книги / Теория вероятностей и математическая статистика
..pdfB4 – в урне был 1 белый и 3 черных шара; B5 – в урне было 4 черных шара.
Формулу полной вероятности используем в следующем виде:
P( A) = P( A / B1 ) P(B1 ) + P(A / B2 ) P(B2 ) +
+P(A / B3 ) P(B3 ) + P(A / B4 ) P(B4 ) + P(A / B5 )P(B5 ).
События B1, B2, B3, B4, B5 образуют полную систему событий, значит, их сумма равна достоверному событию и
P(B1 ) + P(B2 ) + P(B3 ) + P(B4 ) + P(B5 ) =1.
По условию все эти вероятности равны. Следовательно,
P(B1 ) = P(B2 ) = P(B3 ) = P(B4 ) = P(B5 ) = 15.
Общее число элементарных исходов n = C36 = |
4 5 6 |
= 20. |
|
|
|
1 2 3 |
|
|
|
Находим вероятности гипотез и условные ве- |
|
|
|
|
|
|
|
||
роятности. |
|
|
6б |
|
|
|
|
||
При B1: m1 = C36 = 20, P( A / B1 ) = 20 / 20 =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
При В2: m2 = C53 =10, P(A / B2 ) =10 / 20 =1/ 2. |
5б |
|
1ч |
|
|
3
21
4б
2ч
3
3б
3ч
3
2б
4ч
3
При В3: m3 = C34 = 4, P(A / B3 ) = 4 / 20 =1/ 5.
При В4: m4 = C33 =1, P(A / B4 ) =1/ 20.
При В5: m5 = 0, P(A / B5 ) = 0.
По формуле полной вероятности находим
P(A) =1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1+ |
1 |
|
1 |
|
1 |
= |
||
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ 0 |
|
= |
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|||||
5 |
2 |
5 |
5 |
5 |
20 |
5 |
5 |
5 |
2 |
5 |
20 |
||||||||||||||||
|
|
|
= |
1 |
20 +10 + 4 +1 = |
1 |
|
35 |
= |
7 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
5 |
5 |
20 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: Р(А) = 7/20.
22
Задача 1.8
В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой – 4 белых, 8 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.
Решение:
1-я урна 2-я урна
5б →3 4б →46ч 8ч
В этой задаче испытания происходят в два этапа: вначале случайным образом вынимают шары из первой урны и опускают во вторую, а затем случайно вынимают шары из второй урны.
Событие А – шары, взятые из второй урны. Рассмотрим события (гипотезы):
B1 – из первой урны вынимают 3 белых шара;
B2 – из первой урны вынимают 2 белых и 1 черный шар; B3 – из первой урны вынимают 1 белый и 2 черных шара; B4 – из первой урны вынимают 3 черных шара.
Вероятность события А находим по формуле
P(A) = P(A / B1 ) P(B1 ) + P(A / B2 ) P(B2 ) +
+P(A / B3 ) P(B3 ) + P(A / B4 ) P(B4 ).
Количество элементарных событий на первом этапе
n1 = C3 = 9 10 11 =165, 11 1 2 3
а на втором этапе
n2 = C4 = 12 13 14 15 =13 7 15. 15 1 2 3 4
23
Находим вероятности гипотез и условные вероятности.
|
|
|
m1 |
= C53 = |
4 5 |
=10, |
|
|
|
|
|
|
7б |
|
|
|
|
|
m2 = C74 = 5 6 7 = 35, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При B1 : |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
P(B ) = |
|
= |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(A / B ) = |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
165 |
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
13 7 15 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При B2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
= |
|
5 6 |
=15, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 4 5 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 = C6 |
|
1 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
m1 = C52 С16 |
= 60, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(A / B2 ) = |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
P(B ) = |
60 |
|
= 12 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
7 15 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
165 |
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При B3 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 = C54 = 5, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
m1 = C15 С62 = 5 5 6 |
= 75, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10ч |
|
|
|
|
|
P(A / B ) = |
|
|
5 |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
7 15 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P(B ) = |
75 |
|
= 15 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3 |
165 |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
3 |
= |
4 5 6 |
= 20, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m2 = C44 =1, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= C6 |
1 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
При B4 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11ч |
|
|
|
|
|
P(A / B4 ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
P(B4 ) = |
20 |
|
= |
4 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
7 15 |
. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
165 |
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
P(A) = |
2 |
|
|
|
35 |
|
|
|
|
+ 12 |
|
15 |
|
|
|
|
+ |
15 |
|
|
|
|
15 |
|
+ |
4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
13 |
7 15 |
13 |
7 15 |
33 |
13 |
7 15 |
33 |
13 7 15 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
33 |
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
70 +180 + 75 + 4 = |
|
|
|
|
329 |
|
|
|
= |
|
47 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 13 7 15 |
|
|
|
33 13 7 15 |
|
6435 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Ответ: Р(А) = |
|
|
47 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
6435 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1.9
Впирамиде стоят 19 винтовок, из них 3 винтовки с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,81, а стреляя из винтовки без оптического прицела, – с вероятностью 0,46. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.
Решение:
Вэтой задаче первым испытанием является случайный выбор винтовки, вторым – стрельба по мишени. Рассмотрим следующие события:
А – стрелок поразит мишень;
B1 – стрелок возьмет винтовку с оптическим прицелом; B2 – стрелок возьмет винтовку без оптического прицела. Используем формулу полной вероятности.
P(A) = P(A / B1 ) P(B1 ) + P(A / B2 ) P(B2 ).
Учитывая, что винтовки выбираются по одной, находим
P(B1 ) = |
|
3 |
, P(B2 ) = |
16. |
|
|
19 |
|
|
||||
|
|
19 |
|
|
||
Условные вероятности |
заданы: |
P(A / B1 ) = 0,81 |
и |
P(A / B2 ) = 0,46.
Следовательно, P(A) = 0,81 193 + 0,46 1619 = 0,515.
Ответ: Р(А) = 0,515.
Задача 1.10
В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготови- телями. На складе имеются электродвигатели названных заводов соответственно в количестве 19,6 и 11 штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями 0,85;
25
0,76 и 0,71 соответственно. Рабочий берет случайно один двигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятность того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен третьим заводом-изготовителем.
Решение:
Первым испытанием является выбор электродвигателя, вторым – работа электродвигателя во время гарантийного срока. Рассмотрим следующие события:
А – электродвигатель работает безотказно до конца гарантийного срока;
B1 – монтер возьмет двигатель из продукции первого завода; B2 – монтер возьмет двигатель из продукции второго завода; B3 – монтер возьмет двигатель из продукции третьего завода. Вероятность события А вычисляем по формуле полной веро-
ятности:
P(A) = P( A / B1 ) P(B1 ) + P(A / B2 ) P(B2 ) + P(A / B3 ) P(B3 ).
Условные вероятности заданы:
P(A / B1 ) = 0,85, |
P(A / B2 ) = 0,76 |
P( A / B3 ) = 0,71. |
|||||||
Найдем вероятности гипотез по формулам |
|
||||||||
P = m : P(B1 ) = 19 ; |
P(B2 ) = |
6 |
; |
P(B3 ) = |
11. |
||||
|
|||||||||
n |
36 |
36 |
|
|
36 |
||||
Вероятность события А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(A) = 0,85 |
19 + 0,76 |
6 |
|
+ 0,71 11 = 0,792. |
|||||
|
|
||||||||
|
36 |
36 |
|
|
|
36 |
|
||
По формуле Бейеса |
P(B / A) = |
P(Bi ) P(A / Bi ) |
вычисляем ве- |
||||||
|
|||||||||
|
i |
|
|
|
|
P( A) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
роятность того, что работающий безотказно двигатель поставлен третьим заводом-изготовителем:
26
P(B3 / A) = 0,306 0,71 = 0,274. 0,792
Ответ: Р(B3 /A) = 0,274.
Задача 1.11
В каждом из 11 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,3. Вычислить все вероятности pk, k = 0, 1, 2, ..., 11, где k – частота события А. Построить график вероятностей pk. Вычислить наивероятнейшую частоту k0 .
Решение:
Задано n = 11, p = 0,3, q = 1 – p = 0,7.
Найти p0, p1, p2,…, p11 и k0 .
Используем |
формулу Бернулли pk = Cnk pk qn−k и формулу |
||||
pk = n − k +1 |
|
p |
|
pk −1, k = 1,...,n. |
|
q |
|||||
k |
|
|
|
Значение p0 вычисляем по первой из формул, а остальные вероятности pk – по второй.
Для второй формулы вычисляем постоянный множитель и p0: qp = 0,70,3 = 0,428 571 4, p0 = C110 0,30 0,711 = 0,711 = 0,019 773 2.
Результаты вычислений представлены в табл. 1.5. Если вычис-
n
ления верны, то должно выполняться равенство pk = 1.
k =0
По найденным значениям вероятностей построим их график
(рис. 1.1).
Найдем наивероятнейшую частоту по заданным условиям:
np − q ≤ k0 ≤ np + p,
np − q = 11 0,3 − 0,7 = 3,3 − 0,7 = 2,6; np + p = 3,3 + 0,3 = 3,6 .
27
0,26Pk
0,24
0,22
0,20
0,18
0,16
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
k |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Рис. 1.1. График вероятностей pk к задаче 1.11 |
||||||||||||||
|
Получим 2,6 ≤ k0 ≤ 3,6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Поскольку k0 |
– целое число, искомая наивероятнейшая часто- |
||||||||||||||
та k0 = 3 и значение P3 |
= 0,256 8218 является максимальным. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n − k +1) |
|
|
|||
k |
|
(n − k +1) |
|
|
|
Pk |
|
|
|
k |
|
Pk |
||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
0 |
|
– |
|
0,019 773 2 |
|
6 |
|
|
6/6 |
|
0,056 605 6 |
|||||
1 |
|
11/1 |
|
0,093 216 8 |
|
7 |
|
|
5/7 |
|
0,017 328 2 |
|||||
2 |
|
10/2 |
|
0,199 750 3 |
|
8 |
|
|
4/8 |
|
0,003 713 1 |
|||||
3 |
|
9/3 |
|
0,256 821 8 |
|
9 |
|
|
3/9 |
|
0,000 530 4 |
|||||
4 |
|
8/4 |
|
0,220 133 0 |
|
10 |
|
2/10 |
|
0,000 045 4 |
||||||
5 |
|
7/5 |
|
0,132 079 8 |
|
11 |
|
1/11 |
|
0,000 001 7 |
||||||
– |
|
– |
|
|
|
– |
|
|
|
∑ |
|
|
– |
|
0,999 999 4 |
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1.12
В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит:
а) точно 270 раз; б) меньше, чем 270, и больше, чем 230 раз;
в) больше, чем 270 раз.
Решение:
Учитывая, что количество испытаний n = 700 довольно велико, можно использовать локальную теорему Муавра – Лапласа:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
P (k) ≈ |
ϕ(x) |
, ϕ(x) = |
1 |
|
e− |
x |
, x = k − np |
|
|||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
n |
|
npq |
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
npq |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и интегральную теорему Муавра – Лапласа: |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Pn (a;b) ≈ Φ(x2 ) − Φ(x1 ), |
|
|
|
|||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
−t |
2 |
|
|
a |
− np |
|
|
b − np |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Φ(x) = |
|
|
|
e |
2 dt, x1 |
= |
|
npq |
, x2 |
= |
npq |
. |
|||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2π −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) задано: n = 700, p = 0,35, k = 270. Найти P700 (270).
Используя локальную теорему Муавра – Лапласа, находим
npq = |
700 0,35 0,65 = 159,25 = 12,6; |
||||
x = |
270 − 700 |
0,35 |
= |
25,0 |
= 1,98. |
|
12,6 |
|
|
12,6 |
|
Значение функции ϕ(x) находим из таблицы (прил. 6):
ϕ(1,98) = 0,0562; P700 (270) = 0,056212,6 = 0,004 46;
29
б) задано: n = 700, p = 0,35, a = 230, b = 270. Найти P700 (230;270) .
Используем интегральную теорему Муавра – Лапласа. Находим:
x = 230 − 700 |
0,35 |
= −1,19; |
x |
2 |
= 270 − 700 |
0,35 |
= 25,0 = 1,98; |
|
1 |
12,6 |
|
|
|
12,6 |
|
12,6 |
|
|
|
|
|
|
|
P700 (230;270) = Ф(1,98) − Ф(−1,19) =
= Ф(1,98) + Ф(1,19) = 0,4761+ 0,3830 = 0,8591.
Значения функции Ф(х) находим из таблицы (прил. 7).
в) задано: n = 700, p = |
0,35, a = 270, b |
= 700. Найти: |
|||
P700 (270;700). |
|
|
|
|
|
Находим: |
|
|
|
|
|
npq = 12,6; x = 1,98; |
x |
2 |
= 700 − 700 |
0,35 |
= 36,1; |
1 |
|
12,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
P700 (270;700) = Ф(36,1) − Ф(1,98) = 0,5 − 0,4761= 0,0239.
Задача 1.13
В каждом из 500 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие А происходит:
а) точно 220 раз; б) точно 190 раз;
в) меньше, чем 240, и больше, чем 180 раз; г) меньше, чем 235 раз.
Решение:
При решении этой задачи используем теоремы Муавра – Лапласа: локальную в случаяха) иб) и интегральную дляслучаев в) и г).
а) задано: n = 500, p = 0,4, k = 220. Найти P500 (220).
30