книги / Основы геодезии и топографии
..pdf3.2. Задание и исходные данные
Дирекционный угол исходной стороны α1–2 выдается каждому студенту индивидуально. Координаты исходной точки 1 могут быть одинаковыми для всех вариантов, например X1 = 765,87 м;
Y1 = 637,46 м.
Подробно вычисления координат точек теодолитного хода и построение плана рассмотрим на примере.
Пример. На участке местности проложен замкнутый теодолитный ход, в котором измерены горизонтальные внутренние правые по ходу углы. Измерение углов производилось оптическим теодолитом 2Т30 способом приемов. Точность отсчитывания по горизонтальному кругу 1 минута.
Данные полевых измерений горизонтальных углов и длин линий (горизонтальных проложений) приведены в табл. 5.
|
|
Исходные данные |
Таблица 5 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Номер |
Горизонтальный угол |
Наименование |
Значение длины |
|
вершины |
градусы |
минуты |
длины |
(горизонтальное |
|
|
|
|
проложение), м |
1 |
132 |
31,5 |
1 – 2 |
173,56 |
2 |
98 |
58 |
2 – 3 |
252,77 |
3 |
102 |
36 |
3 – 4 |
239,22 |
4 |
113 |
41,5 |
4 – 5 |
221,36 |
5 |
92 |
11,5 |
5 – 1 |
246,78 |
По данным полевых измерений необходимо вычислить координаты точек теодолитного хода, занести результаты вычислений в табл. 6 и построить план участка местности в масштабе
1:2000.
31
Стр. 31 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
32 .Стр
32
Таблица 6
Ведомость вычисления координат точек теодолитного хода
|
Номер |
|
Горизонтальные углы |
Дирекци- |
Горизон- |
|
|
Приращения |
|
Исправленные |
Координаты |
|||||||||||||||
|
точки |
|
Изме- |
Поправка |
Исправ- |
онные |
тальные |
|
|
координат |
|
|
приращения |
|
|
|||||||||||
|
|
ренные |
|
|
|
ленные |
углы |
проложе- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
координат |
|
|
|||
|
|
|
углы |
|
|
|
углы |
|
ния |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆Х |
|
|
|
|
∆Y |
|
|
|
∆Х |
∆Y |
Х |
Y |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
765,87 |
637,48 |
|
|
|
|
|
|
|
45° 45′ |
173,56 |
|
–0,02 |
|
|
–0,02 |
121,09 |
|
124,30 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
121,11 |
|
|
124,32 |
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
98° 57,5′ |
+0,5 |
|
|
98° 58′ |
|
|
|
886,96 |
761,78 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ЭБ |
|
|
126° 47′ |
252,77 |
|
–0,03 |
|
|
–0,02 |
|
–151,39 |
202,42 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
–151,36 |
|
202,44 |
|
|
|
|||||||||||||
3 |
102° 36′ |
|
|
|
102° 36′ |
|
|
|
735,57 |
964,20 |
||||||||||||||||
ПНИПУ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
204° 11′ |
239,22 |
|
–0,03 |
|
|
–0,02 |
|
–218,25 |
–98,01 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–218,22 |
|
–97,99 |
|
|
|
||||||||||||
(elib |
4 |
113° 41′ |
|
|
|
113° 41′ |
|
|
517,32 |
866,19 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
270° 30′ |
221,36 |
|
–0,02 |
|
|
–0,02 |
|
|
1,91 |
|
–221,37 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,93 |
|
–221,35 |
|
|
|
|
|
||||||||||
.pstu |
5 |
92° 12′ |
+0,5 |
|
|
92° 12,5′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
519,23 |
644,82 |
||||||||
|
|
358° 17,5′ |
246,78 |
|
–0,03 |
|
|
–0,02 |
246,64 |
|
–7,34 |
|||||||||||||||
ru) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
246,67 |
|
|
|
–7,32 |
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
132° 32′ |
+0,5 |
|
|
132° |
|
|
|
|
|
765,87 |
637,48 |
|||||||||||||
|
|
|
32,5′ |
45° 45′ |
|
|
∑=+0,13 |
∑=+0,10 |
|
|
∑=0 |
∑=0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∑βизм = 539° 58,5′; |
|
|
|
|
|
f X = +0,13; fY = +0,10; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
∑βтеор = 540°; |
|
|
|
|
|
|
|
fабс |
= |
|
fX2 + fY2 = 0,132 +0,102 = 0,16 ; |
|
|||||||||||||
|
f β = –1,5′; |
|
|
|
|
|
|
|
fотн |
= |
|
fабс |
|
= |
|
0,16 |
|
= |
|
1 |
|
; P = 1133,69; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
1133,69 |
|
7085 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
fβдоп = |
′ |
′ |
5 = ±2, 2 |
′ |
; |
|
|
|
f доп = 1/2000; f отн < f доп. |
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
n =1 |
|
|
|
|
|
|
|
3.3. Определение координат точек теодолитного хода
3.3.1. Уравнивание угловых измерений (вычисление угловой невязки и ее распределение)
Разность между суммой измеренных углов и теоретической их суммой называется угловой невязкой хода и обозначается fβ.
Уравнивание – это процесс математической обработки, в результате которой вычисляется и распределяется невязка.
Вычисляем сумму измеренных углов полигона ∑βизм и теоретическую сумму углов ∑βтеор. Теоретическая сумма для правых внутренних углов полигона вычисляется по формуле
∑βтеор =180o (n −2),
где n – количество углов.
Угловая невязка замкнутого хода fβ вычисляется по формуле
fβ = ∑βизм −∑βтеор.
Вычисленная угловая невязка fβ не должна превышать допустимую fβдоп , которая вычисляется по формуле
fβдоп =t n,
где fβ доп – предельно допустимая невязка, мин; t – точность отсчета
по горизонтальному кругу теодолита (в примере t = 1′); n – количество измеренных углов полигона.
Вычисленная и допустимая невязки сравниваются.
Если fβ > fβ доп , то необходимо проверить вычисления. Если fβ ≤ fβ доп , то угловая невязка fβ распределяется на измеренные уг-
лы с обратным знаком и поровну. Величина поправки не должна быть меньше точности отсчитывания при измерении углов. Поправка в измеренные углы
33
Стр. 33 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
δβ = − fnβ .
Горизонтальные углы измеряются с точностью 1′, поэтому не имеет смысла вводить поправки с меньшей точностью. Поправки вводятся в углы с короткими сторонами с точностью 1′ или 0,5′ для исключения десятых долей минуты. Поправка записывается в соответствующую графу табл. 6.
Контроль. Для контроля распределения поправки находим ∑δβ.Если вычисления верны, то ∑δβ = − fβ .
Далее вычисляются исправленные углы:
βиспр =βизм +δβ .
Контроль. Если вычисление и распределение угловой невязки выполнены верно, то сумма исправленных горизонтальных углов равна теоретической сумме:
∑βиспр = ∑βтеор .
Пример вычисления угловой невязки
Сумма измеренных углов
∑βизм =132o32′+98o57,5′+102o36′+113o41′+92o12′=539o58,5′.
Теоретическая сумма
∑βтеор =180o (n −2)=180o (5 −2)=540o .
Невязка
fβ = ∑βизм −∑βтеор =539o58′,5 −540o = −1,5′ .
Допустимая угловая невязка
′ |
′ |
′ |
fβ доп =1 |
n =1 |
5 = ±2,2 . |
Вычисленная угловая невязка меньше допустимой.
34
Стр. 34 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Распределяем угловую невязку на измеренные углы. Поправка равна +0,5′. Ее величина прибавляется к измеренным горизонтальным углам:
β1 =132o32′+0,5′=132o32,5′; β2 =98o57,5′+0,5′=98o58′; β5 =92o12′+0,5′=92o12,5′.
Контроль этапа:
∑βиспр =132o32,5′+98o58′+102o36′+113o41′+92o12,5′=540o .
Все результаты вычислений заносятся в табл. 6.
3.3.2. Вычисление дирекционных углов
По известному дирекционному углу αn и по исправленным горизонтальным углам βиспр вычисляются дирекционные углы остальных сторон теодолитного хода по формуле для правых горизонтальных углов:
αn+1 = αn ±180o −βиспр,
т.е. дирекционный угол последующей стороны равен дирекционному углу предыдущей стороны плюс 180° и минус исправ-
ленный горизонтальный угол, правый по ходу.
Величина дирекционного угла не может превышать 360° и быть меньше 0°. Если величина дирекционного угла больше 360°, то из результатавычислений необходимо вычесть 360°.
Контроль. В замкнутом теодолитном ходе в результате вычислений должен получиться дирекционный угол исходной стороны.
Пример вычисления дирекционных углов
Дирекционный угол исходной стороны α1–2 равен 45°45′. Вычисляем остальные дирекционные углы:
α2−3 =α1−2 ±180o −β2 = 45o45′+180o −98o58′=126o47′; α3−4 =α2−3 ±180o −β3 =126o47′+180o −102o36′= 204o11′;
35
Стр. 35 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
α4−5 = α3−4 ±180o −β4 = 204o11′+180o −113o41′= 270o30′;
α5−1 = α4−5 ±180o −β5 = 270o30′+180o −92o12,5′=358o17,5′;
α1−2 = α5−1 ±180o −β1 =358o17,5′+180o −132o32,5′= 405o45′.
При вычислении дирекционного угла α1–2 получилось значение 405°45′, поэтому из полученного значения вычитается 360°:
405o45′−360o = 45o45′.
Контроль вычисления дирекционных углов получился. Все результаты вычислений заносятся в табл. 6.
3.3.3. Вычисление приращений координат
Вычисление приращений координат выполняется по форму-
лам:
∆X = d cos α; ∆Y = d sin α,
где d – горизонтальное проложение (длина) линии; α – дирекционный угол этой линии.
Приращения координат вычисляются с точностью до двух знаков после запятой.
Пример вычисления приращений координат:
∆X1−2 = d1−2cos α1−2 =173,56 cos 45o 45′=121,11; ∆X2−3 = d2−3cos α2−3 = 252,77 cos 126o 47′= −151,36 ; ∆X3−4 = d3−4cos α3−4 = 239,22 cos 204o11′= −218,22 ; ∆X4−5 = d4−5cos α4−5 = 221,36 cos 270o30′=1,93 ; ∆X5−1 = d5−1cos α5−1 = 246,78 cos 358o17,5′= 246,67 .
∆Y1−2 = d1−2sin α1−2 =173,56 sin 45o 45′=124,32 ; ∆Y2−3 = d2−3sin α2−3 = 252,77 sin 126o 47′= 202,44 ;
∆Y3−4 = d3−4sin α3−4 = 239,22 sin 204o11′= −97,99 ; ∆Y4−5 = d4−5sin α4−5 = 221,36 sin 270o30′= −221,35 ;
∆Y5−1 = d5−1sin α5−1 = 246,78 sin 358o17,5′= −7,32 .
36
Стр. 36 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
Все результаты вычислений заносятся в табл. 6. Пример вычисления тригонометрических функций на калькуляторе приведен в прил. 4.
3.3.4. Уравнивание линейных измерений
Разность между суммой вычисленных приращений координат и теоретической суммой называется линейной невязкой хода и обозначается fХ и fY. Уравнивание линейных измерений выполняется по осям Х и Y.
Линейная невязка вычисляется по формулам:
fX = ∑∆X −∑∆Xтеор; fY = ∑∆Y −∑∆Yтеор .
Теоретическая сумма приращений координат зависит от геометрии хода. В замкнутом теодолитном ходе она равна нулю, поэтому
fX = ∑∆X ; fY = ∑∆Y .
Прежде чем распределять невязки в приращения координат, необходимо убедиться в их допустимости. Для этого вычисляются:
– абсолютная невязка хода
fабс = fX2 + fY2 ;
– относительная невязка хода
|
|
fотн = |
fабс |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
P |
|
|
|
|
||
где Р – периметр хода (сумма длин сторон), м. |
|
|
|
|
|||||
Относительная невязка сравнивается сдопустимой |
fдоп = |
|
1 |
. |
|||||
2000 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если |
полученная относительная невязка допустима, |
т.е. |
|||||||
fотн ≤ |
1 |
, то вычисляются поправки в приращения координат |
|||||||
2000 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
37 |
||
Стр. 37 |
|
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
|
|
|
|
пропорционально длинам сторон. Невязки распределяются с об-
ратным знаком. Если fотн > 20001 , то проверяются вычисления
в пп. 3.3.3 и 3.3.4.
Поправки в приращения координат δX и δY вычисляются с округлением до 0,01 м по формулам:
δ |
|
= − |
fX |
d |
; δ |
|
= − |
fY |
d |
, |
|
|
|
P |
|||||||
|
X |
|
P i |
|
Y |
|
i |
|
где δX и δY – поправки в приращения по оси Х и Y соответственно, м; fX и fY – невязки по осям, м; Р – периметр (сумма сторон), м; di – измеренная длина (горизонтальное проложение), м.
Знак поправки противоположен знаку невязки.
Контроль. После вычисления поправок следует сделать проверку, т.е. сложить все поправки. Если их сумма будет равна невязке с обратным знаком, то распределение невязки выполнено правильно, т.е.:
∑δX = − fX и ∑δY = − fY .
Вычисляются исправленные приращения.
Полученные поправки алгебраически прибавляются к соответствующим приращениям, и получаются исправленные приращения:
∆Xиспр = ∆Xвычисл +δX ; ∆Yиспр = ∆Yвычисл +δY .
Контроль. Определяется сумма исправленных приращений. В замкнутом теодолитном ходе она должна равняться нулю, т.е. должны выполняться равенства:
∑∆Xиспр = 0 и ∑∆Yиспр = 0 .
Пример вычисления линейной невязки:
fX = ∑∆X =121,11+(−151,36)+(−218,22)+1,93 + 246,67 = +0,13 ;
38
Стр. 38 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
fY = ∑∆Y =124,32 + 202,44 +(−97,99)+(−221,35)+(−7,32)= +0,10.
fабс = fX2 + fY2 = 0,132 +0,102 = 0,16; fотн = fPабс = 1133,680,16 = 70851 < 20001 .
Пример вычисления поправок в приращения координат:
δX 1 = − fPX d1−2 = −11330,13 173,56 = −0,02 ;
δX 2 = − fPX d2−3 = −11330,13 252,77 = −0,03;
δX 3 = − fPX d3−4 = −11330,13 239,22 = −0,03 ;
δX 4 = − fPX d4−5 = −11330,13 221,36 = −0,02 ;
δX 5 = − fPX d5−1 = −11330,13 246,78 = −0,03 .
Контроль |
|
|
|
|
|
ΣδX = −0,13 . |
|||||||||||
δ |
Y1 |
= − |
|
|
|
|
fY |
|
d |
|
|
= − |
0,10 |
173,56 = −0,02 ; |
|||
|
|
|
|
P |
|
|
1133 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1−2 |
|
|
|
|
||||||
δ |
Y 2 |
= − |
|
fY |
|
d |
2 |
−3 |
= − |
|
0,10 |
|
252,77 = −0,02; |
||||
|
P |
|
1133 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
δ |
Y 3 |
= − |
|
|
fY |
|
d |
3−4 |
= − |
|
0,13 |
|
239,22 = −0,02; |
||||
|
|
P |
|
1133 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
δ |
Y 4 |
= − |
fY |
|
d |
4 |
−5 |
= − |
|
0,13 |
|
221,36 = −0,02; |
|||||
P |
|
1133 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
δ |
Y 5 |
= − |
fY |
|
d |
5−1 |
= − |
0,13 |
|
|
246,78 = −0,02. |
||||||
|
|
1133 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
||||||
Контроль |
|
|
|
|
|
ΣδY = −0,10 . |
Пример вычисления исправленных приращений координат:
∆X1−2 = +121,11+(−0,02)= +121,09; |
∆Y1−2 |
= +124,32 +(−0,02)= +124,30; |
∆X2−3 = −151,36 +(−0,03)= −151,39; |
∆Y2−3 |
= +202,44 +(−0,02)= +202,42; |
|
|
39 |
Стр. 39 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |
∆X3−4 |
= −218,22 +(−0,03)= −218,25; |
∆Y2−3 = −97,99 +(−0,02)= −98,01; |
||
∆X4−5 |
= −1,93 +(−0,02)= −1,91; |
∆Y4−5 = −221,35 +(−0,02)= −221,37; |
||
∆X5−1 |
= +246,67 +(−0,03)= +246,64. |
∆Y5−1 = −7,32 +(−0,02)= −7,34. |
||
Контроль |
∑∆Xиспр =0. |
Контроль |
∑∆Yиспр =0 . |
Сумма исправленных приращений равна нулю, т.е. контроль выполняется.
3.3.5. Вычисление координат точек
Если контроль вычисления и распределения линейной невязки выполняется, то вычисляются координаты всех точек хода по формулам:
Xn+1 = Xn +∆Xиспр; Yn+1 =Yn +∆Yиспр,
т.е. координата последующей точки равна координате предыдущей точки плюс исправленное приращение.
Контроль. В результате последовательного вычисления координат точек замкнутого теодолитного хода должны получиться координаты исходной точки.
Пример вычисления координат точек теодолитного хода: X2 = X1 +∆X = 765,87 +121,09 =886,96;
X3 = X2 +∆X =886,96 +(−151,39)= 735,57;
X4 = X3 +∆X = 735,57 +(−218,25)=517,32; X5 = X4 +∆X =517,32 +1,92 =519,23;
X1 = X5 +∆X =519,23 + 246,64 = 765,87.
Y2 =Y1 +∆Y =637,48 +124,30 = 761,78;
Y3 =Y2 +∆Y =761,78 + 202,42 =964,20;
Y4 =Y3 +∆Y =964,20 +(−98,01)=866,19;
Y5 =Y4 +∆Y =866,19 +(−221,37)= 644,82;
Y1 =Y5 +∆Y = 644,82 +(−7,34)= 637,48.
40
Стр. 40 |
ЭБ ПНИПУ (elib.pstu.ru) |