ) / tразр ,

где tразр – среднее время безотказной работы инструмента,

tразр = ∞∫Р(tразр )dt , учитывающее Р(tразр) – вероятность того, что

°

в пределах времени tразр наступит разрушение инструмента.

86

Функциональные зависимости, входящие в состав математической модели, носят вероятностный характер и описывают наряду с математическим ожиданием некоторой случайной величины ее среднеквадратичные ожидания. С учетом этого общее выражение целевой функции себестоимости обработки может быть представлено следующим образом:

C(X ) = К1

C

+ К2 σc ,

(24)

где К1 и К2 – весовые коэффициенты, учитывающие относи-

тельную важность С и σс ; С – математическое ожидание се-

бестоимости обработки; σс – среднеквадратичное отклонение себестоимости обработки.

			∂С			2
2				(yi )			2
σс									,
	= ∑		∂ yi				σyi
	i

где yi – вектор математического ожидания случайных парамет-

ров yi ; σyi – среднеквадратичное отклонение i-й случайной пе-

ременной.

Технические ограничения, накладываемые на процесс резания, в условиях вероятностного подхода могут быть представлены в виде

Р{Ri (x)≤

Ri }≥ Рi ,

(25)

где Рi – заданнаядоверительнаявероятностьдляi-гоограничения. В этих условиях общая задача оптимизации режимов резания формулируется так: определить математическое ожидание вектора оптимизируемых переменных х, который дает наибольшее (наименьшее) значение выбранного критерия оптимальности (24) с заданной доверительной вероятностью Рi в области

87

заданной ограничениями на параметры и показатели процесса резания (25).

V
Vmax
	А
	В
	D	огр. 1
	С
Vmin		огр.2
Smin	Smax	S

Рис. 3.4. Построение области АВСD распределения случайных величин

оптимальных режимов обработки Vопт , Sопт

На рис. 3.4 показано образование области распределения случайных величин оптимальных режимов обработки Vопт, Sопт при пересечении области распределения значений R1 и R2 соответственно для первого (огр. 1) и второго (огр. 2) ограничений.

Образованный криволинейный многоугольник АВСD ограничивает область всех возможных случайных величин Vопт и Sопт. Определение плотности распределения случайных величин Vопт и Sопт в многоугольнике АВСD аналитическим методом представля-

88

ет значительную трудность ввиду сложности выражений для целевой функции и технических ограничений. Для исследования распределения двухмерной (а при необходимости трех- и n- мерной) случайной величины может быть использован метод статистического моделирования Монте-Карло. Сущность его состоит в следующем: с помощью метода Монте-Карло моделируется (разыгрывается) значение всех входящих в технические ограничения и целевую функцию случайных величин. Учитывая предположение о нормальном законе распределения случайных величин X (an , σn ), можно рекомендовать алгоритм датчика случай-

ных чисел, выдающий последовательность {ri} чисел, равномерно распределенных на отрезке [0, 1]. Затем, используя формулы, известные из теории вероятности и математической статистики, получают численные значения случайных величин хi:

х1 = а1 + σ1 − 2 ln r1 cos(2 π r2 ), х2 = а2 + σ2 − 2 ln r3 cos(2 π r4 ),

хn = аn + σn − 2 ln r2n−1 cos(2 π r2n ).

Для этих принятых числовых значений рассматриваемых величин производят определение оптимальных значений Vопт и Sопт с использованием известных алгоритмов детерминированного подхода. Указанный процесс повторяется с вновь разыгрываемыми значениями всех случайных величин Х. После m по-

вторений описанного процесса получим m точек А1 (Vопт(1) , Sопт(1) ),

А2 (Vопт(2) , Sопт(2) ), …, Аm (Vопт(m) , Sопт(m) ) – так называемую статистическую выборку объема m двухмерной случайной величины А.

89

НА Ч А Л О

Ввод ис-

1ходных

данных

2К = 1

3Генерация случайных чисел {ri}

Моделирование стандартных слу- 4 чайных величин

rn =(−2 ln)r2n−1× ×cos 2πr2n

Моделирование случайныхвели- 5 чин, входящихв ограниченияи целевуюфункцию

Хn = an + σn rn

Детермини-

6рованный

алгоритм

		оптимизации
7		Формирование
		массива выборки
		АК =(Vопт(К), Sопт(К), tопт(К))
8
			К= К+ 1

Да 9

К ≤ m

Нет

Статистиче-

10скаяобработкавыборки

11VSопт ,, σσVопт , , tоптопт, σtоптSопт.

КО Н Е Ц

Рис. 3.5. Блок-схема алгоритма оптимизации режимов обработки при стохастическом подходе

90