книги / Физика колебаний

y	f (x, y) = 0

f (x, y) > 0

f (x, y) < 0

x

F (x, y) < 0

F (x, y) = 0

F ( x, y) > 0

Рис. 5.18

2. Кривая медленных движений неоднозначна по координате x, но любое быстрое движение приводит на одну из ветвей кривой медленных движений. Бесконечность по медленным движениям неустойчива. Здесь возможны следующие режимы поведения системы:

а) единственное состояние равновесия, расположенное на неустойчивой ветви кривой медленных движений. В этом случае существует хотя бы один разрывный предельный цикл. Такой режим назо-

вем мультивибраторным;

б) единственное состояние равновесия, расположенное на одной из устойчивых ветвей кривой медленных движений. Такая система откликается на внешний произвольный (в некоторых пределах) импульс стандартным импульсом, параметры которого определяются свойствами системы. Этот режим работы системы назовем кипп-

релейным или спусковым;

в) несколько состояний равновесия, расположенных как на устойчивых, так и на неустойчивых ветвях кривой медленных движений. Такой режим работы назовем триггерным.

Техническая реализация вышеупомянутых режимов рассмотрена в прил. 3.

3. Кривая медленных движений F(x, y) = 0 неоднозначна по координате x, но не любое быстрое движение приводит в ее окрест-

191

õ

R

U

L

Uд

ность. Рассмотрим возможные ва-

I

рианты движений в такой системе

С

на

примере схемы

с

динистором

(рис. 5.19).

Применяя правила

Кирхгофа,

нетрудно получить следующую сис-

Рис. 5.19

тему уравнений:

U

L dI =U −Uд(I ),

dt

(5.17)

U1

dU

RC dt = õ −U − RI,

U0

где U – напряжение на конденсато-

ре,

I – ток через

индуктивность,

I

õ

– ЭДС источника тока, Uд(I ) –

I1

ампер-вольтовая

характеристика

динистора, которая в статическом

Рис. 5.20

режиме задается графиком, приве-

денным на рис. 5.20. При увеличе-

нии тока, начиная с некоторых значений, напряжение на динисторе стремится к некоторой постоянной

величине U0. Выбрав в качестве малого параметра µ = L / (CR2 ) <<1, систему уравнений (5.17) можно привести к виду (5.14):

dI		U −Uд		(I )
µ dt	= F(I,U ) =				,
			CR2
					(5.18)
dU	= f (I,U ) =	õ −U − RI .
dt			RC

В качестве фазовой плоскости удобно взять плоскость переменных I, U. Тогда возможное разбиение фазовой плоскости на траек-

тории будет отражаться на рис. 5.21 (отражен случай, когда прямая U = õ −RI проходит правее точки максимума ампер-вольтовой характеристики динистора).

192

	U	U = õ − RI
	U1		U = Uд(I )
					F(I,U ) > 0
	U0						F(I,U ) = 0
		I1			F(I,U ) < 0 I
		f (I,U ) > 0			f (I,U ) < 0
			f (I,U ) = 0
			Рис. 5.21
Так как фазовые траектории медленных движений расположены
на кривой F(I,U ) = U −Uд(I ) = 0,				то ампер-вольтовая характеристи-
		CR2
ка динистора и дает фазовый портрет медленных движений. Направ-
ление движения отображающей точки задается вторым уравнением
(5.18), т.е. при		f (I,U ) < 0	(справа от прямой				U = õ −RI )		значе-
ние U	убывает	со временем, при			f (I,U ) > 0		(слева от		прямой
U = õ −RI ) значение U возрастает.
Фазовые траектории быстрых движений (отражены тонкими ли-
ниями) расположены на прямых, параллельных оси								I. При этом фа-
зовая	координата растет,		если	F(I,U ) > 0,		т.е.		при U >Uд(I ),
и убывает при U <Uд(I ). Любое быстрое движение, начинающееся
ниже кривой медленных движений, приводит в µ-окрестность ее ле-
вой устойчивой части. А вот куда приводят быстрые движения, на-
чинающиеся выше кривой медленных движений в точках U <U1,
									193

непонятно. Чтобы понять, как ведут себя быстрые движения при достаточно больших значениях I, запишем уравнения (5.18) в виде

µ dIdt = CR1 2 (U −U0 ),

dUdt = RC1 (õ −U0 − RI ).

Если пренебречь слагаемым õ −U0 по сравнению с RI, то по-

лучаем следующую систему уравнений, справедливую при достаточно больших I и малых µ:

L dI =U −U0

,

dU

= −

1

I.

dt

C

dt

Нетрудно убедиться, что фазовые траектории, начинающиеся

в точке срыва (I = I1, U =U1 ),

описываются уравнениями

t

U =U0 +(U1 −U0 )cos

,

LC

(5.19)

U

−U

t

I =

1

0

sin

.

L / C

LC

Так как величина тока ограничена значением

U1 −U0

, то вблизи

L / C

данного значения происходит смена направления быстрого движения на обратное. Это позволяет выполнить разбиение фазовой плоскости на траектории, что показано на рис. 5.22. На участке OAB происходят быстрые изменения тока I, на участке BO – медленные.

194

U

O

F(I,U ) > 0

F(I,U ) = 0 A

F(I,U ) < 0

I

B

f (I,U ) > 0 f (I,U ) < 0

f (I,U ) = 0

Рис. 5.22

На рис. 5.23 представлены осциллограммы тока и напряжения (отображены как быстрые, так и медленные изменения этих величин со временем). Из уравнений (5.19) видно, что величина импульса

I

Imax
I1	t

τT

U

U1

t

2U0 −U1

Рис. 5.23

195

тока	составляет Imax = U1 −U0 , а	его длительность у основания
	L / C
τ = π	LC. Длительность медленного изменения тока и напряже-
ния T	определяется параметрами	возрастающего участка ампер-

вольтовой характеристики динистора (см. рис. 5.20).

5.5.Устойчивость колебаний

влинеаризованных системах

Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости колебаний в системах, описываемых дифференциальными уравнениями вида

	dx		= F(x, y),	dy = f (x, y),	(5.20)
	dt			dt
где F(x, y)	и f (x, y)	–	некоторые произвольные гладкие функции
переменных	x, y. В	состоянии равновесия (x = x0 , y = y0 )			правые

части данной системы уравнений обращаются в нуль. Зададим малые

отклонения от точки	равновесия ξ = x − x0 , η= y − y0 и разложим
в ряд функции F(x, y)	и f (x, y) в малой окрестности x = x0 , y = y0 ,

ограничиваясь первыми степенями по ξ и η (это так называемая

процедура линеаризации). Тогда система уравнений (5.20) может быть записана в виде

ξ =

∂F

ξ+

∂F

η,

∂x

0

∂y

0

η= ∂f

∂f

ξ+

η,

где производные ∂F

∂x

0

∂y

0

∂F

,

∂f

и ∂f

взяты в точке равновесия.

,

∂x

0

∂y

0

∂x

0

∂y

0

ξ ~ eλt , η~ eλt ,

Задавая решение данной системы уравнений в виде

для определения характеристического показателя λ

получаем сле-

дующие уравнения:

196

∂F

ξ+

∂F

η = 0,

−λ

∂x

0

∂y

0

∂f

∂f

η= 0.

ξ+

−λ

∂x

∂y

0

0

Для того чтобы данная однородная система уравнений имела нетривиальное решение, необходимо потребовать равенства нулю ее определителя:

∂F

−λ

∂F

∂x

0

∂y

0

= 0.

(5.21)

∂f

∂f

−λ

∂x

0

∂y

0

Это уравнение называется характеристическим, и его корни определяют устойчивость или неустойчивость состояния равновесия. Здесь возможны следующие основные случаи:

1.Оба корня действительные отрицательные (положительные) числа. Состояние равновесия в этом случае является устойчивым (неустойчивым) узлом.

2.Один из корней – действительный, другой – комплексный, причем оба корня имеют отрицательные (положительные) действительные части. Тогда состояние равновесия является устойчивым (неустойчивым) фокусом.

3.Один из корней – действительный, другой – комплексный, причем знаки действительного корня и действительной части другого – разные. Состояние равновесия в этом случае отображается особой точкой типа седло – фокус.

4.Оба корня действительные и разных знаков. Этот случай соответствует особым точкам типа седло – узел.

Рассмотрим для иллюстрации колебания в схеме с неоновой лампой (рис. 5.24). Запишем для данной схемы правила Кирхгофа:

197

I0 = i + I,
RI0 = E −U ,		(5.22)
L dI +V −U	= 0,
dt

где U – напряжение на конденсаторе, V – напряжение на неоновой лампе, I – сила тока через неоновую лампу, определяемая ее статической характеристикой, приведенной на рис. 5.25.

R

L

I

I

E

I0

i

неоновая

C

U V

лампа

V

Рис. 5.24

Рис. 5.25

С учетом соотношения i = C dU

систему уравнений (5.22) мож-

dt

но привести к виду

dU

=

E −U

−

1

I,

dt

RC

C

(5.23)

dI

= U −V (I ) .

dt

L

Состояние равновесия системы (5.23) определяется из урав-

нений

E −U − IR = 0, U −V (I ) = 0.

На фазовой плоскости I,U (рис. 5.26)

состояние равновесия

(I0 ,U0 ) является точками пересечения линии

U =V (I ) и прямой

U = E − IR (I = (E −U )/ R).

Мы рассмотрим случай,

когда

R > Rкр,

где

Rкр – значение R,

при котором прямая U = E − IR пересекает линию U =V (I ) в точке,

198

где V (I ) имеет вертикальную каса-

тельную	V ′(I ) = 0	(точка	D на
рис. 5.26).	Примем	также,	что
E >V (0).	Состояние равновесия при

этом будет единственным и расположено на участке линии, где V ′(I ) < 0

(участок BD на рис. 5.26). Найдем условия, при которых это состояние равновесия будет неустойчивым, т.е. в данной системе возможно возбуждение колебаний. Характеристическое уравнение (5.21) для системы (5.23) имеет вид

I

U = E −IR

D

U

B

I0 ,U0

Рис. 5.26

−

1

−λ

−

1

RC

C

= 0

1

V ′(I0 )

−

−λ

L

L

или

RCLλ2 + L + RCV ′(I

0

) λ + R +V ′(I

0

) = 0.

При выбранных значениях

R > Rкр

и E >V (0) 0 < −V ′(I0 ) < R.

Тогда состояние равновесия будет неустойчивым (хотя бы один из корней характеристического уравнения является положительным

действительным числом) при L + RCV ′(I0 ) < 0 или RCL < −V ′(I0 ).

Это условие может удовлетворено при больших R, C и достаточно малом L, и в данной схеме при любых начальных условиях будут наблюдаться релаксационные колебания. В предельном случае L → 0 характер этих колебаний на фазовой плоскости I,U будет отображен предельным циклом ABCDA (рис. 5.27).

199

	I			При подключении схемы к источнику
			C	питания с ЭДС,	большей напряжения за-
				жигания, начинается зарядка конденсатора
	D			и растет напряжение на неоновой лампе.
				После того как лампа вспыхивает первый
			U	раз при E ≥UB	в ней скачком появится
	A		B	ток IC (участок BC ). Затем ток начинает
			Рис. 5.27	падать, причем скорость спадания тока за-
				висит от параметров схемы. Изображаю-
				щая точка будет двигаться по участку CD
				(происходит разряд конденсатора). В точке

D происходит скачок силы тока – ток упадет до нуля, и лампа погаснет. После этого напряжение на обкладках конденсатора и на лампе начнет возрастать с конечной скоростью, зависящей от величин C и R – участок AB (происходит заряд конденсатора при погашенной лампе). Когда напряжение достигнет значения UB , лампа

снова вспыхнет, и ток скачком возрастет от нуля до IC . После этого процесс будет повторяться.

5.6. Поведение автоколебательных систем при внешнем воздействии

Поведение автоколебательных систем при внешнем гармоническом воздействии позволяет осуществить синхронизацию колебаний нескольких маломощных источников, стабилизацию излучения (колебаний) мощного генератора с помощью стабилизированного маломощного источника колебаний, решить многие вопросы преобразования частоты и т.п. Осуществить внешнее гармоническое воздействие на автоколебательную систему можно, например, включив источник переменного сигнала U (t) =U0 sin ωt в колебательный кон-

тур цепи сетки лампового генератора (рис. 5.28). Для этого случая уравнение (5.4) несколько изменится:

LCU +[RC − MS(U )]U +U =U0 sin ωt.

200