книги / Системы управления электромеханическими исполнительными механизмами

щенной и численной формах. Очень важно при этом «не потерять» знаки элементов матриц.

Кроме того, в целях системного восприятия векторноматричных моделей ЭМОУ студентом и исключения ошибок при их решении компьютерной программой при синтезе и анализе СУЭП целесообразно в качестве первой компоненты столбца вектора состояния записывать самую медленную – выходную координату ЭМОУ, а в качестве последней компоненты – самую быструю координату состояния ЭМОУ.

Например, для приведенной выше модели ЭМОУ (см. рис. 3.2, а) в форме ОДУ и для строки параметров № 12 (см. табл. 3.1) имеем уравнениесостояния

		X = AX + BU + CF,
где X ,	,	i, Eп T – вектор состояния; U = [Uу] – вектор

управления; F iс – вектор возмущения.

Матрицы состояния, управления и возмущения соответственно имеют вид

0			K				0			0
						RэKд
0			0							0				0	10	0
						Tм								0	0	0, 4096
А	0		1				1			1
														0	651,04	66,67
			R T K					T			R T
				д
			э э					э				э э			0	0
										1				0
0			0				0
												T
												тп

		0					0
		0
							0
В		0							;
							0
		К
		T	тп				266,67
		тп

		0					0
		R K	д
		э
С		Tм				0,4096
							0	.
		0					0
		0

0
0
		;
666,67
13,33

51

Содержание отчета

1.Титульный лист, отвечающий требованиям к оформлению лабораторных работ.

2.Задание в форме перечня структурных схем и номера варианта параметров ЭМОУ.

3.СтруктурныесхемыЭМОУ всоответствиисзаданиемп. 2.

4.СтрокапараметровЭМОУ всоответствиисзаданиемп. 2.

5.ММ заданных ЭМОУ в форме ОДУ.

6.ММ заданных ЭМОУ в форме ВМУ состояния.

7.Выводы по результатам математического описания ЭМОУ, отражающие специфику, достоинства и недостатки форм представления ММ ЭМОУ.

Контрольные вопросы

1.Перечислить формы ММ ЭМОУ, дать сравнительную характеристику форм описания, привести их достоинства и недостатки, целесообразные области применения моделей.

2.Рассмотреть по заданию преподавателя преобразование конкретной ММ ЭМОУ из формы ОДУ в форму структурной схемы.

3.Рассмотреть по заданию преподавателя преобразование конкретнойММизформыструктурнойсхемыЭМОУвформуОДУ.

4.Рассмотреть по заданию преподавателя преобразование конкретной ММ из формы ОДУ в форму ВМУ состояния.

5.Рассмотреть по заданию преподавателя преобразование конкретной ММ из формы ВМУ состояния в форму ОДУ.

6.Рассмотреть по заданию преподавателя преобразование конкретной ММ из формы структурной схемы в форму ВМУ состояния.

7.Рассмотреть по заданию преподавателя преобразование конкретной ММ из формы ВМУ состояния в форму структурной схемы.

52

Лабораторная работа № 5. Цифровые системы управления скоростью рабочих органов исполнительных механизмов

с регуляторами состояния

Цель работы – ознакомление студентов с методикой синтеза финитных СУЭП с изменяемой в достаточно широком диапазоне скоростью вращения, а также формирование у студентов умений и навыков работы с программой «Исследование САУ».

Краткие теоретические сведения

Многие САУ относятся к классу систем, функционирующих в режимах малых отклонений координат: системы стабилизации той или иной технологической координаты (скорости вращения или перемещения рабочего органа, температуры, давления, натяжения и т.п.), следящие системы управления, системы воспроизведения движений на динамических стендах и др. Поскольку основным технологическим требованием при синтезе таких систем является максимальное быстродействие и минимум динамической ошибки отработки рассогласований заданных и действительных значений координат состояния, в качестве дискретного критерия оптимальности часто принимают критерий вида J = n min, где n – число периодов дискретного управления, по истечении которых система приходит в установившееся состояние без перерегулирования выходной переменной [9–11]. Такие САУ с конечным временем установления переходных процессов принято называть финитными.

Ниже рассмотрена аналитическая процедура синтеза финитных регуляторов состояния, обеспечивающих конечное время установления переходных процессов в линейных системах управления произвольного порядка. Предлагаемая процедура синтеза теоретически обеспечивает в системе управления астатизм первого порядка по задающим воздействиям, а следовательно, повышенную точность отработки изменяющихся во времени задающих воздействий.

53

Пусть линейный стационарный объект управления описывается дискретно-непрерывным векторно-матричным уравнением

		AX(t) BU(kT ) CF(t),		(3.1)
	X(t)
где X(t), U(kT ), F(t) –		векторы состояния, управления и возму-
щения соответственно размерности			n 1, m 1, d 1; A, B, C –
матрицы	состояния,	управления,	возмущения	размерности
n n, n m,	n d соответственно; T – такт дискретного управле-

ния, с; k – номер такта дискретного управления.

Задача синтеза формулируется следующим образом: необходимо для произвольных начальных значений X(0), F(0) и постоянного на интервале nT вектора возмущений F(t) сформировать дискретную управляющую последовательность (U kT), k = 0, 1, ... , переводящую объект управления (3.1) в заданное конечное состояние X* за n тактов управления, где n – порядок динамического объекта. Допущения при синтезе оптимального управления: время измерения координат состояния и выработки (вычисления) координаты управления ничтожно мало в сравнении с тактом T управления; длина разрядной сетки ЭВМ и устройств связи с объектом управления позволяет пренебречь квантованием непрерывных сигналов по уровню; значение периода управления T предполагается априори выбранным исходя из ограничений ресурсов управления. Приведенные допущения являются широко распространенными при синтезе дискретных систем управления объектами рассматриваемого класса [2–4, 8, 9].

Представим искомую управляющую дискретную последовательность в виде линейной формы дискретных значений векторов состояния X(kT), задающих воздействий X*(kT), вектора возмущения F(kT) и вектора производных задающих воздейст-

	(kT ) в виде
вий X
			(kT ),	(3.2)
	U(kT ) αX(kT ) βX	(kT ) γF(kT ) δX

где α, β, γ, δ – матрицы финитного управления соответственно размерности m n, m m, m d, m m, определение которых и является задачей синтеза.

54

Предлагаемый подход основан на разных формах представления объекта управления (в виде непрерывной модели) и устройства управления (в виде дискретной модели), причем структура устройства управления предполагается заданной не в виде дискретной передаточной функции, а в виде линейного дискретного регулятора состояния системы.

Векторная структурная схема такой дискретно-непрерыв- ной системы приведена на рис. 3.3, обозначения переменных соответствуют [9].

Пунктирными линиями на схеме выделены объект управления (ОУ) и устройство управления (УУ) – дискретный регулятор состояния. Дискретизация вектора управления и, соответственно, всех аддитивных воздействий осуществляется в моменты времени kT (k = 0, 1, 2, …) методом экстраполяции нулевого порядка.

Экстраполятор (фиксатор) нулевого порядка обозначен на схеме аббревиатурой ЭНП. Простейшая аппаратная реализация векторного ЭНП – m устройств выборки-хранения, имеющих квантователи сигналов в моменты времени kT (m – размерность вектора управления). При микропроцессорной реализации дискретного регулятора состояния ЭНП – совокупность регистров памяти с перезаписью информации с тактом T управления.

Рис. 3.3. Векторная структурная схема дискретно-непрерывной САУ

55

Заметим, что линейность моделей (3.1) объекта управления и регулятора (3.2) состояния объекта управления позволяет при синтезе САУ применить принцип суперпозиции управляемых динамических процессов. Проведем декомпозицию управляющей дискретной последовательности и динамических процессов в системе на две составляющие – управляемый свободный процесс и управляемый вынужденный процесс. В соответствии с этим в процедуре синтеза выделим два этапа – синтез свободного и синтез вынужденного движений.

Синтез свободного движения САУ

Управляемый свободный процесс в системе определяется парой матриц A, B объекта управления и матрицей α регулятора состояния, призванной обеспечивать оптимальность переходных свободных движений при произвольных начальных значениях вектора состояния X(0). На первом этапе синтеза будем полагать равными

нулю все внешние аддитивные воздействия X (t), X (t), F(t). Тогдауправлениесвободнымдвижениемприметвид

U(kT ) = αX(kT ).

(3.3)

Для нахождения матрицы α воспользуемся теоремой об n интервалах дискретного управления в сочетании с принципом оптимальности Беллмана [10, 11]. Не снижая общности выкладок, будем полагать, что оптимальное свободное движение системы завершается через n тактов дискретного управления в нулевой точке пространства состояний X(n) = 0. Сформируем расширенный вектор-столбец состояния

V(t) = col [X(t), U(kT)]

(3.4)

и перепишем уравнение для случая управляемого свободного движения в виде

	(3.5)
V(t) DV(t),

гдеD – матрицауправляемого состоянияразмерности(n+m) (n+m),

56

A		B		(3.6)
D	0	0	.

Зададимся некоторой произвольной дискретной управляющей последовательностью U(kT), k = –1, –2, ... , –n и рассмотрим движение системы в обратном времени, т.е. примем конечное нулевое состояние системы за начальное. Проинтегрируем уравнение (3.5) при нулевых начальных условиях X(0) = 0, воспользовавшись аппаратом переходных матриц состояния, и получим векторное дискретное уравнение состояния

V(kT ) Ф 1 (D,T )V((k 1)T ),

k = 1, 2, ..., n,

(3.7)

где Ф 1 (D,T ) – расширенная обратная матрица перехода.

Сформируем матрицу W дискретного управления размерности (m n) и матрицу G дискретного состояния размерности

(n n) в виде

W = [ U(–T) U(–2T) ...	U(–nT) ],	(3.8)
G = [ X(–T) X(–2T) ...	X(–nT) ].	(3.9)

Поскольку не наложены какие-либо ограничения на множества управляющих воздействий и дискретные состояния системы, а также по определению система находилась в нулевом начальном состоянии, очевидно, что ее движение в обратном направлении (по отношению к принятому при синтезе) будет носить оптимальный по быстродействию апериодический характер. Следовательно, с учетом выражения (3.3) искомую матрицу α можно найти в виде

WG 1.

(3.10)

Решение векторно-матричного уравнения (3.10) будет единственным при полном ранге матрицы G, т.е. если rank(G) = n.

57

Синтез вынужденного движения САУ

На втором этапе синтеза определим матрицы β, γ, δ, входящие в выражение (3.2), для чего рассмотрим вынужденное движение системы.

Представим вектор-столбец установившихся состояний САУ в виде

X col(X1 , X2 ),

(3.11)

где X1 – подвектор размерности m 1, определяющий заданное установившееся состояние системы, т.е. X1 X ; X2 – подвектор

размерности (n–m) 1, включающий в себя остальные координаты состояния системы управления.

Соответствующую матрицу установившихся состояний представим в виде блочной матрицы

A A1 A2 ,

(3.12)

где A1, A2 – подматрицы соответственно размерности n m,

n (n – m).

Представим все аддитивные воздействия на систему в виде обобщенного вектора-столбца задающих и возмущающих воздействий размерности (2m + d) 1

Z			,	F)	(3.13)
	col(X	, X
и зададимся численными	значениями			его 2 m+ d	компонент

2 m+ d раз, из которых сформируем не особую матрицу Q аддитивных воздействий размерности (2m + d) (2m + d) в виде

	Q = Z(1) Z(2) ... Z(2m + d) .	(3.14)
Тогда с учетом введенных обозначений (3.3)…(3.15) уравне-
ние (3.1) для	квазиустановившихся состояний	системы
	(t) const) можно переписать в виде
(X(t) const, X1
58

X		(1)		X	(2)		... X	(2m+ d)
	2			2			2
	U(1)			U(2)		... U(2m+ d)				(3.15)
	A2			B 1 E			A1		C Q.

Подставим векторы установившихся состояний X2 (i), U(i), i = 1, ..., 2m + d в уравнение (3.2) и выразим искомую блочную матрицу

	U(1)	... U(2m+ d)
			(3.16)
δ β γ	X (1) ... X (2m+ d) Q 1.
	X2	(1) ... X2 (2m+ d)

Матрицы , , определяются однозначно при полном ранге матрицы Q, что легко обеспечить соответствующим заданием значений аддитивных воздействий либо формированием заведомо невырожденных матриц размерности (2m + d) (2m + d), например, в форме диагональной единичной матрицы. Таким образом, результирующее дискретное управление в форме (3.2) представляет собой цифровой регулятор состояния, обеспечивающий комбинированное финитное управление по отклонению выходной координаты от заданного значения и по возмущающим воздействиям, а также астатизмпервогопорядкапо задающимвоздействиям.

Порядок выполнения работы

иметодические указания

1.Получить от преподавателя задание на выполнение лабораторной работы, включающее одну из структур ЭМОУ (рис. 3.1)

иномер варианта параметров ЭМОУ (табл. 3.1).

2.По структурной схеме ЭМОУ составить описание ЭМОУ в форме системы ОДУ в нормальной форме Коши.

3.По полученным ОДУ составить ВМУ состояния ЭМОУ, причем матрицы состояния, управления и возмущения для задан-

59

ных преподавателем структур и параметров ЭМОУ необходимо привести в обобщенной и численной формах.

4.Выписать таблицы чисел полученных матриц, запустить приложение «Исследование САУ» и перейти к работе программы, используя рекомендации Приложения А (описание интерфейса программы) и приложения Б (последовательность работы

спрограммой).

5.Сохранить результаты синтеза регулятора состояния и анализа СУЭП (семейство графиков четырех опытов) в формате рисунков (скриншотов).

Примечание. Число опытов имитационного моделирования СУЭП с регуляторами состояния, включающих конкретные набо-

ры начальных, заданных и возмущающих координат ЭМОУ, по умолчанию равно четырем. Итого в отчете по лабораторной работе для штатного задания, включающего одну структурную схему (см. рис. 3.1), должно быть четыре рисунка, содержащих графики переходных процессов с таблицей экстремальных значений координат (см. приложение А, рис. А9). Каждый из опытов должен предваряться описанием конкретных условий моделирования – указанием численных значений начальных, заданных координат электропривода и возмущающих воздействий. При этом в обязательном порядкенеобходимоуказыватьразмерностипеременных.

Преподаватель может сократить или увеличить число опытов исходя из требований к подготовке студентов и реалий временного регламента, задав новые наборы начальных, заданных и возмущающих координат СУЭП.

Содержание отчета

1.Титульный лист, отвечающий требованиям к оформлению лабораторных работ.

2.Задание в форме перечня структурных схем и номера варианта параметров ЭМОУ скоростью РО (см. рис. 3.1 и табл. 3.1).

3.Структурные схемы ЭМОУ скоростью РО в соответствии

сзаданием, см. п. 2.

60