книги / Тестовые задания по курсу высшей математики. Ч. 2 Теория пределов. Производная и дифференциал. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Исследование поведения функций
.pdfРис. 1.1
Ответ: непрерывной.
Вопрос 1.1.9
Если функция y = f (x) … на [a,b], то она достигает на
этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений.
Решение:
Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то она
достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений.
Пусть yнаиб = M , yнаим = m.
Возможны следующие ситуации:
1.Наибольшее значение достигается внутри отрезка [a; b] ,
вточке x1 M = f (x1 ).
Наименьшее значение достигается внутри отрезка [a; b] , в точке x2 m = f (x2 ) (рис. 1.2).
2.Наибольшее значение достигается внутри отрезка [a;b],
вточке x1 M = f (x1 ), а наименьшее значение на одном из кон-
цов отрезка, например в точке x = b, m = f (b) (рис. 1.3).
3.Наименьшее значение достигается внутри отрезка [a;b],
вточке x1 m = f ( x1 ), а наибольшее значение на одном из концов
отрезка, например в точке x = a, M = f (a) (рис. 1.4).
11
Рис. 1.2
Рис. 1.3
Рис. 1.4
4.Если функция на отрезке [a;b] монотонно возрастает, то
еенаибольшее значение будет f (b) (на правом конце отрезка),
а наименьшее f (a) (на левом конце отрезка) yнаиб = f (b), yнаим = f (a) (рис. 1.5).
12
Рис. 1.5
5. Если функция монотонно убывает, то ее наибольшее значение будет f (a) (на левом конце отрезка), а наименьшее f (b)
(на правом конце отрезка): yнаиб = f (a), yнаим = f (b) (рис. 1.6).
Рис. 1.6
6. Если функция является константной, в этом случае наибольшее и наименьшее значения равны, т.е. f (a) = f (b) и
M = m (рис. 1.7).
Рис. 1.7
Ответ: непрерывна.
13
Вопрос 1.1.10 |
|
Если функция является бесконечно большой при |
x → x0 , |
то прямая x = x0 есть вертикальная … графика функции. |
|
Решение: |
|
Вертикальная асимптота x = x0 существует только тогда, |
|
когда точка x0 является точкой разрыва второго рода, |
т.е. если |
хотя бы один из односторонних пределов в точке x0 равен беско-
нечности.
Ответ: асимптота.
§1.2. Задачи
Задача 1.2.1
На числовой прямой дана точка x = 3,6. Тогда ее «ε-окрест- ностью» может являться интервал ... .
1.(3, 2;4,0).
2.(3, 4;3,6).
3.(3,0;3, 4).
4.(3,6;3,7).
Решение:
ε-Окрестностью точки x0 называется интервал (x0 − ε; x0 + ε)
(рис. 1.8).
Рис. 1.8
Интервал (3, 2;4,0) является ε-окрестностью точки x0 = 3,6
при ε = 0, 4.
Ответ: 1.
14
Задача 1.2.2 |
|
|
3n4 |
− 2n2 + 1 |
|
|||
Значение предела lim |
равно ... . |
|||||||
|
|
+ 5n2 + 3 |
||||||
Решение: |
|
n→∞ 6n4 |
|
|||||
3n4 |
− 2n2 + 1 |
|
|
|
|
|||
Выражение |
при n → ∞ представляет собой не- |
|||||||
6n4 + 5n2 + 3 |
||||||||
|
|
|
|
|||||
определенное выражение типа ∞ |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
Разделим все слагаемые числителя и знаменателя на n4.
|
Учитывая, |
что при |
n → ∞ слагаемые |
|
|
2 |
, |
|
1 |
, |
|
5 |
|
, |
3 |
|
стре- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
n2 |
|
|
n2 |
n4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мятся к нулю, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3n |
4 |
− 2n |
2 |
+ 1 |
|
|
|
3 − |
+ |
|
lim |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 − 0 + 0 |
|
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
n |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n2 |
n4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
= lim |
|
|
|
= |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
= |
. |
||||||||||||||||||||
6n4 + 5n2 + 3 |
|
5 |
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
6 + 0 + 0 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 + |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
lim |
6 |
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
n |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
n |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Ответ: 0,5. |
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Задача 1.2.3 |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Значение предела lim |
|
n − 17 − |
n + 13 |
равно ... . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение: |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Выражение под знаком предела при n → ∞ представляет со- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
бой неопределенное выражение типа (∞ − ∞). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Умножим и разделим данное выражение на сопряженное, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т.е. на |
|
n − 17 + |
n + 13. |
|
|
( n − 17 − n + 13)( n −17 + n + 13) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
n − 17 − n + 13 |
|
= lim |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
n |
− 17 + |
|
n + 13) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
n→∞ ( |
|
|
|
|
|
|
) |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= lim |
|
n − 17 − (n + 13) |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
−30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
( n − 17 + n + 13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n + 13 ) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n→∞ |
|
n→∞ ( n |
− 17 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 0.
15
Задача 1.2.4 |
|
|
|
||
Значение предела lim |
x2 |
+ 4x − 2 |
равно ... . |
||
|
2x + 3 |
||||
|
|
x→1 |
|
|
|
1) |
3 |
; |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2) |
1 |
; |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3) |
−1; |
|
|
|
|
4) 0. |
|
|
|
|
Решение:
Поскольку пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя отличен от нуля, предел частного равен отношению пределов числителя и знаменателя, т.е.
|
f ( x) |
|
lim f ( x) |
|
|
lim |
= |
x→ x0 |
. |
||
g ( x) |
lim g ( x) |
||||
x→ x0 |
|
|
|||
|
|
|
x→ x0 |
|
В данном случае
Ответ: 1.
Задача 1.2.5
lim |
x2 |
+ 4x − 2 |
= |
lim (x2 + 4x − 2) |
= |
3 |
. |
|
|
x→1 |
|
||||
|
2x + 3 |
lim(2x + 3) |
5 |
||||
x→1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
Значение предела lim |
6 |
равно ... . |
|
||
x→∞ 2x + 3 |
|
1)0;
2)2;
3)43 ;
4)∞.
Решение:
При x → ∞ знаменатель дроби неограниченно растет. Вели-
чина, обратная бесконечно большой, является бесконечно малой.
16
Таким образом, lim |
|
6 |
= 0. |
||||
|
|
||||||
|
|
x→∞ 2x + 3 |
|
|
|||
Ответ: 1. |
|
|
|
||||
Задача 1.2.6 |
x2 + 4 |
|
|||||
Значение предела lim |
равно ... . |
||||||
3x − 6 |
|||||||
|
|
x→ 2 |
|
||||
1) |
∞; |
|
|
|
|||
2) |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
3 |
2 ; |
|
|
|
|
|
3) |
− |
|
|
|
|
||
4) 0. |
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Решение:
При x → 2 знаменатель дроби стремится к нулю. Величина, обратная бесконечно малой, является бесконечно большой.
Таким образом, lim x2 + 4 = ∞. x→ 2 3x − 6
Ответ: 1.
Задача 1.2.7
Значение предела lim x ( x + 2 + 2x − 3 ) равно ... .
x→ +∞
1)+∞;
2)0;
3)2;
4)1.
Решение:
Поскольку lim |
x + 2 = +∞ и lim 2x − 3 = +∞, |
функция |
x→ +∞ |
x→ +∞ |
|
y = x + 2 + 2x − 3 является бесконечно большой при |
x → +∞. |
Произведение двух бесконечно больших функций есть бесконеч-
но большая функция. Ввиду этого lim x ( x + 2 + 2x − 3 ) = +∞.
x→ +∞
Ответ: 1.
17
Задача 1.2.8
Значение предела |
lim |
2x |
|
равно ... . |
|
3 |
|||
|
x→ + ∞ 1 + sin |
|
||
|
|
|
x |
|
1)+∞;
2)0;
3)2;
4)1.
Решение:
Найдем пределы числителя и знаменателя дроби:
lim 2x = 2+∞ = +∞.
x→ + ∞
При |
x → +∞ знаменатель дроби |
3 |
неограниченно растет, |
||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
следовательно, |
3 |
|
является величиной бесконечно малой. |
||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда lim sin |
3 |
= sin |
lim 3 |
|
|
= sin 0 = 0. |
|
||||||||||||
|
|
|
x→+∞ |
x |
x→+∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, |
lim 1 + sin |
3 |
|
= lim 1 + lim sin |
3 = 1 + 0 = 1. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
x |
|
|
x→+∞ |
x→+∞ |
x |
||||
Предел частного равен +∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача 1.2.9 |
|
|
2x+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Значение предела lim |
|
|
|
|
равно ... . |
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→ 0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 + |
|
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) ∞; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) |
|
8 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
Решение:
Найдем пределы числителя и знаменателя дроби:
lim 2x+3 = 23 = 8.
x→ 0
При x → 0 величина |
1 |
бесконечно большая, тогда выраже- |
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
ние 2 + 1 → ∞. Следовательно, limln |
2 + 1 = ∞. |
|||||||
x |
|
|
|
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Переменная величина |
|
|
|
1 |
|
|
|
при x → 0 является обрат- |
|
|
|
2 + |
1 |
|
|||
|
|
ln |
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ной к бесконечно большой и потому бесконечно мала.
Такимобразом, lim |
2x+3 |
|
|
= lim |
|
1 |
|
|
lim 2x+3 = 0 8 = 0. |
||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||
x→ 0 |
2 + |
x→0 |
2 + |
x→ 0 |
|||||||
|
ln |
x |
|
|
ln |
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ: 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1.2.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение предела lim |
|
x3 |
− 8 |
равно ... . |
|
|
|
||||
|
2x |
− |
4 |
|
|
|
|||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Выражение под знаком предела при x → 2 представляет со-
бой неопределенное выражение типа 0 . Разложим на множи-
0
тели числитель и знаменатель дроби. Для этого к числителю применим формулу
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ); x3 − 8 = ( x − 2)(x2 + 2x + 4),
а в знаменателе вынесем за скобки общий множитель. Таким образом,
19
lim |
x3 − 8 |
= lim |
|
(x − 2)(x2 + 2x + 4) |
= lim |
x2 + 2x + 4 |
= |
|||||
|
|
|
||||||||||
x→2 2x − 4 |
x→2 |
|
2(x − 2) |
|
|
|
x→2 |
2 |
|
|||
|
|
= |
lim(x2 |
+ 2x + 4) |
= |
12 |
= 6. |
|
|
|
||
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||
Ответ: 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 1.2.11 |
|
|
2x2 − 11x + 5 |
|
|
|
|
|||||
Значение предела lim |
равно ... . |
|
|
|||||||||
x2 − 7x + 10 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x→5 |
|
|
|
|
1)1;
2)2;
3)3;
4)4.
Решение:
Выражение под знаком предела при x → 5 представляет со-
бой неопределенное выражение типа |
0 |
|
. Разложим квадратные |
|
0 |
|
|
трехчлены в числителе и знаменателе на множители по формуле
ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ), |
где |
x1,2 = |
|
−b ± |
b2 − 4ac |
|
– корни |
||||||||||||
|
|
|
2a |
||||||||||||||||
квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Имеем 2x2 −11x+5= 2(x |
−5) x− |
1 |
и x2 |
− 7x +10 = (x − 5)(x − 2). |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
− 11x + |
5 |
|
|
2(x − 5) x − |
2 |
|
|||||
Таким |
|
|
образом, |
lim |
|
= lim |
|
|
|
|
= |
||||||||
|
x2 − 7x + 10 |
( x − 5)( x − 2) |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→5 |
x |
→5 |
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
= 9 = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 3.
20