книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы
.pdfiпp (t) |
|
|
|
|
|
|
Em |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t e arctg |
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
CR |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
uCпp (t) |
|
|
|
Em |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
sin |
|
t e arctg |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
C |
CR |
2 |
|||||||||||||||||
|
R |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Обозначим |
|
|
Im |
|
|
|
|
|
|
|
|
Em |
|
|
|
|
, arctg |
1 |
|
|
и |
|
|
применим |
|||||||||
|
|
|
|
R |
2 |
|
|
|
|
|
1 2 |
CR |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулу приведения:
uCпp (t) ImC cos t e .
5. Для расчета постоянной интегрирования запишем полное решение для момента t = 0+:
uC t uCпр t Ae RC1 t ;
uC 0 ImC cos e A.
В соответствии с правилом коммутации
|
|
A |
Im |
|
cos( e ). |
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||
uC (t) Im |
cos t |
e cos e e |
|
RC |
, |
||||
|
|
||||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
обозначим XC 1C , тогда
31
|
|
|
|
cos e e |
|
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
uC (t) Im XC cos t e |
|
|
RC |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
t |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
iC (t) CuC |
|
m |
sin t e cos e |
|
|
|
|
|
e |
|
RC |
|
; |
|||||||||||
|
|
RC |
|
|||||||||||||||||||||
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
iC (t) Im sin t e |
|
e |
|
RC |
|
cos e |
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
XC |
cos e e |
|
1 |
|
t |
|
|
|
|
|
||||||||
iC (t) Im sin t e |
|
|
RC |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оба выражения для uC иiC в общем случае имеют периодическую принужденную и апериодическую свободную составляющие. При этом характер переходного процесса существенно зависит от двух факторов – начальной фазы напряжения источника в момент включения e и соотношения параметров цепи XC и R.
Исследуем ожидаемое влияние фазы включения e источника на переходный режим:
1) Пусть e 0 . Поскольку cos 0 = 1, получим:
|
|
|
|
1 |
t |
; |
||||
uC (t) Im XC cos t e |
|
RC |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i (t) I |
sin t |
XC |
e |
1 |
t |
. |
|
|||
RC |
|
|||||||||
|
|
|||||||||
С |
m |
|
R |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
а) исследование кривой напряжения (рис. 1.14) наглядно демонстрирует, что максимальное напряжение в переходном режиме ограничено: UCmax 2UCmпр;
б) исследование кривой тока (рис. 1.15) демонстрирует, что максимальное значение тока в переходном режиме зависит от соотношения XC и R и может превышать Imпр в несколько раз.
32
uC
UCmax |
uC(t) |
|
ImXC |
||
|
||
|
uCсв |
|
|
|
|
|
t |
|
|
uCпр |
|
–ImXC |
|
|
|
Рис. 1.14 |
|
Im |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iпр |
|
|
- |
|
|
|
|
t |
|
|
|
Xc R |
|
|||
|
|
|
|
|||
|
X C |
|
|
X c R |
||
Im |
|
iсв |
i(t) |
|
|
|
R |
|
|
|
|||
|
|
|
iсв |
Рис. 1.15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Однако этот начальный всплеск тока является кратковременным.
2) В случае, если e |
|
, |
поскольку cos |
|
0 , получим: |
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
t |
|
|
|
Im XC sin t; |
|||
uC (t) Im XC cos |
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
33
|
|
t |
|
|
Im cos t. |
|
iC (t) Im sin |
2 |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
Таким образом, в данном случае в цепи переходный процесс не наблюдается.
1.7. Переходные процессы в цепях II порядка
Одна из классических задач в теории переходных процессов – анализ разряда конденсатора с емкостью C на цепь, обладающую активным сопротивлением R и индуктивностью L.
|
1.7.1. Разряд емкости на цепь RL |
|
|
||
|
R |
1. Независимые начальные условия |
|||
|
|
для рассматриваемой цепи (рис. 1.16): |
|||
|
L |
u (0 ) u (0 ) U |
0 |
; |
|
C |
i |
C |
C |
|
|
i (0 ) i (0 ) 0. |
|
||||
|
|
L |
L |
|
|
|
uC |
2. Дифференциальное уравнение цепи |
|||
|
Рис. 1.16 |
||||
|
и корни характеристическогоуравнения: |
||||
uR uL uC 0; iR R LiL uC 0; iC iL iR i CuC ; |
|||||
|
|
LCuC RCuC uC |
0 . |
|
|
Характеристическое уравнение:
|
LCp2 RCp 1 0 |
или p2 |
R |
p |
1 |
0 |
. |
|
(1.12) |
||||||||||||||
|
|
|
LC |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Корни характеристического уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
R |
|
|
|
R |
2 |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
p |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(1.13) |
||
2L |
|
|
|
22 |
|
|
2L |
|
2L |
|
LC |
||||||||||||
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34
3. Полное решение uC (t) uCпр Aiepit uCсв (t). Вид сво-
0 i 1,2
бодной составляющей и характер переходного процесса будут определяться тем, какими числами будут корни характеристического уравнения. Это зависит от соотношения между параметрами цепи, в частности, от подкоренного выражения в уравнении (1.13). Здесь возможны три варианта:
1) |
|
R 2 |
|
1 |
|
R 2 |
L |
2 , |
где – волновое сопротив- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
LC |
C |
||||||||
|
|
2L |
|
|
|
|
||||
ление |
контура, |
т.е. |
для низкодобротных контуров Q < 0,5. |
При этом корни p1 и p2 – вещественные отрицательные разные; 2) R 2 или Q = 0,5: корни p1 = p2 – вещественные отрица-
тельные равные;
3) R 2 или Q > 0,5: корни p1 и p2 – комплексные сопря-
женные.
В первых двух случаях переходный процесс носит апериодический характер (напряжение на емкости uC монотонно затухает до нуля, не меняя своей полярности); в третьем случае процесс разряда – колебательный.
4. Найдем постоянные интегрирования А1 и А2, для чего возьмем производную uC (t) :
uC (t) A1 p1e p1t A2 p2e p2t .
1.7.2. Апериодический разряд емкости на цепь RL
Рассмотрим случай, когда p1,2 – действительные и отрица-
тельные, т.е. 2RL LC1
зывается апериодическим и вид полного решения следующий: uCпр 0; uC (t) uC св (t) A1ep1t A2ep2t .
35
Рассмотрим функции uC (t) и uC (t) в момент времени t 0 :
uC (0 ) A1 A2 ?uC (0 ) A1 p1 A2 p2 ?
Определим правые части приведенных выше уравнений:
u (0 ) u (0 ) U |
0 |
; |
|
|
||||
C |
C |
|
|
|
|
|||
iC iL CuC ; uC |
iL |
|
uC (0 ) |
iL (0 ) |
0. |
|||
C |
C |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Тогда система уравнений для определения постоянных интегрирования А1 и А2 принимает следующий вид:
uC (0 ) A1 A2 uC (0 ) U0 ,uC (0 ) A1 p1 A2 p2 0.
Решим полученную систему уравнений. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A p |
|
|
|
|
|
|
|
|||
A1 |
A2 |
U0 |
, |
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
1 1 |
U0 , |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
p2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
( p |
|
p ) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
U0 . |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
U0 p2 |
|
; аналогично: |
|
A |
|
U0 p1 |
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
p1 p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
p1 p2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, искомое uC (t) имеет вид |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
p t |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p t |
|
|
|||||
u |
(t) U |
|
|
|
|
|
|
|
e 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
e 2 |
|
|
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1 |
p2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p1 p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.14) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p1t |
|
|
|
|
|
|
p2t |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2e |
|
|
p1e |
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
p |
|
p |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим функцию изменения тока в цепи:
i iR iL iC CuC |
|
p2 p1 |
|
p1 p2 |
|
|
CU0 |
p1eP1t |
eP2t . |
||||
|
p1 p2 |
|||||
|
p1 p2 |
|
|
36
С учетом того, что по теореме Виета p p |
|
|
1 |
, закон из- |
2 |
|
|||
1 |
|
LC |
|
|
менения тока принимает следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
U0 |
|
e p1t e p2t . |
(1.15) |
||||
L( p p |
) |
||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Напряжение на резисторе |
|
|
|
|
|
|
|||
uR iR |
|
U0 R |
|
|
e p1t e p2t . |
(1.16) |
|||
L( p p |
) |
||||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
Получимфункциюизменения напряжения наиндуктивности:
uL (t) LiL |
|
|
U0 |
|
p1e p1t p2e p2t . |
(1.17) |
|
p |
|
2 |
|||||
|
|
|
p |
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
Качественно изобразим графики полученных функций (рис. 1.17), для чего проведем следующие исследования.
Определим начальные значения функций:
– напряжение на конденсаторе
u |
C |
(0 ) u |
|
(0 ) U |
|
|
p1 p2 |
|
U |
0 |
, |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Cсв |
|
0 p p |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
что не противоречит начальным условиям; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
– ток и напряжение на резисторе: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
i(0 |
|
) |
|
|
|
e |
|
e |
|
|
|
0, |
|
||||||||
|
L( p p ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U0 R |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
||
uR (0 |
|
) |
|
|
|
e |
|
e |
|
|
0 |
|
|||||||||
|
L( p |
p |
) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– напряжение на индуктивности
uL (0 ) p1U0 p2 p1 e0 p2e0 U0 .
37
u i
e p1t
U0
t1 |
uC(t) |
|
t |
||
|
e p2t
|
|
|
t1 |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uR(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uL(t) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
–U0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Рис. 1.17 |
|||||||||
Поскольку p1 0, |
p2 0 и |
|
p1 |
|
|
|
p2 |
|
, то при изменении вре- |
||||
|
|
|
|
||||||||||
мени t от 0 до величины e p1t |
и e p2t убывают от 1 до 0, и раз- |
||||||||||||
ность этих экспонент |
e p1t e p2t |
|
всегда положительна. Следова- |
тельно, ток i не меняет своего направления, т.е. конденсатор все
38
время разряжается; в частности, при uC (0 ) U0 0 ток отрица-
телен. Такой односторонний разряд конденсатора и называют
апериодическим разрядом.
На рис. 1.17 изображены зависимости i(t), uR(t), uC(t) и uС(t). В интервале времени 0 t t1 ток по абсолютному значению воз-
растает, в интервале времени t1 t ток по абсолютному зна-
чению убывает, стремясь к нулю. Напряжение на конденсаторе также монотонно убывает, стремясь к нулю.
В момент времени t1 имеет место перегиб в кривой напряжения на конденсаторе uC (t) , следовательно, ток имеет максималь-
ное значение, а напряжение на индуктивности uL (t) равно нулю. В момент времени t2 наблюдается перегиб в кривой тока, а напряжение uL (t) принимает максимальное значение.
Значение t1 определяется из условия:
|
|
|
di(t) |
|
|
uL (t) |
|
|
0 , |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
t t1 |
|
|
|
L |
|
t t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
uL (t) |
|
|
|
|
U0 |
|
|
|
p1e p1t1 |
p2e p2t1 0, |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
L( p p |
|
) |
|
||||||||||
L |
|
t t1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
p e p1t1 |
p |
ep2t1 |
0, |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
решение полученного уравнения следующее:
ln p2
t1 p1 . (1.18) p1 p2
Значение t2 определяется из условия:
duL (t) |
|
|
|
U0 |
|
|
|
2 |
|
p1t1 |
2 |
p2t1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
dt |
|
t t2 |
|
( p |
p |
|
) |
p1 |
e |
|
p2 e |
|
0, |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
39
решение уравнения:
|
|
|
2ln |
p2 |
|
|
|
|
t |
|
|
p |
2t . |
(1.19) |
|||
|
|
|
||||||
2 |
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
p1 |
p2 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
Из уравнения
uC (L dtdi Ri)
следует, что напряжение на зажимах конденсатора в любой момент времени уравновешивается суммой напряжения самоиндукции на зажимах катушки и напряжения на участке с сопротивле-
нием. В первый момент времени, когда uR (0 ) iR 0 , напряже-
ние на зажимах конденсатора полностью уравновешивается напряжением на зажимах катушки. Ток начинает возрастать по абсолютному значению именно с такой скоростью, чтобы наступило равновесие. В интервале 0 t t1 напряжение uC частично
уравновешивается напряжением на катушке и частично напряжением на сопротивлении. С возрастанием времени на долю катушки приходится все меньшее напряжение, и, соответственно, скорость нарастания тока уменьшается.
В момент времени t1 uC = –uR, т.е. оставшееся к этому моменту времени напряжение на конденсаторе полностью уравновешивается напряжением на сопротивлении. Поэтому ток дальше возрастать не может. В этот момент он достигает максимального значения, так как после этого момента он должен убывать вследствие того, что конденсатор продолжает разряжаться.
Напряжение на конденсаторе и ток в нем в момент времени 0 t t1 имеют разные знаки, следовательно, мгновенная мощность
конденсатора pC uC i 0 , т.е. энергия отдается конденсатором из его электрического поля. Напряжение на индуктивности и на сопротивлении одного знака с током, следовательно, pL uLi 0 и
pR i2 R 0 , т.е. энергия поступает в индуктивность, запасаясь в ее магнитномполе, и выделяется в видетеплотыв сопротивлении.
40