книги / Прикладная теория ползучести грунтов

-31 -

2.ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА СВЯЗИ НАПРЯЖЕНИЙ С ДЕФОРМАЦИЯМИ

2.1 . Линейные уравнения наследственной ползучести

Деформации практически всех строительных конструкционных ма­

териалов	и грунтов	зависят		от действующих нагрузок или напряже­
ний. При этом закон развития				деформации во времени	определяется
не только	напряжением,		приложенным в данный момент времени t (или
в момент наблюдения,		например, за осадкой сооружения), но и исто­
рией нагружения строительного				объекта. Влияние этой истории наг­
ружения	можно учесть		если	связь деформаций (ё)	с действующими

напряжениями (б) записать в виде интегрального уравнения наследс­ твенной ползучести

t

(2.1.1)

				о
Здесь Е имеет	смысл модуля упругости или модуля деформации,								v
момент приложения нагрузки,				t - время, для		которого определяются
деформации. Функция K(t-v)					ядро интегрального		уравнения		или
функция ползучести.		Поскольку			К является функцией разности аргу­
ментов ( t- v ) ,	то уравнение			(2 . 1. 1) является инвариантным относи­
тельно отсчета времени. Функция K(t-v) имеет размерность								| сек”1 1.
Ядро K(t-v) и модуль		упругости			Е, получают из опытов, поэтому со­
отношение (2 . 1. 1) считают заданным экспериментально.
Таким образом,		для	практического применения				(2.1.1)	к конк­
ретным объектам и грунтам,				необходимо: иметь эксперименты,					кото­
рые позволили бы определить				Е,	вид функции K(t-v)		и эмпирические
константы в нее входящие.				Механическая модель (2.1.1) признается
пригодной для	описания		и	прогнозирования		вязкоупругих		свойств
грунтов, если	она адекватно			описывает не только те опыты по кото­
рым определены константы,				но и эксперименты, полученные при дру­
гих нагрузках	или нагружениях.

- 32 -

Вид функции ползучести K (t-v), а также ее механический смысл проще всего выяснить рассматривая действие постоянной во времени нагрузки на образец грунта. Такие опыты легко реализуемы и их наг гывают экспериментами на простую ползучесть. В таком опыте наг­ рузка во времени не меняется, а деформация растет и интенсивность ее роста зависит от величины приложенного в опыте напряжения. Ес­ ли оно велико, то деформация развивается в течение всего опыта, при малых напряжениях скорость деформации во времени уменьшается, а деформация стабилизируется. Эти качественные экспериментальные факты установлены для всех строительных материалов и грунтов. При правильном выборе функции K(t-v) все эти механические эффекты можно описать, поэтому нужно внать основные свойства ядра ползу­ чести.

Предположим,	что		к образцу грунта приложено напряжение		бо,
которое во времени		остается постоянным,		тогда из уравнения
(2 . 1. 1) следует
K t)	-	—	[l+jK (t-v)dvj	(2 .1	.2)

При t -О из выражения (2.1.2) получим деформацию сразу после при­ ложения напряжения бо

£	------ (2.1.3)
	Е

Здесь величину Е называют "мгновенным" модулем упругости. Значе­ ние его можно получить из опытов на растяжение для мерзлых грун­ тов или на сжатие. Дифференцируя уравнение (2 . 1. 2) по t , найдем скорость деформации

e (t) - — K(t-v)

Е

а затем и выражение для K (t-t)

K(t-v)

e (t)

(2.1.4)

Еб0

Отсюда видно, что функция K(t-T) монотонно убывающая функция. Та-

				-	33 -
киы образом,		если из опытов на ползучесть известны				Е и e ( t) , то
функция K (t-v)			может быть найдена. Следовательно,			по уравнению
(2 .1 .2) можно построить				кривую ползучести для любогб t>0 .			Предс­
тавим (2 . 1. 2)		в	следующем виде
					-1
	е(Ь)		бо	Е		(2.1.5)
				t
				l+jK (t-v)dv
				о
Выражение в	квадратных скобках				можно интерпретировать как		из­
менение модуля		упругости, т .е .			чем больше t , тем меньше множитель
у б0 . Заменим в			формуле	(2 .1 .5)	v на 0 -t-v .
При t	»	величину
			Е			(2.1.6)
	---------------------- Н
			00

1+Jk(0)d0

о

условно называют длительным модулем упругости. И для неограни­ ченно большого времени отношение напряжения к деформации будет таким

бо	(2.1.7)
- Н
е(°°)
Длительный модуль упругости конечен,	если интеграл

•t

J*K(0)d0 -	11m jK(0)d0
о	1	о

t

имеет конечный предел. Если интеграл J*K(0>d0

при увеличении t возрастает, то длительный модуль упругости равен

- 34 -

нулю. Это означает» что процесс ползучести» иными словами рост деформации от постоянной нагрузки происходит все время и неогра­ ничен.

Другим простейшим реологическим эффектом происходящим в наг­ руженных грунтах и конструкционных материалах, является релакса­ ция (уменьшение) напряжений во времени. В этом процессе в самом начале его задается постоянная деформация е0 (или перемещение ) и поддерживается неизменной в течение всего опыта. Напряжение при этом будет падать и тем интенсивнее, чем ярче выражены вязкоплас­ тические свойства материала. Эффект релаксации нетрудно представить^если сравнить данные следующих опытов. Осадим последователь­ но кубики из пластилина, резины и бетона, помещенные между плита­ ми пресса. То есть каждый кубик сожмем подвижной плитой испыта­ тельной машины, задавая фиксированное перемещение будем контроли­ ровать изменение нагрузки (напряжения). Нагрузка будет уменьшать­

ся,

а именно: для

пластилина она сразу

упадет до нуля, в резино­

вом

и

бетонном образцах

она будет вначале (после сжатия) резко

падать,

а затем примет некоторое конечное значение.

Для описания эффекта релаксации необходимо решить интеграль­

ное уравнение (2 . 1. 1) относительно 6 ( t) ,

оно известно

и записыва­

ется

в следующей форме

t

(2 .1 .8 )

о

Здесь R(t-v)

есть

резольвента интегрального уравнения (2 .1 .1 ).

Способы ее

нахождения по известной функции K(t-v) описаны в

спе­

циальной литературе.

В теории

ползучести

R(t-v)

называют

ядром

релаксации.

Заметим,

что

по

известному

ядру

релаксации R(t-v)

можно всегда найти ядро ползучести K (t-v ). Для этого

нужно решить

интегральное

уравнение (2 . 1. 8)

относительно e(v ),

в результате

получим уравнение

(2 .1 .1 ).

В дальнейшем будем

использовать

из­

вестные

ядра ползучести

и соответствующие им резольвенты,

или

применять приближенный способ для отыскания резольвенты ядра полвучести.

	Остановимся на механическом		смысле уравнения (2 .1 .8 ).
Пусть	WD, то есть	нагружение произошло быстро. Тогда имеем вакон
Гука,	а именно:	прямую линию в	координатах б-е. Но эксперимен­

- 36 -

тально доказано, что любой		материал деформируясь отклоняется от
этой прямой. Из уравнения	(2	.1 .8) видно,	что второй член	позволя­
ет учесть это отклонение.	Таким образом,		форма (2 .1 .8)	в отличие

от закона Гука позволяет учесть релаксационные свойства материала даже при стандартных испытаниях, например, на растяжение, сжатие,

кручение		и т .д .
	И если		в основу линейной теории, упругости заложен закон Гу­
ка,	то	теория линейной вязкоупругости строится на			соотношениях
(2 . 1 . 1)		и	(2 . 1.8), которые связывают напряжения		и деформации с
учетом фактора времени.				Об общности этих уравнений говорит и тот
факт,	что они содержат в			себе закон Гука как частный случай.
	Рассмотрим простейший релаксационный процесс,				когда заданная

деформация е0 поддерживается постоянной в течении				всего времени t
Тогда выражение	(2 .1 .8)	приобретает	простой вид
		t
6 (t)	- Ее0 1-	jR (t-v)dv		(2.1.9)

Проведем исследование этого уравнения в последовательности, которая была принята выше для случая простой ползучести. После замены независимой переменной v на 8- t- v в уравнении (2.1.9) найдем напряжение

6 (t) -		Ее0	1-		(2 .1 .10)
а затем и скорость его			изменения
6 (t)	- -EeoR(t)			6 (t)	(2.1.11)
				и л и ------------- ER(t)
				во
Отсюда видно,	что	если из опытов на релаксацию найти			Е и б (t ) ,
то можно построить		функцию R (t). Для нахождения длительного моду­
ля запишем уравнение (2 . 1. 10)				при t-*«
	б(»)	- EEQ 1- j*R(8)d8			(2.1.12)
				о

- Зв -

Величина

00

н

(2.1.13)

а

называется длительным модулем упругости и должна совпадать с по­ лученным по формуле (2 .1 .6 ). Иными словами длительный модуль, по­ лученный по опытам на релаксацию должен быть таким же как и най­ денный из опытов на ползучесть. Этот вывод очень важен для приб­ лиженного определения интеграла от резольвенты если известен ин­ теграл от ядра и наоборот: по известному интегралу от резольвенты можно найти интеграл от ядра. Приравняв левые части (2 . 1. 6) и (2.1.13) найдем

-1

							(2.1.14)
Это означает,	что можно вычислить		значения интеграла от					резоль­
венты не зная точного выражения функции R.					А. П.Вронским была по­
лучена приближенная формула аналогичная (2 .1 .14).						В основе		ее вы­
вода лежала гипотеза о равенстве единице произведения							деформации
на напряжение в любой момент времени.				Экспериментально доказано
практически для	всех материалов,		что это		выполняется		в	области
линейной вязкоупругости.
Перемножив левые и правые части уравнений простой ползучести
(2.1.2) и простой релаксации		(2.1.9)		найдем значение			интеграла от
ядра релаксации
					-1
							(2.1.15)
Эта приближенная формула позволяет получить уравнения релакса­
ции в конечном виде.
Получим еще одно соотношение,			которое может быть				полезным
как при теоретических выводах,		так и для суждения о					примени­
мости линейной вязкоупругости.		Из формулы			(2 .1 .6)	и (2.1.13)

00		37 -
	Е	00
		н
	------- 1	и
0	Н	Е

Разделив первое соотношение на второе получим

00

ОЕ

(2.1.16)

00

Н

О

Здесь величину отношения интегралов можно вычислить для конкрет­ ных функций К и R. Входящие в них параметры также как и значения модулей упругости Е и Н, необходимо найти по экспериментальным кривым ползучести и релаксации.

2.2. Простейшие способы учета нелинейных свойств грунтов

Рассмотренный в предыдущем параграфе линейный вариант нас­ ледственной ползучести не всегда позволяет описать релаксационные процессы в грунтах. Удовлетворительное совпадение рассчитанных и экспериментальных данных получается только при малых деформациях или нагрузках.

Поэтому во многих работах предлагается расширить возможности

прикладной теории		наследственной ползучести путем введения в ли­
нейное	интегральное	уравнение нелинейной функции	от	напряжения
или от	деформации.	В механике грунтов чаще всего	рекомендуется
вводить	функцию от	деформации и вместо соотношения	(2	. 1.8) поль­
зуются уравнением
		t
	t ( t ) -	?CT(t)] - jR (t-v ) <p[T(v)]dv		(2.2.1)
		о

			-	38 -
Здесь t -	напряжение, а г деформация при сдвиге.
Возможности такой		связи		между напряжением и деформацией во
времени расширяются за		счет	того, что		нелинейная функция		ф(т) мо­
жет содержать эмпирические			константы,		которые подлежат определе­
нию из опытов на конкретных грунтах. Ниже будет						показано,	что при
определенном виде функции ф ,				константы имеют		физический	смысл,
например,	модуля упругости,			предела прочности или предела теку­
чести.
Часто в качестве эмпирической зависимости адекватно описыва­
ющей нелинейное деформирование грунтов					(и других строительных ма­
териалов)	используют степенную функцию
			Т - АТ1"				(2.2.2)

Здесь А имеет размерность напряжения, а пК1 безразмерный коэффи­ циент. Параметр А есть модуль деформации и при т-1 имеем закон Гука, а величина А совпадает с модулем упругости при сдвиге.

Уравнение деформирования (2 .2 .1) с учетом функции (2.2.2) примет следующий вид

	t
T (t) -	AinuA jR (t-v)iin(v)dv		(2.2.3)
	о
При постоянной деформации напряжение будет изменяться			по	следую­
щему закону
	t
T (t) -	Ain)(l-jR (t-v )d v j		(2.2.4)
	О
Здесь начальное напряжение релаксации бо-Ат1” достигнуто по				более
сложной зависимости,	чем в уравнении (2 .1 .9 ).	Это означает, что
нелинейность деформирования грунта учтена с		начала	нагружения.

Получен этот	эффект за счет введения эмпирических констант А и т,
вместо одной	Е в выражении (2 .1 .9 ).
После замены		независимой переменной на 0 -t-v в уравнении
(2 .2 .4 ), и деления		его на т1” получим

	t
T (t)		(2.2.5)
	- A^l-jR(0)d0j
т™
	t
Введем обозначение	Ai-A|i-J*R(0)d0j .
	0
При малых деформациях	т величины А и Ai имеют смысл мгновенного G
и длительного Gi модуля деформации при сдвиге		соответственно.

Тогда, при t -и» получим связь	"мгновенного" й длительного модулей
сдвига	оо
0» - G(l-jR(0)d0)		(2.2.6)
Из уравнений (2 .2 .5) и (2 .2 .6)	видно, что	если в течение процесса

релаксации значение интеграла будет приближаться к конечной вели­

чине,	то произойдет		стабилизация напряжения.				В олучае	равенства
интеграла единице, релаксация					напряжений будет		проходить	до нуля.
Если же функция R выбрана так,					что напряжение получается со зна­
ком	минус при t -и»,		то	следует установить диапазон применения ее
на временном интервале.				Так как при релаксации напряжение со зна­
ком минус не имеет физического смысла.
	Рассмотрим возможности модели					(2.2.1) для описания		ползучес­
ти. Для этого		необходимо решить				линейное интегральное уравнение
относительно ф
				t
		*[T (t)]	-	T(t)+Jk(t-v)T (v)dv				(2.2.7)
				0
Пусть t-o o n st,		тогда		о учетом (2.2.2) получим уравнение чистой
ползучести в следующей форме
				t
		Ат*” -	t(l+ jK (t-v )d v j,					(2.2.8)
				о

а затем решив его относительно г найдем выражение для деформации

- 40 -

		т -	[—	(l+jK (t-v)dvl]	(2 .2 .9)
			А	0
Видно,	что нелинейность			его будет определяться степенью	1/гп. При
т-1,	с	точностью	до	обозначении, получим нелинейный вариант
(2 .1 .2 ).		По экспериментам на ползучесть, как правило,			получают

графики, имеющие криволинейную форму. Следовательно, качественно,

уравнение (2.2.9) более соответствует опытным	данным. Количест­
венное совпадение достигается после определения	констант,	входя­
щих в функции ф и К.
Произведем замену в формуле (2 .2 .9) на t -б	и запишем	ее в

следующей форме для t-*»

-1

А

(2 .2 .10)

X

1+Jk(8)d0

о

Обозначим выражение в квадратных скобках через Аг

А

----------------- А2

оо

l+ jk (0)d0 •о

Отсюда, о точностью до принятого выше допущения, а именно: А имеет смысл "мгновенного" модуля сдвига, Ag - будет иметь смысл длительного модуля сдвига.

Нелинейная функция (2.2.2) используется как самостоятельная для описания диаграмм деформирования, так и в уравнениях наследс­ твенной ползучести. И в том и в другом случае дает удовлетвори­ тельное совпадение с опытами. Недостатком этой функции является тот факт, что производная dt/dr-*». Это означает, что тело дефор­ мируется неограниченно и текучесть не наступает, что не соответс­ твует экспериментальным фактам.

Этого недостатка лишена дробно-линейная зависимость между