книги / Математика. Функции нескольких переменных

Основные формулы и рисунки		Определения и замечания
		Тогда:
0, A 0	(10.4)	функция	z f x, y	имеет	в
		точке P0 x0 , y0 – экстремум,			а
		именно – максимум;
0, A 0	(10.5)	функция	z f x, y	имеет	в
		точке P0 x0 , y0 – экстремум,			а
		именно – минимум;
0	(10.6)	экстремум в точке P0 x0 , y0			–
		отсутствует;
0	(10.7)	требуются	дополнительные ис-
		следования.

Задачи

Задача 1

Исследовать на экстремум функцию z x 2 2 3 y 1 2 1.

Решение

Найдем частные производные первого порядка

z 2 x 2 ,x

z 6 y 1 .y

Определим критические точки – условие (10.1):

	z	0
	x
	z
		0 .
	y

Следовательно,

z и z :x y

71

2 x 2 0

6 y 1 0 .

Получим одну критическую точку P0 2;1 . Найдем частные производные второго порядка:

2 z		2	,	2 z	6 ,	2 z	0 .
x2				y2		x y
Учитывая условия (10.2), имеем
A 2 , C 6 ,					B 0.
Тогда AC B2						12 .
Так как 0, A 0 , то P0 2;1								– точка минимума.
z	min	f	P f 2;1 2 2 2					3 1 1 2 1 1 .
				0

Задача 2

Исследовать на экстремум функцию z 2x3 xy2 5x2 y2 .

Решение

Найдем частные производные первого порядка		z	и	z	:
		x		y
z	6x2 y2 10x ,
x
z	2xy 2 y .
y

Для определения критических точек составим систему:

6x2 y2 10x 0

2xy 2 y 0;

6x2 y2 10x 0y 1 x 0 .

Решая систему, найдем четыре критических точки:

P	0;0 , P			5	;0		, P	1;4 , P	1; 4 .
1	2		3				3	4

Найдем частные производные второго порядка

72

	2 z	12x 10,	2 z	2x 2	,	2 z	2 y .
	x2		y2			x y

Составим условие (10.3) для каждой критической точки.

Для точки P 0;0 :

1

А

2 z

10 ,

C

2 z

2 , B

2 z

0 ;

x2

P

y2

x y

P

P

1

1

1

20, A 0 .

Следовательно,

P 0;0

– точка минимума.

1

z

min

z P

0 .

1

5

Для точки

P2

;0

:

3

А

2 z

10

, C

2 z

16

, B

2 z

0

;

x2

y

2

x y

P

3

P

P

2

2

2

160

0 .

3

5

В точке P2

;0

экстремума нет.

3

Для точки P3 1;4 :

2 z

2 z

2 z

А

22 ,

C y2

0 ,

B

8 ;

x2

P

P

x y

P

3

3

3

64 0 .

Вточке P3 1;4 экстремума нет.

Для точки P4 1; 4 :
	2 z
А		22 , C	2 z		0 ,	B	2 z		8 ;
	x2		y2				x y
		P		P					P
		4	4					4

64 0 .

Вточке P4 1; 4 экстремума нет.

73

§11. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные формулы и рисунки	Определения и замечания
1.
	Область D – ограниченная
	замкнутая (рис. 11.1).
Рис. 11.1
	Область D – ограниченная
	незамкнутая (рис. 11.2).
Рис. 11.2
2.	Следует запомнить:
	если функция z f x, y не-
	прерывна в ограниченной замк-
	нутой области D и дифференци-
	руема внутри этой области, то
	она имеет в этой области наи-
	меньшее и наибольшее значе-
	ния, которые достигаются либо
	внутри области, либо на ее гра-
	нице.

74

Основные формулы и рисунки		Определения и замечания
zнаиб M	(11.1)	наибольшее значение функции
zнаим m	(11.2)	наименьшее значение функции
		Замечание
		Если		функция				z f x, y
		не является			непрерывной или
		область незамкнута, то функция
		может не иметь ни наибольшего
		ни наименьшего значения.
		Правило для					нахождения
		zнаиб	и	zнаим			непрерывной
		функции		z f x, y				в ограни-
		ченной замкнутой области D.
		1. Выполнить чертеж об-
		ласти.
		2.	Найти				критические
		точки, лежащие внутри области
		D, и вычислить значения функ-
		ций в этих точках.
		Исследовать				эти точки на
		экстремум не требуется.
		3.	Исследовать					поведение
		функции на границе области D.
		На границе области иссле-
		дование сводится к нахождению
		наибольшего			и	наименьшего
		значения функции одной пере-
		менной.
		4.	Вычислить					значения
		функции в вершинах области D.
		5.	Из		всех		полученных
		значений выбрать наибольшее и
		наименьшее.

75

Задачи

Задача 1

Найти наибольшее и наименьшее значение функции z 5x2 y2 4xy 3x в области 1 x 1 , 1 y 1.

Решение

1. Выполним чертеж области

Рис. 11.3

2. Находим первые частные производные

z	10x 4 y 3 ,	z	2 y 4x .
x		y

Решая систему, найдем критические точки:

	z	0
	x
	z
		0
	y

Следовательно, 10x 4 y 3 0
2 y 4x 0 .
Получим одну критическую точку	M	3		;3		, которая области
		0
			2

ABCD, не принадлежит.

3. Исследуем поведение функции на границах области. Граница АВ: x 1, причем 1 y 1.

Тогда

76

z 5 y2 4y 3

или

z y2 4y 8 (функция одной переменной). Найдем z 2y 4 .

Критические точки: z 0 . Получим y 2 1;1 .

Граница ВС: y 1, причем 1 x 1 . Тогда z 5x2 1 4x 3x или

z 5x2 7x 1 .

Критические точки: z 0 .

10x 7 0 , x 107 1;1 .

Вычислим значение функции при x 107 .

z 5	7		2		7	7			1 1, 45 .
	10					10
Граница CD:					x 1 ,				причем 1 y 1.

Тогда z 5 y2 4y 3 или z y2 4y 2 .

Критические точки: z 0 . 2y 4 0, y 2 1;1 .

Граница AD: y 1, причем 1 x 1 . Тогда z 5x2 1 4x 3x или

z 5x2 x 1.

Критические точки: z 0 .

10x 1 0 , x 101 1;1 .

Вычислим значение функции при x 101 .

77

z 5			1	2		1		1	0,95 .
			10			10

4. Вычислим значения функции в вершинах области:

z A z 1; 1 5 ;

z B z 1;1 13 ;

z C z 1;1 1; z D z 1; 1 7 .

Сравнивая все вычисленные значения функции, заключаем:

zнаиб 13 , достигается в точке B 1;1 ;

		7
zнаим 1, 45 , достигается на границе BC в точке
		10
Задача 2
Найти	наибольшее	и наименьшее значение
z 2x y 5xy	в области,	ограниченной линиями: x

y x 1.

Решение

1. Выполним чертеж области

;1 .

функции

0 , y 0 ,

Рис. 11.4

78

2. Найдем частные производные				z	и	z	:
				x		y
z	2 5 y ,	z	1 5x .
x		y

Решая систему, найдем критические точки:

	z	0
	x
	z
		0 .
	y
Следовательно, 2 5y 0
		1 5x 0 .
Получим одну критическую точку			M			1	;	2		, которая принад-
				0
						5		5

лежит построенной области.

Вычислим значение функции в этой точке.

z M0	2			1			2	5			1		2		0, 4 .
							5						5
				5							5

3. Исследуем поведение функции на границах области. Граница АО: y 0 , причем 1 x 0 .

Тогда z 2x . Найдем z 2 .

Критических точек нет, так как z 0 . Граница OB: x 0 , причем 0 y 1. Тогда z y .

Найдем z 1. Критических точек нет. Граница AB: y x 1.

Здесь y x 1, причем 1 x 0 . Тогда z 2x x 1 5x x 1

или

z 5x2 4x 1.

79

Найдем критические точки: z 0 . z 10x 4 0

x 0,4 1;0 .

Вычислим значения функции при x 0, 4 :

z 5 0,4 2 4 0,4 1 0,8 1,6 1 0,2 .

4. Вычислим значения функции в вершинах области:

z A z 1;0 2 ; z B z 0;1 1 ;

z 0 z 0;0 0 .

Сравнивая все вычисленные значения функции, заключаем: zнаиб 0 , достигается в точке O 0;0 .

zнаим 2 , достигается в точке A 1;0 .

Задача 3

Найти наибольшее и наименьшее значение функции z x2 xy 4 в области, ограниченной линиями: y 0 , y x2 5 .

Решение

1. Выполним чертеж области

Рис. 11.5

2. Найдем частные производные z и z :

x y

80