книги / Общая физика. Ч. 1 Механика
.pdf4.Вывод уравнения затухающих колебаний. Как соотносятся между собой периоды собственных затухающих и незатухающих колебаний? Почему затухающие колебания материальной частицы не являются гармоническими?
5.Дайте определение коэффициента затухания, логарифмического декремента затухания и добротности колебательной системы.
6.Дайте определение параметров напряженного состояния твердого тела: относительной деформации, модуля Юнга и коэффициента упругости. Сформулируйте закон Гука для твердого тела, находящегося в напряженном состоянии.
Задания для отчета по лабораторной работе
1.К вертикальной проволоке длиной L = 5 м и площадью поперечного сечения S = 2 мм2 подвешен груз массой m = 5,1 кг.
Врезультате проволока удлинилась на x = 0,6 мм. Найти модуль упругости (модуль Юнга) материала проволоки.
2.К стальному стержню длиной L = 3 м и диаметром d = 2 см
подвешен груз массой m = 2,5 103 кг. Определить напряжение σ
встержне. Модуль Юнга стали E = 220 ГПа (ГПа – Гига Паскаль).
3.По условиям предыдущей задачи определить относительное ε и абсолютное удлинение x стержня.
4.Проволока длиной l = 2 м и диаметром d = 1 мм натянута практически горизонтально. Когда к середине проволоки подвесили груз массой m = 1 кг, проволока растянулась настолько, что точка подвеса опустилась на h = 4 см. Определить модуль Юнга E материала проволоки.
5.Тонкий стержень одним концом закреплен, к другому концу приложен момент силы M = 1 кН м. Определить угол φ закручивания стержня, если постоянная кручения C = 120 кН м /рад.
6.Коэффициент линейного теплового расширения стали
равен 12 10–6 К–1, модуль Юнга E = 220 ГПа (ГигаПаскаль). Ка-
101
кое давление p необходимо приложить к торцам стального цилиндра, чтобы длина его оставалась неизменной при повышении температуры на 100 °С.
7.Стальной канат диаметром 9 мм может выдержать вес неподвижной кабины лифта. Какой диаметр должен иметь канат, если кабина лифта может иметь ускорение до 8 g.
8.Насколько вытягивается стержень из железа (модуль Юнга Е = 220 ГПа), подвешенный за один конец под действием собственного веса?
9.По условиям предыдущей задачи определить, насколько меняется объем стержня.
10.Какую работу A надо совершить, чтобы растянуть на
x= 1 мм стальной стержень (E = 220 ГПа) длиной l = 1 м и площадью поперечного сечения S = 1 см2.
11.Точка совершает колебания с частотой ω и коэффициентом затухания β. Найти амплитуду скорости точки как функцию времени, если в момент t = 0 амплитуда ее смещения равна a0.
12.По условиям предыдущей задачи найти амплитуду скорости точки как функцию времени, если в момент t = 0 смещение x(0) = 0 и проекция скорости vx = v0.
13.Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания ϑ0 = 1,5.
Каким будет значение ϑ, если сопротивление среды увеличить
вn = 2 раза?
14.По условиям предыдущей задачи определить, во сколько раз следует увеличить сопротивление среды, чтобы колебания стали невозможны?
15.К пружине подвесили груз, и она растянулась на ∆x = 9,8 см. Логарифмический декремент затухания ϑ= 3,1. С ка-
ким периодом будет колебаться груз в вертикальном направлении? 16. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t1 = 5 мин уменьшилась в два раза. За какое время t2, считая от
начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?
102
17.За время t = 8 мин амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания β.
18.Логарифмический декремент затухания колебаний маятника равен 0,003. Определить число N полных колебаний, которые должен сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась
вдва раза?
19.Амплитуда колебаний маятника длиной l = 1 м за время t = 10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент затухания β.
20.Определить период T затухающих колебаний, если пе-
риод T0 собственных колебаний системы равен 1 с и логарифмический декремент ϑ= 0,628.
103
Приложение I
Коэффициенты Стьюдента (при α = 0,95)
п |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
20 |
∞ |
τ (α,n) |
12,7 |
4,3 |
3,2 |
2,8 |
2,6 |
2,4 |
2,4 |
2,3 |
2,3 |
2,1 |
2 |
Приложение II
Обработка экспериментального графика методом наименьших квадратов
Зависимость измеряемой величины у от условий опыта х может быть найдена графически, если нанести значения х и у на миллиметровую бумагу и построить плавную кривую так, чтобы точки равномерно распределились по обе стороны кривой (рис. 1). Задача состоит в том, чтобы по результатам опытов построить такую кривую у = f (x), относительно которой разброс (отклонения) экспериментальных точек был бы минимальным.
Tеория вероятности показывает, что наилучшее приближение к истинной зависимости у = f (x) дает кривая, построенная методом наи-
меньших квадратов. В этом
|
случае сумма квадратов от- |
|
клонений экспериментальных |
|
значений уi от кривой у = f (x) |
|
будет минимальна. Отсюда |
Рис. 1. Метод наименьших |
и происходит название данно- |
го метода обработки результа- |
|
квадратов |
тов эксперимента. |
|
104
1. Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для случая, когда между измеряемыми величинами х и у существует линейная зависимость
y = bx . |
(1) |
Пусть в результате эксперимента получено п различных значений величины уi, соответствующих различным значениям величины хi. Найдем коэффициент b, при котором экспериментальные точки уi будут иметь наименьшие отклонения ∆уi относительно прямой.
Отклонение каждого значения уi от прямой у = bх будет
yi −bxi |
= ∆yi . |
(2) |
Составим сумму квадратов отклонений: |
|
|
n |
−bxi )2 . |
|
S = ∑( yi |
(3) |
i=1
Отклонение (разброс) измеренных значений уi от функции у = f (x) будет минимальным, если
dS |
= 0 . |
(4) |
|
||
dt |
|
Дифференцирование (3) по переменной b (предположив, что все остальные величины постоянны) с учетом (4) дает
n |
|
|
|
n |
n |
−2∑( yi −bxi )xi = 0 |
или |
∑ xi yi |
−b ∑ xi2 = 0. (5) |
||
i =1 |
|
|
|
i =1 |
i =1 |
Отсюда определяем искомый коэффициент b. |
|||||
|
n |
|
|
|
|
|
∑ xi yi |
|
|
||
b = |
i =1 |
|
. |
|
(6) |
n |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
∑ xi2 |
|
|
i =1
105
2. В случае линейной зависимости между величинами х и у, которая аппроксимируется прямой, не проходящей через начало координат,
|
|
|
|
|
у = а + bх, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||||
коэффициенты а и b могут быть вычислены по формулам |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n |
n |
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
||
|
∑ xi2 |
∑ yi − |
∑ xi yi ∑ xi |
|
n ∑ xi yi − ∑ yi ∑ xi |
|
||||||||||||||||
a = |
i =1 |
i =1 |
|
i =1 |
i =1 |
|
, b = |
|
i =1 |
i =1 |
|
i =1 |
|
. |
(8) |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
2 |
|
|
|
|||||
|
n ∑ xi2 − |
∑ xi |
|
|
|
|
|
n∑ xi2 − |
∑ xi |
|
|
|
||||||||||
|
|
i =1 |
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
i =1 |
|
i =1 |
|
|
|
|
|||||
|
Пример: предположим, что мы провели эксперимент и по- |
|||||||||||||||||||||
лучили данные, которые занесли в табл. 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Номер измерения i |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
5 |
|
||||||
|
|
xi |
|
|
|
|
|
1,0 |
|
|
1,9 |
|
3,1 |
|
4,0 |
|
4,9 |
|||||
|
|
yi |
|
|
|
|
|
1,6 |
|
|
2,5 |
|
3,0 |
|
3,7 |
|
4,6 |
|||||
|
Для упрощения расчетов составим вспомогательную таб- |
|||||||||||||||||||||
лицу и заполним ее (табл. 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Номер измерения i |
|
|
|
xi |
|
|
yi |
xi уi |
|
|
|
xi2 |
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1,0 |
|
|
1,6 |
|
1,6 |
|
|
|
1,0 |
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1,9 |
|
|
2,5 |
|
4,75 |
|
|
|
3,61 |
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3,1 |
|
|
3,0 |
|
9,3 |
|
|
|
9,61 |
|
||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4,0 |
|
|
3,7 |
|
14,8 |
|
|
|
16,0 |
|
||||
|
|
5 |
|
|
|
|
|
4,9 |
|
|
4,6 |
|
22,54 |
|
|
|
24,01 |
|
||||
|
|
Σ |
|
|
|
|
|
14,9 |
|
|
15,4 |
|
52,99 |
|
|
|
54,23 |
|
Рассчитаем коэффициенты а и b.
a = |
54, 23 15, 4 − 52,99 14,9 |
= |
45,591 |
= 0,928, |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
5 54, 23 − 222,01 |
49,14 |
|
||||
b = |
5 52,99 −15, 4 14,9 |
= |
35, 49 |
= 0,722. |
||||
|
49,14 |
|||||||
|
|
5 54, 23 − 222,01 |
|
|
106
Таким образом, уравнение прямой будет выглядеть следующим образом: у = 0,928 + 0,722 х.
Для построения отрезка прямой линии найдем две точки, у1 = 0,928. Вторую точку получим, подставив в уравнение прямой значение х, равное, например, 5.
у2 = 0,928 + 0,722 5 = 4,538.
На листе миллиметровой бумаги проведем оси координат, причем ось у проведем вертикально, а ось х – горизонтально.
Выберем и нанесем на |
|
|
оси координат масштаб так, |
|
|
чтобы наши экспериментальные |
|
|
точки располагались на графике |
|
|
наилучшим образом – занимали |
|
|
на графике максимальную пло- |
|
|
щадь. Нанесем на график экспе- |
|
|
риментальные точки и две точ- |
|
|
ки у1 и у2, рассчитанные нами |
|
|
(рис. 2). Для обозначения экспе- |
|
|
риментальных и «теоретиче- |
|
|
ских» точек используем разные |
Рис. 2 |
|
обозначения (кружки, крестики, |
||
|
треугольники и т. п.).
Через две «теоретических» точки проведем отрезок прямой линии. При правильных расчетах линия пройдет на графике наилучшим образом, так, что экспериментальные точки будут располагаться справа и слева от прямой. Все построения желательно делать карандашом.
107
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.Братухин Ю.К. Обработка результатов измерений: учеб. пособие / Ю.К. Братухин, Г.Ф. Путин. – Пермь.: Изд-во Перм.
гос. ун-та, 1988. – 44 с.
2.Колесниченко В.И. Обработка и представление результатов эксперимента: учеб. пособие / В.И. Колесниченко. – Пермь, Перм. гос. техн. ун-т, 2000. – 74 с.
3.Сборник методических рекомендаций к лабораторным работам по физике. Ч. 1. Механика: учеб. пособие / под ред. В.М. Коровина; Перм. гос. техн. ун-т. – Пермь, 1997. – 87 с.
4.Зайдель А.Н. Ошибки измерений физических величин: учеб. пособие / А.Н. Зайдель. – Л.: Наука, 1985. – 108 с.
5.Общий физический практикум. Механика: учеб. пособие / под ред. А.Н. Матвеева, Д.Ф. Киселева. – М.: Изд-во МГУ, 1991. – 272 с.
6.Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. Механика: учеб. пособие / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1989. – 496 с.
7.Сивухин Д.В. Общий курс физики Т. 1: учеб. пособие /
Д.В. Сивухин. – М.: Наука, 1989. – 576 с.
8.Общая физика. Ч. 2. Молекулярная физика и термодинамика: учеб. пособие / под ред. Ю.Л. Райхера; Перм. гос. техн.
ун-т. – Пермь, 1998. – 81 с.
108
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Основные правила работы в лабораториях кафедры |
|
прикладной физики.................................................................................... |
3 |
Введение в обработку результатов измерений ....................................... |
7 |
Лабораторная работа № 1. Статистика времени реакции человека...... |
17 |
Лабораторная работа № 2. Определение плотности твердого тела...... |
20 |
Лабораторная работа № 3. Измерение ускорения свободного |
|
падения с помощью машины Атвуда....................................................... |
24 |
Лабораторная работа № 4. Маятник Обербека....................................... |
34 |
Лабораторная работа № 5. Физический маятник.................................... |
45 |
Лабораторная работа № 6. Определение момента инерции |
|
тел методом колебаний. Теорема Штейнера........................................... |
55 |
Лабораторная работа № 7. Изучение прецессии гироскопа.................. |
67 |
Лабораторная работа № 8. Определение коэффициента |
|
вязкости жидкости методом Стокса......................................................... |
75 |
Лабораторная работа № 9. Измерение коэффициента трения............... |
87 |
Лабораторная работа № 10. Исследование упругих колебаний............ |
96 |
Приложения.............................................................................................. |
104 |
Список рекомендуемой литературы ...................................................... |
108 |
109
Учебное издание
Курушин Сергей Александрович, Герцен Татьяна Анатольевна, Колясников Виктор Андреевич и др.
ОБЩАЯ ФИЗИКА
Часть 1
Механика
Лабораторный практикум
Редактор и корректор И.А. Мангасарова
__________________________________________________________
Подписано в печать 11.03.09. Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 6,875. Тираж 100 экз. Заказ № 41/2009.
Издательство Пермского государственного технического университета.
Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29, к. 113.
Тел. (342) 219-80-33.