книги / Статика в задачах биомеханики

max	fi (X ) = min max fi (X).	(3.4)
i [1,2, , N ]	XΩ i [1,2, , N ]

Из вида целевой функции следует, что необходимо осуществлять поиск минимума среди континуума максимальных значений (задача на минимакс). Целевая функция для данной задачи является дискретной функцией номеров мышц. Но данная дискретная функция может быть преобразована в линейную целевую функцию (3.5) с N дополнительными линейнымиограничениями (3.6) и(3.7).

Введем функцию μ(X) = max fi (X). Очевидно, значе-
i [1,2, , N ]
ние максимума принадлежит ограниченной области	0 ≤ μ ≤ 1.
Тогда будем решать следующую задачу.
Найти такой вектор усилий X , при котором достигается
min μ(X),	(3.5)
XΩ
при ограничениях
fi (X) ≤ μ,	(3.6)
0 ≤ μ ≤ 1,	(3.7)

где i [1,2, , N ].

Таким образом, от первоначальной дискретной задачи оптимизации с шестью ограничениями осуществляется переход к линейной задаче оптимизации, в которой целевая функция уравнения (3.5) должна быть минимизирована, удовлетворяя условиям N + 6 линейных ограничений уравнений (3.1), (3.2) и (3.6), (3.7)

сдвумя дополнительными условиями:

1.Мышечная сила должна быть больше или равняться нулю. Данное ограничение обусловлено следующим обстоятельством: с точки зрения механики сухожильно-мышечные комплексы следует рассматривать как односторонние связи, так как они способны сопротивляться растяжению и, подобно гибким нитям, выключаются из работы при появлении в них сил осевого сжатия.

2.Можноиспользоватьэкспериментальныеданныеизработы[73] о том, что суставные реакции по оси x должны действовать в заднем

71

направлении; суставные реакции по оси z должны действовать в нижнем направлении. Данное ограничение может быть использовано, потому что при кусании наибольшее число мышц действует вперед и вверх, таким образом, суставная реакция должна противодействовать мышечным силам, чтобы поддерживать статическое равновесие. Это ограничение неявляется обязательным.

Целевая функция (3.5) ограничена сверху, а ограничения (3.1), (3.2) и (3.6) линейны. Поскольку переменные задачи заданы на пересечении замкнутого отрезка, плоскости и полуплоскости (выпуклые множества), то ввиду линейности ограничений, а значит, их непрерывности, область, заданная ограничениями, является выпуклой и замкнутой [19]. Такая задача является классической задачей линейного программирования и имеет единственное решение [19]. Ввиду этого задача может быть решена симплексметодом для линейного программирования.

Окончательно решаемая задача может быть сформулирована следующим образом.

Найти

			min μ(X),							(3.8)
			X Ω
при ограничениях
N		2		+	N1			+ F		= 0,
F		+ R	j x		Fl
i=1	i x	j=1			k =1		k x		b x
N		2		+	N1			+ F		= 0,
F		+ R	j y		F l
i=1	i y	j=1			k =1		k y		b y
N		2		+	N1			+ F		= 0,
F		+ R	j z		F l
i=1	i z	j=1		k =1		k z			b z	(3.9)
N		2			N1
Mi x + M jx + Mkl x + Mbx = 0,
i=1		j=1			k =1
N		2			N1				y + Mby = 0,
Mi y + M jy + Mkl
i=1		j=1			k =1
N		2			N1				z + Mbz = 0,
Mi z + M jz + Mkl
i=1		j=1			k =1
72

0 ≤ μ ≤ 1,

	Fi ≥ 0,
	Fi	≤ μ,
	Fi max

где Fi max = KAi , i =1, , N.

В результате решения находятся мышечные усилия и реакции в суставах.

Необходимо отметить существующие различия между изложенным подходом и работой [73]. В статье [73] была описана трехмерная модель жевательной системы человека, которая включала 18 неизвестных: 16 мышечных сил и 2 суставные реакции. Усилия связок не учитывались. Цель исследования [73] заключалась в определении максимальной силы кусания и суставных реакций для различных положений заданной точки кусания. Усилия в мышцах авторами не определялись. В нашем же примере основная цель моделирования заключается именно в определении мышечных сил и суставных реакцийпри априорно заданнойсиле кусания.

3.2.Вычисление усилий мышц

исвязок голеностопного сустава

На примере, моделирующем мышечно-связочный аппарат, расположенный в области голеностопного сустава, разберем решение задачи определения усилий в мышцах и связках с помощью различных критериев оптимизации.

Рассмотрим нагружение системы силой R, состоящей из трех мышц ОА, OB, OC, на концах которых находятся сухожилия, и трех связок OD, OE, OK (рис. 3.1). По данным работы [21], указанная стержневая модель существует в организме человека в области голеностопа (рис. 3.2).

Латеральная и медиальные головки икроножной, а также камбаловидной мышц вплетаются в ахиллово сухожилие, которое крепится к пяточной кости. Пяточная кость моделируется как

73

точка О (см. рис. 3.1). От нее берут начало связки голеностопного сустава, которые перераспределяют усилие через ахиллово сухожилие другим костям сустава. Эти кости моделируются жесткой плитой, к которой приложена нагрузка R (см. рис. 3.1).

Рассмотрим нижнюю часть системы стержней (рис. 3.3), отбросив верхнюю (см. рис. 3.1). В стержнях 4–6 появляются усилия N1, N2, N3. Данная система из трех стержней моделирует связки, линии действия усилий в которых сходятся в одной точке, т.е. система сил становится сходящейся. Для плоской сходящейся системы сил число уравненийравновесияуменьшается с трех до двух:

X : N1 cosα2 − N3 cos γ 2 = 0,	(3.10)
Y : N1 sin α2 + N2 + N3 sin γ 2 − R = 0.	(3.11)

Рис. 3.1. Система стержней в общем виде: 1–3 – три стержня, моделирующие мышцы с сухожилиями на концах; 4–6 – связки, соединяющие точку О (кость) с другими костями

74

Рис. 3.2. Голеностопный сустав: 1 – пяточная кость, 2 – кубовидная кость, 3 – головка таранной кости, 4 – ладьевидная кость, 5 – первая плюсневая кость, 6 – кости большого пальца, 7 – малоберцовая кость, 8 – боковые связки голеностопного сустава, 9 – наружная лодыжка, 10 – большеберцовая кость, 11 – ахиллово сухожилие, 12 – раздвоенная связка, 13 – мышцы малоберцовой

кости, 14 – сухожилие длинной малоберцовой мышцы [21]

Рис. 3.3. Система стержней, моделирующая связки (4–6) на рис. 3.2

Данная система уравнений (3.10)–(3.11) является статически неопределимой, поэтому необходимо добавить еще одно соотношение, которое позволит ее решить.

Для связок статически неопределимую задачу можно решить методом совместности деформаций, так как они являются пассив-

75

ными элементами и не имеют сократительных элементов, как мышцы, сокращающиеся под действием нервного возбуждения. Для этого запишемуравнениесучетоммалости деформаций (рис. 3.4):

l4 = l5 cosβ2 .

(3.12)

Рис. 3.4. Деформированная система стержней, моделирующая связки (4–6)

Возьмем стержни с одинаковой площадью поперечного сечения А = 3 см2, из одного материала с модулем упругости Е и с

пределом прочности [σ] = 1600 H/см2. Углы α2 = β2 = γ 2 = 45°. Длины четвертого и шестого стержней равны l4 = l6 = 1 м, а длина второго стержня – l5 = 0,707 м.

Зададим нагружающую силу R = 1000 H.

С учетом определения деформации и закона Гука уравнение (3.12) приобретет следующий вид:

N1l4	=	N2l5	cosβ	2	, или N l	= N l cosβ		.	(3.13)
EA		EA			1 4	2 5	2

Система уравнений (3.10), (3.11) и (3.13) приобретет следующий вид:

N1 cos45° − N2 cos45° = 0,

N1 sin 45° + N2 + N3 sin 45° − 1000 = 0, (3.14)N1 = 0,707N2 cos45°.

76

Рис. 3.5. Системастержней, моделирующаямышцыссухожилиями(1–3)

Решаяданнуюсистему, получим N1 = N3 = 235,5 Ни N2 = 668 H.

Рассмотрим верхнюю часть системы стержней (рис. 3.5), отбросив нижнюю (см. рис. 3.1). В стержнях 1–3 появляются усилия F1, F2, F3 вследствие действия силы R1 = R. Данная система из трех стержней моделирует мышцы с сухожилиями. В мышцах линии действия усилий сходятся в одной точке, т.е. система сил становится сходящейся. Для плоской сходящейся системы сил число уравнений равновесия уменьшается с трех до двух:

X : F1 cosα1 − F3 cos γ1 = 0,	(3.15)
Y : F1 sin α1 + F2 + F3 sin γ1 − R1 = 0.	(3.16)

Рассмотрим несколько критериев оптимизации, позволяющих раскрыть статическую неопределимость для мышц [16].

Рассмотрим первый критерий оптимизации, который заключается в том, что сумма квадратов усилий мышц стремится к минимуму. Тогда получим систему уравнений:

Fi		2 → min			,
i		Fi ,i=1, 2,3
X :		− F cos	α	1	+ F cos γ	1	=	0,
		1			3
		F1 sin α1 + F2 + F3 sin γ1 − R1 = 0,							(3.17)
Y :
Fi	≥ 0, i =1, 2,3,
R	= 1000 Н.
1
									77

Возьмем площадь поперечного сечения А, модуль упругости Е и предел прочности [σ] такими же, как для связок. Углы

α1 = γ1 = 30°, β1 = 60°. Длины первого и третьего стержней равны l1 = l3 = 1 м, а длина второго стержня – l2 = 0,5 м.

Решая данную задачу, получаем, что F1 = F2 = 333,3 H,

F3 = 666,7 H.

Рассмотрим второй критерий, который заключается в том, что сумма квадратов отношений усилий мышц к их максимуму, который они способны развить, стремится к минимуму:

	F		2
	i		→ min.
	F
i	i max
	Запишем систему уравнений для данного критерия:
					F	2
					i		→ min ,
					F
								Fi ,i=1,2,3
			i		i max
			X	:	− F cos		α + F cos		γ	= 0,
					1		1	3	1
			Y :		F1 sin α1 + F2 + F3 sin γ1 − R1 = 0,						(3.18)
			F	≥ 0, i =1,2,3,
			i
			R	= 1000 Н.
			1
	Решая		данную		задачу,			получаем,		что F1 = F2 = 333,3 H,
F3 = 666,7			Н. Данное решение совпадает с предыдущим, так как

принято, что все мышцы способны развить одинаковые максимальные усилия.

Рассмотрим третий критерий, который заключается в том, что максимальное значение отношений усилий мышц к их максимуму, который они способны развить, стремится к минимуму (3.4). Тогда имеем задачу линейного программирования (3.8)–(3.9) при ограничениях:

78

X : −F1 cosα1 + F3 cos γ1 = 0,
		F1 sin α1 + F2 + F3 sin γ1 − R1 = 0,
Y :
F		≥ 0, i =1,2,3,
	i
R		= 1000 Н,
	1

где Fi max – удельная мышечная сила, Fi max = kAi ,

(3.19)

k = 37 Н/см2,

i = 1,3 , Ai – физиологическое поперечное сечение i-й мышцы. Решая данную задачу, получаем, что F1 = F2 = F3 = 500 Н.

При решении первых двух задач применялся метод квадратичного программирования и метод неопределенных множителей Лагранжа для учета ограничений. Третья задача решалась сим- плекс-методом.

Для всех критериев в ходе решения были получены близкие результаты значений усилий мышц. Для дальнейшего использования полученных результатов хочется остановиться на одном из критериев. Наиболее удачным и понятным с физиологической точки зрения является третий критерий, так как он подразумевает, что усилия в мышцах перераспределяются таким образом, чтобы они были равнонапряжены по отношению к максимальным усилиям в них. Организм пытается избежать случая, когда одна или несколько мышц будут сильно напряжены и усилия в них будут приближаться к максимальным значениям. Когда усилия приближаются к максимальным, мышцы быстро утомляются и могут порваться, растянуться; появятся болевые ощущения в этих областях. В работе [20] была подтверждена применимость данного критерия и для нахождения мышечных усилий и реакций в височно-нижнечелюстном суставе.

3.3. Расчет нагрузок на тазобедренный сустав при ходьбе

Расчету нагрузок на бедро при ходьбе посвящено большое количество работ [16, 44, 46, 48, 51, 55, 56, 58, 67, 89], которые отличаются различной постановкой задачи, используемыми кри-

79

териями оптимальности, числом мышц и сегментов ноги, учитываемых при расчетах. Рассмотрим подробнее алгоритм построения биомеханической модели опорно-двигательного аппарата человека и методику решения задачи определения нагрузок на тазобедренный сустав при ходьбе с использованием линейного критерия оптимальности. При вычислениях будем учитывать пассивное сопротивление связок в суставе, изменение координат точки приложения опорной реакции, а также ограничения на максимальную изометрическую силу, развиваемую мышцей. Все необходимые параметры модели можно найти в работах отечественных и зарубежных авторов. Подробные исследования биомеханической структуры нормальной ходьбы приведены в работах [10, 38]. В работах [48, 62, 90] приводятся необходимые для построения модели ноги анатомические данные мышечного каркаса тазобедренного сустава. Исследование момента сопротивления связок в суставах нижних конечностей приведено в работах [59, 104], движение таза и бедра во фронтальной плоскости описано в статьях [6, 28, 72], а изменение координат точки приложения опорной реакции к стопе представлено в работах [15, 97].

Для расчета нагрузок на тазобедренный сустав и вычисления усилий мышц при ходьбе используем биомеханическую модель ноги, состоящую из трех сегментов: бедро, голень и стопа. Взаимное расположение сегментов нижней конечности при ходьбе определяется межзвенными углами. Масса, длина, положение центра масс каждого сегмента вычисляются по относительным (к росту и весу тела человека) значениям, приведенным в работах [9, 38]. Расчетные антропометрические данные, использованные в модели, приведены в табл. 3.1. Ходьба рассматривается как квазистатический процесс. Весь цикл двойного шага разбит на 20 равных участков времени. Данные по опорным реакциям и межзвенным углам при нормальной ходьбе приведены в работе [10] (рис. 3.6). Изменение координат точки приложения опорной реакции к стопе в опорную фазу шага соответствует данным из статьи [15].

80