книги / Метрология, стандартизация и сертификация
..pdf2.Измерить линейные размеры деталей, указанные преподавателем (внутренние и наружные диаметры, высота, длина, ширина в зависимости от вида деталей). Выполнить одно измерение каждого размера.
3.Результаты измерений записать в таблицу.
|
|
|
|
Таблица |
|
|
|
|
|
Измеряемый |
Цилиндр (кольцо) мал. |
Цилиндр (кольцо) больш. |
||
параметр |
Микрометр |
ШЦ |
ШЦ |
линейка |
Диаметр d, мм |
|
|
|
|
Высота h, мм |
|
|
|
|
V, мм3 |
|
|
|
|
δv |
|
|
|
|
V, мм3 |
|
|
|
|
V = (V± V) мм3 |
|
|
|
|
Результаты прямых измерений диаметра и высоты цилиндров записать в таблицу с той точностью, с какой позволяет измерить средство измерений.
4. Определить объём цилиндра (кольца), используя соотношение
V = |
π d 2 |
h |
, мм |
(2) |
4 |
|
|||
|
|
|
|
где π =3,14… – числовой коэффициент; d – диаметр цилиндра, мм; h – высота цилиндра, мм.
5. Определить относительную погрешность измерений, выраженную в относительных единицах:
δv = |
V . |
(3) |
|
V |
|
Для определения относительной погрешности измерений δv необходимо формулу (3.3) преобразовать в удобную для расчета, используя формулу (3.2):
21
V = |
π d 2 h |
, мм3 |
(4) |
|
4 |
||||
|
|
|
В полученной формуле ∆d, ∆h – погрешности средств измерений, используемых при измерениях.
При косвенных измерениях физических величин очень часто используются табличные данные или иррациональные константы. В силу этого используемое при расчетах значение константы π, округленное до некоторого знака, является приближенным числом, также вносящим свою долю в погрешность измерений.
Эта доля погрешности называется погрешностью записи (округления) константы.
6. Определить погрешность вычисления объема по формуле
V = δv V , мм3. |
(5) |
7. Округлить погрешности измерений и записать результат измерений объёмов цилиндров:
V = (V ± V ) , мм3. |
(6) |
Для того чтобы записать окончательный результат косвенных измерений, необходимо произвести округление погрешности измерений ∆V, согласовать числовые значения результата измерений и погрешности.
8.Подготовиться к сдаче работы по контрольным вопросам.
9.Убрать рабочее место, сдать преподавателю, ведущему занятие, детали и инструменты.
Контрольные вопросы:
1.Какие измерения называют однократными?
2.Как учитывают личные (субъективные) погрешности при однократных измерениях?
3.Какие измерения называют косвенными?
4.В чем измеряется абсолютная и относительная погрешности измерений?
22
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4
МНОГОКРАТНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ. ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ПРИ МАЛОМ ЧИСЛЕ НАБЛЮДЕНИЙ И НЕИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИИ
Цель работы: научиться определять доверительную вероятность и погрешность для среднего арифметического значения при многократных измерениях (при n = 2…20, где n – количество измерений).
Теоретические сведения
Среднее значение результатов бесконечно большого числа наблюдений (n→∞) стремится к истинному значению измеряемой величины. На практике мы вычисляем среднее значение на основании конечного числа наблюдений, обычно одну и ту же величину измеряют от 2 до 20 раз в зависимости от соотношения случайной и систематической составляющих погрешности и от степени значимости результатов измерений. В некоторых случаях, при исключительной важности результатов, таких измерений может быть 50 и более.
Каждое частное определение измеряемой величины характеризуется некоторым отклонением от среднего значения:
vi = xi − x, |
(1) |
где vi – отклонение i-го результата наблюдения от среднего арифметического значения измеряемой величины.
Для оценки погрешностей отдельных измерений и их среднего арифметического значения при многократных измерениях определяют величину средних квадратических отклонений.
Вычисление среднего квадратического отклонения при конечном числе измерений n производится по формуле
23
S = |
vi2 |
. |
(2) |
|
n − 1 |
||||
|
|
|
Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения результатов многократных измерений определяется по формуле
S0 = |
S |
. |
(3) |
|
|||
|
n |
|
|
На производстве и в строительстве при контроле качества выпускаемой продукции, изделий, материалов устанавливаются допустимые границы отклонения размеров и параметров объектов измерений. Заданными могут быть любые границы допустимого интервала. Следовательно, можно определить вероятность того, что погрешность среднего значения не выйдет за границы этого интервала. И, наоборот, по заданной вероятности определить границы доверительного интервала.
На практике доверительную вероятность определяют в зависимости от конкретных условий и достижения требуемых целевых показателей.
Например, при изготовлении железобетонной плиты можно считать вполне удовлетворительным значение 0,995 (99,5 %) для вероятности того, что отклонение прочности бетона не выйдет за пределы заданного интервала. Уровень значимости или вероятность того, что прочность бетона не будет соответствовать требованиям, составит 0,005 (или 0,5 %). Это значит, что по показателю прочности бетона в среднем браковаться будет одна железобетонная плита из 200. Такая вероятность соответствует доверительному интервалу от +2,81 S до –2,81 S.
С учетом округления до целого часто пользуются доверительным интервалом от +3S до –3 S, для которого доверительная вероятность составляет 99,73 %. Если при изготовлении ж/б плиты принять, что допустимо отклонение прочности бетона от тре-
24
буемой прочности до ±3 S, то в среднем одна бракованная плита будет приходиться на 370 готовых изделий. Такая малая вероятность брака экономически приемлема для большинства предприятий, изготавливающих строительную продукцию.
Если требования к изготовлению какого-либо изделия, детали, узла, повысить и сузить границы доверительного интервала, например, до ±2S, то доверительная вероятность уменьшится до 0,9544 и одна бракованная деталь будет приходиться в среднем на 20–25 изготовленных.
Таким образом, чем уже границы доверительного интервала, тем меньше доверительная вероятность и наоборот.
ЗАДАНИЕ 1:
Определить доверительный интервал для среднего значения при заданной доверительной вероятности.
Последовательность выполнения работы:
1. Разобрать под руководством преподавателя решение примера 1 и законспектировать решение примера с пояснениями в рабочую тетрадь (журнал).
Пример 1. Шестикратное взвешивание изделия из ценного материала дало следующие результаты: 72,361; 72,357; 72,352; 72,346; 72,344; 72,340 г. Определить доверительный интервал для среднего значения при доверительной вероятности, равной 0,99.
Решение:
1.1.Среднее арифметическое Х = 72,350 г.
1.2.Сумма квадратов отклонений от среднего в миллиграм-
мах v2 = 326 мг2.
1.3.Среднее квадратическое отклонение результатов изме-
рений S = 8,07465 мг.
1.4.Среднее квадратическое отклонение среднего значения
S0 = 3,29646 мг.
1.5.По табл. 1 находим для n = 6 и Рс = 0,99 → tс = 4,03.
25
Таблица 1
Распределение Стьюдента для малого числа наблюдений и неизвестной дисперсии
n |
|
|
|
|
Значения tс при Рс |
|
|
|
|
|||
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
|
0,9 |
0,95 |
|
0,98 |
0,99 |
0,995 |
0,999 |
|
|
|
|
||||||||||
2 |
1,000 |
1,376 |
1,963 |
3,08 |
|
6,31 |
12,71 |
|
31,8 |
63,7 |
127,3 |
637,2 |
3 |
0,816 |
1,061 |
1,336 |
1,886 |
|
2,92 |
4,30 |
|
6,96 |
9,92 |
14,1 |
31,6 |
4 |
0,765 |
0,978 |
1,250 |
1,638 |
|
2,35 |
3,18 |
|
4,54 |
5,84 |
7,50 |
12,94 |
5 |
0,741 |
0,941 |
1,190 |
1,533 |
|
2,13 |
2,77 |
|
3,75 |
4,60 |
5,60 |
8,61 |
6 |
0,727 |
0,920 |
1,156 |
1,476 |
|
2,02 |
2,57 |
|
3,36 |
4,03 |
4,77 |
6,86 |
7 |
0,718 |
0,906 |
1,134 |
1,440 |
|
1,943 |
2,45 |
|
3,14 |
3,71 |
4,32 |
5,96 |
8 |
0,711 |
0,896 |
1,119 |
1,415 |
|
1,895 |
2,36 |
|
3,00 |
3,50 |
4,03 |
5,40 |
9 |
0,706 |
0,889 |
1,108 |
1,397 |
|
1,860 |
2,31 |
|
2,90 |
3,36 |
3,83 |
5,04 |
10 |
0,703 |
0,883 |
1,101 |
1,383 |
|
1,833 |
2,26 |
|
2,82 |
3,25 |
3,69 |
4,78 |
11 |
0,700 |
0,879 |
1,093 |
1,372 |
|
1,812 |
2,23 |
|
2,76 |
3,17 |
3,58 |
4,59 |
12 |
0,697 |
0,876 |
1,088 |
1,363 |
|
1,796 |
2,20 |
|
2,72 |
3,11 |
3,50 |
4,49 |
13 |
0,695 |
0,873 |
1,083 |
1,356 |
|
1,782 |
2,18 |
|
2,68 |
3,06 |
3,43 |
4,32 |
14 |
0,694 |
0,870 |
1,079 |
1,350 |
|
1,771 |
2,16 |
|
2,65 |
3,01 |
3,37 |
4,22 |
15 |
0,692 |
0,868 |
1,076 |
1,345 |
|
1,761 |
2,14 |
|
2,62 |
2,98 |
3,33 |
4,14 |
16 |
0,691 |
0,866 |
1,074 |
1,341 |
|
1,753 |
2,13 |
|
2,60 |
2,95 |
3,29 |
4,07 |
17 |
0,690 |
0,865 |
1,071 |
1,337 |
|
1,746 |
2,12 |
|
2,58 |
2,92 |
3,25 |
4,02 |
18 |
0,689 |
0,863 |
1,069 |
1,333 |
|
1,740 |
2,11 |
|
2,57 |
2,90 |
3,22 |
3,96 |
19 |
0,688 |
0,862 |
1,067 |
1,330 |
|
1,734 |
2,10 |
|
2,55 |
2,88 |
3,20 |
3,92 |
20 |
0,688 |
0,861 |
1,066 |
1,328 |
|
1,729 |
2,09 |
|
2,51 |
2,86 |
3,17 |
3,88 |
∞ |
0,674 |
0,842 |
1,036 |
1,282 |
|
1,645 |
1,96 |
|
2,33 |
2,58 |
2,81 |
3,29 |
1.6.Доверительный интервал определяется как ± (S0 · tс) =
±(3,29646·4,03) ≈ ± 13 мг = 0,013 г.
Ответ: 72,350 ± 0,013 г.
2.Получить у преподавателя индивидуальное задание, аналогичное разобранному выше примеру.
3.Выполнить задание, решение оформить в рабочей тетради.
ЗАДАНИЕ 2:
Определить вероятность того, что среднее значение измерений не выйдет за границы заданного доверительного интервала.
Последовательность выполнения работы:
1. Разобрать под руководством преподавателя решение примера 2 и законспектировать решение примера с пояснениями в рабочую тетрадь (журнал).
26
Пример 2. При 10 измерениях длины металлического стержня получены следующие результаты: 358,59; 358,55; 358,53; 358,52; 358,51; 358,49; 358,48; 358,46; 358,45; 358,42 мм.
Определить вероятность того, что погрешность среднего значения не выйдет за границы ±0,05мм.
Решение:
1.1.Среднее арифметическое Х = 358,50 мм.
1.2.Сумма квадратов отклонений от среднего в миллиграм-
мах v2 =0,023 мм2.
1.3.Среднее квадратическое отклонение результатов изме-
рений S = 0,0505525 мм.
1.4.Среднее квадратическое отклонение среднего значения
S0 = 0,015986 мм.
1.5.Находим коэффициент Стьюдента tс = 0,05/0,015986 =
=3,1277 ≈ 3,1.
1.6.По табл. 2 (при помощи интерполяции) находим для
n = 10 и tс = 3,1 → Рс = 0,987. Ответ: Рс = 0,987.
|
Значения вероятностей |
Таблица 2 |
|||
|
|
||||
|
|
Значения Рс при tс |
|
||
n |
|
|
|||
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
||
|
|||||
2 |
0,705 |
0,758 |
0,795 |
0,823 |
|
3 |
0,816 |
0,870 |
0,905 |
0,928 |
|
4 |
0,861 |
0,912 |
0,942 |
0,961 |
|
5 |
0,884 |
0,933 |
0,960 |
0,975 |
|
6 |
0,898 |
0,946 |
0,970 |
0,983 |
|
7 |
0,908 |
0,953 |
0,976 |
0,987 |
|
8 |
0,914 |
0,959 |
0,980 |
0,990 |
|
9 |
0,919 |
0,963 |
0,983 |
0,992 |
|
10 |
0,923 |
0,966 |
0,985 |
0,993 |
|
11 |
0,927 |
0,969 |
0,987 |
0,994 |
|
12 |
0,929 |
0,970 |
0,988 |
0,995 |
|
13 |
0,931 |
0,972 |
0,989 |
0,996 |
|
14 |
0,933 |
0,974 |
0,990 |
0,996 |
|
15 |
0,935 |
0,974 |
0,990 |
0,996 |
|
27
Окончание табл. 2
n |
|
Значения Рс при tс |
|
||
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
||
|
|||||
16 |
0,936 |
0,975 |
0,991 |
0,997 |
|
17 |
0,937 |
0,976 |
0,992 |
0,997 |
|
18 |
0,938 |
0,977 |
0,992 |
0,997 |
|
19 |
0,939 |
0,978 |
0,992 |
0,997 |
|
20 |
0,940 |
0,978 |
0,993 |
0,997 |
|
∞ |
0,955 |
0,988 |
0,997 |
0,9995 |
|
2.Получить у преподавателя индивидуальное задание, аналогичное разобранному выше примеру.
3.Выполнить задание, решение оформить в рабочей тетради.
Контрольные вопросы:
1.Какие измерения называются многократными?
2.В чем смысл установления границ доверительного интер-
вала?
3.Какой зависимостью связан доверительный интервал и доверительная вероятность?
4.Какое максимальное количество значащих цифр может содержать в себе значение доверительного интервала при записи окончательного ответа?
28
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5
ОБНАРУЖЕНИЕ ГРУБЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЙ
Цель работы: научиться находить грубые ошибки (промахи), допущенные в измерениях и исключать их из массива измерительной информации в ходе предварительной обработки результатов измерений.
Теоретические сведения
Классификация и выявление грубых ошибок, то есть случайных погрешностей, характеризующихся значительным превышением над ожидаемой погрешностью (так называемых «промахов»), может проводиться различными методами. На сегодня существует значительное количество методов, которые, как правило, носят фамилию автора-разработчика, среди них: критерий Романовского, критерий Пирсона (метод экспериментальных и теоретических частот), вариационный критерий Диксона и т.д. Одними из самых распространенных для выявления грубых ошибок и часто применяемых на практике являются правило «двух сигм» и правило «трех сигм» для закона нормального распределения (распределение Гаусса) (рисунок).
Правило двух сигм. Почти достоверно (с вероятностью 0,954) можно утверждать, что все значения случайной величины Х, подчиненной нормальному закону распределения отклоняются от ее математического ожидания М(Х) = а на величину, не большую 2S (двух средних квадратических отклонений). Таким образом, все значения, выходящие за интервал от Х-2S до Х+2S, могут быть отнесены к результатам, несущим в себе грубые погрешности (промахи) и должны исключаться из массива полученных экспериментальных данных.
Правило трех сигм. Вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, отклонится от своего математического ожидания на величину, большую, чем утро-
29
енное среднее квадратическое отклонение, практически равна нулю (вероятность менее 0,3 %).
Рис. Кривая Гаусса
Правило двух сигм считается наиболее универсальным, поскольку эмпирическим путем доказана обоснованность его применения для большинства достаточно симметричных унимодальных распределений случайных величин. В то время как для обоснованного применения правила трех сигм необходимо удостовериться, что величина подчиняется закону нормального распределения, то есть оценить вид распределения.
Для оценки нормальности распределения чаще всего используют статистические критерии:
–критерий Колмогорова-Смирнова (при объеме менее 50 значений целесообразно применениепоправки Большева);
–критерий Лилиефорса;
–критерий Шапиро-Уилка и др.
30