книги / Обработка и представление результатов эксперимента
..pdfставить наглядно это большое число измеренных значений.
Пусть 10 раз (N = 10) измерили некоторую величину х и получили сле дующие результаты: 26; 24; 26; 28; 23; 24; 25; 24; 26; 25. Можно записать их таким образом:
Различные значения JC* |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
Число реализаций л* |
1 |
3 |
2 |
3 |
0 |
1 |
Число реализаций л* (к = 1, 2, ..., 6) показывает, сколько раз было получено со ответствующее значение Хк : щ = 1; Пг = 3; .... ; к - число различных значений JC.
Среднее арифметическое значение этих 10 измерений
|
Ю |
|
|
_ |
2> , |
23 + (24 • 3) + (25 • 2) +... + 28 |
|
' |
|||
Х ~ |
N |
~ |
10 |
или в общем виде |
|
||
|
10 |
6 |
|
7 _ 1=1 |
_ А=1 |
|
|
NN
Впоследнем случае мы суммируем все различные значения Хк, умножен
ные на число реализаций я* этих значений. Такого типа сумма называется сум мой с весовыми множителями, или взвешенной суммой, в которой Хк - значе ния; Пк - весовые множители; к = 1, ..., 6.
|
6 |
Отметим, что |
= N или в нашем случае Y*nk = 10 • |
к |
к=1 |
Более удобен иной способ представления. Вместо чисел Пк введем отно шения Fk = Пк/ Nyкоторые называются частотами и представляют собой доли полного числа N измерений, с которыми реализуются соответствующие резуль таты хк (к= 1, 2,...). Эти частоты характеризуют распределение результатов.
Частоты нормированы:
= 1. Перепишем теперь фор-
it
мулу для среднего значения х в ви
де х = Y*xkFk • На рис.2.1 избраже-
к
на простейшая гистограмма, которая
представляет результаты F*(x*) для
Рис. 2.1
дискретных величин JC* (см. выше).
2.2. Гистограмма для непрерывной величины
Большинство физических величин имеют не целые значения, а прини
мают значения из непрерывного диапазона. Так, вместо предыдущих 10 целых величин скорее всего после измерений получим N = 10 «дробных» результатов, например следующих:
26,4; |
23,9; |
25,1; |
24,6; |
22,7; |
23,8; |
25,1; |
23,9; |
25,3; |
25,4, |
таким образом, непрерывный диапазон |
возможных значений |
величины х: |
|||||||
х е [22; 28]. Разбиваем этот диапазон на подходящее (обсуждается ниже) число интервалов, или бинов, и подсчитываем сколько полученных значений попадает в каждый бин. Результаты запишем таким образом:
Номер бина к |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Ширина бина Адг* |
22-23 |
23-24 |
24-25 |
25-26 |
26-27 |
27-28 |
Число отсчетов в бине я* |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
0 |
Построим теперь гистограмму для непрерывной переменной х в виде сис темы прямоугольников. Ширина каждого бина определяет основание соответ ствующего прямоугольника. Площадь прямоугольника над каждым интервалом равна доле измерений, которые попадают в этот интервал. Отсюда следует, что
высота каждого |
к-го |
прямоугольника fk |
выбирается |
так, чтобы |
площадь |
|||
Sk -fk'^k |
этого к-го прямоугольника была |
равна доле |
измерений |
из общего |
||||
количества |
N., |
попадающих |
в |
|
|
|
||
этот к-й бин. |
|
|
|
|
|
|
|
|
На |
рис. |
2.2 |
показана |
|
|
|
||
гистограмма |
для приведенных |
|
|
|
||||
выше величин. |
|
|
|
|
|
|
||
Если |
сравнить |
гисто |
|
|
|
|||
граммы |
для |
дискретных |
и |
|
|
|
||
непрерывных величин, то можно
сказать следующее. Площадь прямоугольника Sk имеет тот же смысл, что и высота Fk к-го отрезка в гистограмме для дискретной величины.
Какие следует выбирать размеры бинов? Если они будут широкими, то большинство результатов может попасть в один бин; если интервалы будут уз кими, то в каждом бине будет не более одного отсчета и прямоугольники полу чатся одинаковой высоты. Очевидно, ширина бинов должна быть такой, чтобы в каждом содержалось по нескольку результатов. В современных пакетах про грамм на ЭВМ бины выбираются автоматически.
2.3. Предельные распределения
Если мы значительно увеличим N - число измерений, то гистограмма бу дет стремиться принять некоторую определенную простую форму. На рис.2.3 показана гистограмма результатов N « 100 измерений величины х, а на рис.2.4 -
N « 1000. Ширина бинов по сравнению с рис.2.2 уменьшена. При N - > 00 рас пределение измерений стремится к непрерывной симметричной колоколооб разной кривой, называемой предельным распределением.
Следует подчеркнуть, что предельное распределение - это некая теорети ческая идеализация. Чем больше в эксперименте сделано замеров N, тем ближе построенная по этим замерам гистограмма к предельному распределению. График предельного распределения определяет непрерывную гладкую функцию Дх) следующим образом (рис.2.5). Доля измерений, которые попада
ют в любой малый интервал dx (от х до x+dx ), равна |
площади на графике |
|
fix) dx. |
Теперь более понятным |
|
становится |
способ построения |
|
прямоугольных гистограмм, ко |
||
торый |
был |
рассмотрен выше. |
Доля измерений, которые попа дают в конечный интервал меж ду х = а и х = b , равна пло щади под кривой, ограниченной на оси ох отрезком ab (рис.2.5).
Но эта площадь вычисляется с помощью определенного интеграла от f(x). Та-
Ь
ким образом, мы получили важный результат: значение интеграла \f(x )d x
а
равно доле измерений, попадающих в интервал от х = а до х = Ь.
То же самое выразим другими словами. Значение интеграла есть вероят-
ность того, что результат любого единичного измерения попадет в интервал
[а;Ь\. Тогда f(x)-dx - вероятность того, что любое единичное измерение приведет к результату, лежащему в интервале от х до x+dx, то есть внутри dx.
Условие нормировки предельного распределения
+ 0 0
J/ 0 0 & - 1
-0 0
означает, что вероятность получения любого единичного измерения в пределах изменения измеряемой величины от -оодо +оо равна 1. Геометрически это означает, что площадь под всей кривой предельного распределения равна 1.
Условие нормировки для функции f(x) есть полный аналог условия
= 1 для частот дискретной величины.
к
В нормировочном интеграле стоят бесконечные (в математическом смысле) пределы. Применительно к нашему случаю это означает, что мы не знаем действительной величины конечных пределов измеряемой переменной х
и поэтому |
берем «с запасом», кроме того, сама функция распределения |
/ ( JC) —> 0 |
достаточно быстро у границ диапазона разброса измеренных |
значений величины х.
Еще раз подчеркнем, что функция предельного распределения f(x)
предсказывает, как были бы распределены результаты после очень многих измерений величины * с помощью данной измерительной аппаратуры.
Зная математическое выражение функции f(x)y можно рассчитать ряд важных величин:
а) среднее значение величины
+00
х= j x f ( x ) d x ;
- 0 0
б) величину стандартного отклонения
+00
а * = } ( x - x ? f(x)d x .
3.Нормальное распределение
3.1.Функция нормального распределения
Сделаем предположение: все систематические ошибки выявлены и уменьшены до приемлемого уровня, то есть учтены, на результаты измерений
оказывают влияние лишь источники случайных ошибок.
В этом случае измеренные значения распределяются по коло колообразной кривой, центр кото рой совпадает с истинным значени
ем X физической величины х*123
(рис.3.1). В математике функция, график которой имеет форму коло
колообразной кривой, называется
функцией Гаусса,ът функцией нормального распределения. Вид этой функции
ф = в-*2/2о2 = ехр{-л2/2ст2},
где а - параметр распределения, который называется параметром ширины,цт шириной. График функции представ лен на рис.3.2.
Перечислим некоторые свойст ва функции Гаусса:
1) при х = О Ф = 1 для любого а; 2) функция симметрична
относительно х = 0, т.е. Ф(х) = Ф(-х); 3) при увеличении |JC| функция Ф
убывает быстрее при меньших значениях параметра с.
Чтобы центр кривой приходился не на х = 0, а как в предельном
распределении (см. рис.3.1) на х = Ху сделаем замену: х - + х - Х , тогда вид
функции Гаусса изменится:
Ф х = е- ( * - Х ) 2Ь ° 2
Теперь Ф* = 1 при х = X. Нижний индекс X у обозначения функции означает, что максимум (центр) функции находится в точке х = Х.
Пока ни функция Ф, ни функция Ф* не описывают предельное распределение множества измерений величины х. Это связано с тем, что
предельное |
распределение f(x) |
должно быть нормировано, то есть должно |
|||
|
|
|
+оо |
|
|
удовлетворять условию |
jf(x )d x = 1. |
||||
|
|
|
—00 |
|
|
Введем нормировочный множитель А и представим функцию нормально |
|||||
го распределения в виде |
|
|
|
||
/ 0 0 |
= Л -е -(* -* )2/ 2а 2 |
|
|
||
Значение коэффициента А найдем из условия нормировки |
|||||
+00 |
|
+00 |
|
9 / |
9 |
\f(x)d x = |
J А-е~(х~ ^ |
' 2а |
dx = \. |
||
Сделаем замену переменных: z = (JC - X) / сг, и условие нормировки пре |
|||||
образуем к виду |
|
|
|
|
|
+оо |
|
+оо |
2 / |
|
|
\f(x )d x = A<s J |
e~z |
= |
|
||
-00 |
|
—оо |
|
|
|
У нас получился известный интеграл математической физики - интеграл |
|||||
Пуассона |
|
|
|
|
|
+00 |
2 / |
____ |
|
|
|
J e~z '2dz = >f2n .
Теперь условие нормировки преобразуем к виду
+ ° ° |
.— |
\ f(x)dx = A c s ln = 1,
откуда
А = 1/ал/2я.
Окончательно нормированная функция Гаусса, или нормированная функ ция нормального распределения случайных величин, - результатов измерений физической величины х - имеет вид
/ х . м — тт
ал/2тс где два нижних индекса у /являются параметрами распределения и означают
следующее: X - центр функции; а - ширинараспределения.
График функции представлен на рис.3.3. Здесь кривая с cii имеет более острый пик, что соответствует более точным измерениям, которые «собраны» возле истинного значения X;
кривая с 02 > 0*1 имеет более пологий вид, это соответствует измерениям, проведенным с
меньшей точностью. Площади под обеими кривыми равны 1, что следует из ус ловия нормировки, поэтому высота кривых разная.
Говорят, что результаты измерений х распределены нормально, если их предельное распределение описывается нормированной функцией Гаусса с центром на истинном значении X, а на результаты оказывали влияние только случайные ошибки.
3.2. Среднеарифметическое значение результатов измерений
Если известно предельное распределение для очень большого числа из мерений - значения X и ст функции Гаусса, то можно вычислить х :
+0° 1 + a o i l l
* = W j r , a M * - - 4 r |
J |
/2a Л . |
||
- 0 0 |
C ^ 2 n |
- 0 0 |
|
|
Сделаем замену переменных |
у = x - X |
и исходный интеграл разобьем на два |
||
интеграла: |
|
|
|
|
* = —тг={ | у e~y |
l |
dy +X \ |
e~y l/ 2° 2dy}. |
|
<™2* -СО |
|
|
|
|
Первый интеграл равен нулю, так как подынтегральная функция нечетная, вто рой интеграл нам уже встречался ранее при нормировке функции распределе ния. Сделаем еще одну замену переменных z = у / а, после чего получим инте
грал Пуассона |
|
|
||
+0° |
1 |
1 1 |
+00 |
9 / |
J |
е~у |
' 2а dy = a |
\ e~z ' 2dz = стл/2я . |
|
- 0 0 |
|
|
—00 |
|
Окончательно |
|
|
|
|
х = — )= X o -j2ii = Xi |
х = Х |
|||
<тл/2я Таким образом, если результаты измерений распределены в соответствии
с распределением Гаусса, то в случае очень большого числа измерений среднее арифметическое х будет равно истинному значению Х> которое соответствует центру функции Гаусса.
3.3.Стандартное отклонение
Вычислим стандартное отклонение, |
зная вид функции Гаусса: |
|||
+00 |
I |
+00 |
9 / |
9 |
a 2 = \ |
(x - x ) z - f X'0(x )d x ---- U |
\ (х - Х ) 2 е - (х- Х) |
/га |
& . |
-оо |
С л/271 _ 00 |
|
|
|
Здесь мы воспользовались полученным результатом х = X |
Для вычисления |
|||
интеграла сделаем замену переменных z = (х - X) / ст, тогда |
|
|
||
2 |
*2 +оо |
G Y — |
|
Получился еще один известный интеграл математической физики
7 * v , 2A * - > / s .
Окончательно получаем
Таким образом, параметр ширины а функции Гаусса fx ,o (x) есть просто стандартное отклонение, которое мы получили бы в результате очень многих измерений.
3.4. Стандартное отклонение как 68 % -й
доверительный интервал
Вычислим вероятность Р(с) того, что результат единичного измерения (если результаты измерений распределены нормально) окажется в пределах одного стандартного отклонения ст от истинного значенияX: X - G ^ X <>Х+ а.
Обозначим Р(с) = Р(Х - сг ^ х £ X + ст), тогда
Х+а |
1 |
Х+а |
- {x - xf/lo 1 л |
|
|
?(<*) = ] f x >aix)dx = — f— |
/ е |
|
|
||
Л ' - о |
С т л /2 я Х -а |
|
|
|
|
|
|
|
Величина |
интеграла |
равна |
|
|
|
площади фигуры S на рис.3.4. Для |
||
|
|
|
вычисления |
интеграла |
сделаем |
|
|
|
подстановку z = (х - X) / о, |
тогда в |
|
|
|
|
новых переменных получим |
||
Рис. 3.4 |
Обобщим рассмотрение. Будем |