книги / Строительная механика зданий и сооружений
..pdfУравнение (2.2) называется уравнением устойчивости, из решения которого определяются значения критических сил.
Реакции основной системы, входящие в определитель, находятся с учетом продольных сил, действующих в стержнях, поэтому уравнение (2.2) содержит в качестве неизвестного параметр v. Уравнение (2.2) имеет бесконечное множество корней, которые расположены на положительной части числовой оси. Наименьший из корней v vкр соответствует минималь-
ной критической нагрузке, которая представляет практический интерес. Этот корень обычно находят подбором, начиная со значения v = 0. По безразмерному параметру vкр находим кри-
тический параметр нагрузки Pкр vкр2 EI /l2.
§ 2.3. Примеры расчета на устойчивость несимметричных рам
Для указанной рамы требуется:
1.Определить погонные жесткости i и параметры v для стержней рамы. Все параметры выразить через v0.
2.Выбрать основную систему метода перемещений и составить уравнения устойчивости в общем виде.
3.Построить эпюры изгибающих моментов от единичных смещений дополнительных связей в основной системе. При построении эпюр в сжатых стержнях следует пользоваться табл. 2, 3 приложения, приведенных в настоящей работе.
4.С помощью построенных эпюр определить реакции
вдополнительных связях основной системы и представить уравнение устойчивости в развернутом виде.
5.Из уравнения устойчивости определить значение параметра v0.
6.Определить критические силы и расчетные длины сжа-
тых стержней.
31
Пример 2.1. Требуется найти критическую нагрузку и расчетную длину для стойки рамы, показанную на рис. 2.1, с условием что длины и жесткости элементов равны между собой.
Выберем основную систему метода перемещений: закрепим узлы рамы от возможных поворотов и линейных смещений.
Рис. 2.1
Построим эпюры моментов, принимая перемещения наложенных связей за безразмерные и равными 1. При построении эпюр учтем, что к стойке рамы приложена продольная сила, поэтому эпюры в ней будут строиться с ее учетом (табл. 2 приложения). В ригеле рамы продольная сила равна нулю, соответственно, эпюры в нем будут строиться по таблицам расчета рам методом перемещений на прочность.
32
Рис. 2.2
По первому единичному состоянию из равновесия отдельных частей рамы найдем реакции в дополнительных связях
(рис. 2.2)
r11 3i 3i 1 v , r21 3i l1 v .
По второму единичному состоянию из равновесия отдельных частей рамы найдем реакции в дополнительных связях
r |
3i 1 v |
, r |
|
|
3i |
|
v . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
12 |
|
l |
|
22 |
|
|
l 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Составим определитель матрицы и приравняем его к нулю: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
r11 r12 |
|
|
|
3i 3i 1 v ; |
3i 1 v |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
0. |
(2.3) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3i |
|
v |
|
3i |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
v |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
r |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
22 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
9i2 |
|
v |
9i2 |
|
|
|
v |
v |
9i2 |
|
2 |
v . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
l 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
l 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
l 2 |
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
По табл. 3 приложения находим v = 1,80. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
v |
|
|
l |
|
|
Pкр1 |
P |
|
|
3,24 EI |
, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
кр1 |
|
|
|
|
|
|
|
EI |
|
|
|
|
кр1 |
|
|
|
l2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
l0 |
|
|
|
|
|
EI |
|
|
l |
|
|
|
1 |
1,75l. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pкр |
|
|
|
3,24 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По результатам расчета видно, что стойка работает примерно как консольный стержень.
В качестве данного примера была использована статически определимая рама, но дважды кинематически неопределимая. Решая данную раму на прочность, нет смысла пользовать-
33
ся методом перемещений, так как она статически определима. Но при решении задачи устойчивости метод перемещений обладает большими преимуществами по сравнению с методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси стержня. В статически неопределимых системах преимущества метода перемещений еще более очевидны.
Пример 2.2. (пример заимствован из [6, с. 139]). Определить критическое значение узловой нагрузки и расчетную длину для сжатой стойки рамы (рис. 2.3). В расчетах принять ip 3ic 3i.
а |
б |
в |
г |
Рис. 2.3
Основная система, изображенная на рис. 2.3, б, имеет два неизвестных метода перемещений – это углы поворота жестких
узлов рамы Z1 и Z2.
На рис. 2.3, в и г показаны единичные эпюры моментов от соответствующих Z1 = 1 и Z2 = 1. По построенным эпюрам, составляя уравнение равновесия жестких узлов рамы, находим
34
r11 9i 3i 1 v 12i 3i 1 v 7 ,
где vкр1 h EIP .
r12 r21 6i,
r22 9i 3i 12i 24i.
Условие критического состояния рамы на основании (2.2) будет иметь вид
|
r11r12 |
|
|
|
7 1 v 3i 6i |
|
|
|
|
|
|||
|
|
= 0, |
||||
|
r21r22 |
|
|
|
6i; 24i |
|
|
|
|
|
|
|
|
из которого следует 1 v 6,5. По табл. 3 приложения находим наименьший корень этого уравнения vкр 4,29. Тогда
P |
v2 |
EI |
|
18,4 EI |
|
|
|
||
кр |
h2 |
|
h2 |
|
|
|
и расчетная длина
h |
EI |
l |
|
1 |
0,732h. |
|
|
||||
0 |
Pкр |
18,4 |
|
||
|
|
Видно, что ввиду большой жесткости ригеля стойка работает примерно как стержень с одной жесткой и другой шарнирной опорами.
Пример 2.3. Для заданной рамы (рис. 2.4, а) найти критические значения сил и расчетные длины стоек при действии на нее силы P1, силы Р2 = 1,2Р1 и постоянной силы P = 200 кH;
EI = 400 кH·м2.
1. Определяем погонные жесткости i и параметры v для стержней рамы.
35
Примем i |
EIn , |
v h |
|
P1 |
6 |
|
|
P1 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||
1,5EI |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
L |
0 |
|
1 |
|
|
|
1,5EI |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда для стержня 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
i |
|
EI1 |
i . |
Примем |
|
EI |
за i0, v |
h |
1,2P1 |
6 |
1,2P1 |
|
||||||||||||||||||
1 |
6 |
0 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
EI |
|
EI |
|
|||||||||
1,342v0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
для стержня 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
i |
|
|
E 1,5I |
|
1,5EI |
|
1,5i , |
v |
|
h |
|
P1 |
v ; |
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
h |
|
6 |
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
1 1,5EI |
0 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для стержня 3: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
i |
|
EI |
i ,v |
h |
|
P |
6 |
200 |
|
4,22; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
EI |
400 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3 |
|
|
h |
0 |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для стержня 4: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
i |
|
EI |
EI |
1,5i |
, v |
|
h |
|
|
P1 |
|
4 |
|
|
P1 |
|
0,816v ; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
EI |
|
|
EI |
|
|
|||||||||||||||||||||
4 |
|
|
h |
4 |
|
0 |
|
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
для стержня 5: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
i |
E2I |
|
2EI |
2i , v 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5 |
|
|
l1 |
|
|
|
|
6 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Выбор основной системы. Составление уравнения устойчивости в общем виде.
Определим степень кинематической неопределимости рамы.
Заданная рама содержит два промежуточных жестких узла 2 и 3. Но изгибная жесткость ригеля 2–3 значительно больше жесткости стойки 3–С (EI = ), поэтому можно считать его абсолютно твердым телом, не допускающим деформаций. Поэтому угол поворота третьего узла равен нулю 3 0 , и, сле-
довательно, hy 0.
Для определения числа линейных независимых перемещений образуем шарнирную схему рамы, вводя во все жесткие
36
узлы полные шарниры (рис. 2.4). Полученная шарнирная схема дважды геометрически изменяема:
W 3K Ш 3 2 8 2.
Действительно, для обращения шарнирной схемы в геометрически неизменяемую систему достаточно ввести два дополнительных опорных стержня: первый устраняет возможное горизонтальное перемещение узла 1, и, следовательно, всего ригеля 1–2–3; второй закрепляет от горизонтального смещения конец консоли 4. Таким образом, заданная рама имеет два неизвестных независимых линейных перемещения 1 и 2
(рис. 2.4, б).
а
б
Рис. 2.4
37
Число неизвестных метода перемещений n ny nл 1 2 3.
Это число можно уменьшить за счет исключения из неизвестных линейных перемещений узлов для стержней, в которых поперечная сила заведомо равна нулю. Таким стержнем является консоль. Тогда линейное перемещение 2 можно из состава основных неизвестных исключить, но это не означает, что перемещение 2 = 0.
Основную систему метода перемещений получаем введением в заданную схему рамы дополнительных связей, которые исключают основные неизвестные перемещения. Для закрепления узла 2 от возможного поворота вводим в этот узел дополнительную упругую заделку, а для устранения возможного неизвестного линейного смещения вводим дополнительный опорный стержень в узел 1.
Обозначим неизвестный угол поворота Z1 и неизвестное линейное смещение Z2 (рис. 2.5).
Рис. 2.5
Уравнение устойчивости в общем виде
38
D |
|
r11r12 |
|
0, r |
r |
r 2 |
0. |
|
|
||||||
|
|
r21r22 |
|
11 |
22 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Построение единичных эпюр метода перемещений. Определение коэффициентов канонических уравнений.
Эпюры изгибающих моментов в основной системе от единичных перемещений, построенные с учетом табл. 2 приложения для сжатых элементов, даны на рис. 2.6, а, б.
а
39
б
Рис. 2.6
Значения коэффициентов канонических уравнений получим с использованием эпюр рис. 2.6, а, б.
|
r11 4i2 2 v2 4i4 v4 tgv4 3i5 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
6i0 1,5i0 v4 tgv4 6i0 |
2 v0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
6i0 2 v0 1 0,25 v4 |
tgv4 . |
|
|
|
|
|
||||||
По табл. 2 приложения Q |
6i2 |
|
4 |
v |
2 |
1,5i |
|
4 |
v |
0 |
. |
||
|
|||||||||||||
|
2 |
h |
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
r21 1,5i0 4 v0 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
v0 . |
|||
X 0; |
Тогда |
r21 1,5i0 4 |
Здесь r11 – реактивный момент, возникающий в первой введенной (дополнительной) связи, от поворота этой связи на
угол, равный Z1 1;
r21 – реактивная сила, возникающая во второй введенной (дополнительной) связи, от поворота первой дополнительной
связи на угол Z1 1.
Реакции r11 и r21 нашли по эпюре (рис. 2.6, а), используя условия равновесия узла и части рамы (рис. 2.7).
40