книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен
..pdfОсновные механические характеристики жидкости и газа: плотность, температура (внутренняя энергия), скорость, давление (напряжение), скорость деформации.
В дальнейшем предполагается, что t – фиксированный момент времени. Рассматривается некоторый объем жидкости V, ограниченный поверхностью S, имеющий массу m и скорость v. Плотность жидкости или газа в данной точке пространства понимается как пре-
дел, |
к |
которому стремится |
величина средней |
плотности |
||||
ρср = |
m |
V , когда объем стягивается в точку: |
|
|||||
|
|
ρ = lim ρ |
ср |
= |
lim |
m |
= dm . |
(7.1) |
|
|
V →0 |
|
V →0 |
V |
dV |
|
Скоростью v материальной частицы жидкости или газа называется физическая величина, характеризующая быстроту изменения положения материальной частицы в пространстве:
v = |
du |
, |
(7.2) |
|
dt |
||||
|
|
|
где u – вектор перемещения материальной частицы. В координатной форме формула (7.2) записывается в виде
vx = dudtx , vy = dudty , vz = dudtz ,
где ux, uy, uz – компоненты вектора перемещения u материальной частицы.
Действие жидкости, находящейся вне поверхности S, на жидкость, находящуюся внутри S, заменяется действием системы сил,
распределенных по поверхности S. |
С учетом того, что |
Pn – сила, |
действующая на элемент площади |
S с нормалью n, распределенная |
|
(поверхностная) нагрузка, приходящаяся на единицу |
площади |
|
(давление), |
|
|
pn = lim |
Pn . |
|
S →0 |
S |
|
|
|
81 |
Важной характеристикой состояния жидкости или газа является температура, понятие о которой определяется в физике. Если необходимо учитывать совершающиеся в жидкости тепловые процессы, то в качестве основной термодинамической функции может использоваться температура Т.
Жидкость как сплошная среда обладает следующим свойством: в покое или при движении как абсолютно твердого тела в ней отсутствуют касательные напряжения и наблюдаются только нормальные напряжения, которые не зависят от ориентации рассматриваемой площадки. Наблюдающиеся в жидкости нормальные напряжения являются, как правило, напряжениями сжатия. В реальных жидкостях напряжения растяжения могут иметь место, но они невелики, то есть прочность жидкости на разрыв мала и сильно зависит от ее чистоты; примеси снижают ее прочность. В газах напряжения растяжения не наблюдаются.
7.1. Вязкая (ньютоновская) жидкость
Вязкой называют жидкость, в которой при движении наблюдаются как нормальные, так и касательные напряжения.
Имеются две пластины (рис. 7.1), между которыми находится жидкость. Нижняя пластина закреплена, верхняя движется параллельно нижней на расстоянии h со скоростью v. Опыт показывает, что сила F, которую надо приложить к верхней пластине для поддержания заданной скорости,
F = μ hv S ,
где S – площадь пластины; h – толщина слоя жидкости; μ – коэффициент динамической39 вязкости (пропорциональности), зависящий от свойств жидкости. Причиной вязкости, то есть появления касательного напряжения, является хаотическое движение молекул, пе-
39 Дополнительно определяется величина ν = μρ , называемая коэффици-
ентом кинематической вязкости.
82
реход которых из слоя в слой создает торможение движущихся слоев относительно друг друга. Размерность динамической вязкости –
Па с, или Н с/м2.
y
h
F
v
x
Рис. 7.1. Течение вязкой жидкости
Усилие, приходящееся на единицу площади поверхности жидкости, то есть касательное напряжение,
v
σxy = μ h .
Этот же опыт дает распределение скорости жидкости: на неподвижной нижней пластине скорость жидкости равна нулю, на верхней – скорости самой пластины. Распределение скоростей вдоль оси y линейно зависит от координаты,
vx = v hy ,
где vx – проекция вектора скорости частиц жидкости на ось x. В силу этого
dvx |
= |
|
v |
|
, |
|
|||||
dy |
|
h |
|
||
|
|
|
|
и с учетом предыдущего выражения можно определить зависимость напряжения от скорости:
σ xy = μ dvx , |
(7.3) |
dy
83
Для многих жидкостей соотношение (7.3) выполняется с высокой точностью.
В результате дифференцирования по времени кинематического соотношения (5.3) получается
|
dε xy |
= |
1 |
|
|
d |
|
|
∂u |
x |
+ |
|
d ∂uy |
= |
1 |
|
∂ du |
|
+ |
∂ duy |
= |
1 |
|
∂v |
x |
+ |
∂vy |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
dt |
|
2 |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
2 |
∂y dt |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
dt ∂x |
|
|
|
∂x dt |
|
|
∂y |
∂x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Вводится |
|
|
обозначение |
|
|
ξxy |
|
– |
скорость |
|
деформации, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
dε xy |
|
|
1 |
|
|
∂v |
x |
|
|
∂vy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ξ xy = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
. Аналогичные выражения можно полу- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
2 |
|
|
|
∂y |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чить для остальных компонент тензора скорости деформации:
ξxx = |
dε |
xx = |
∂v |
x |
, |
ξ yy = |
dε yy |
= |
|
∂vy |
, |
ξzz |
= |
dε |
zz |
||||||||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
∂y |
|
|
|||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
||||||||
ξ yz = |
dε yz |
= |
1 |
∂vy |
+ |
∂vz |
|
ξxz |
= |
dεxz |
= |
1 ∂vx |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
dt |
|
2 |
|
∂z |
∂y |
dt |
|
2 |
∂z |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∂∂vzz ,
+ ∂vz .
(7.4)
∂x
Поскольку в рассматриваемом на рис. 7.1 движении горизонтальная скорость vx зависит только от координаты y, то есть vx = vx ( y ) , и vy = 0, следовательно,
ξxy |
= |
1 |
|
∂v |
x |
+ |
∂vy |
= |
1 |
∂v |
x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
∂y |
∂x |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
в этом случае справедливо соотношение
σ xy = 2μξ xy .
Жидкость или газ называется вязкой (ньютоновской40), если выполнены следующие условия:
40 Ньютон Исаак (4.01.1643–31.03.1727) – английский физик и математик, президент Лондонского королевского общества, смотритель Монетного двора, иностранный почетный член Петербургской академии наук, за научные достижения возведен в дворянское звание.
84
–в жидкости или газе, когда они движутся как абсолютно твердые тела или находятся в покое, наблюдаются только нормальные напряжения;
–компоненты тензора напряжения – линейные функции компонент тензора скорости деформации;
–жидкость или газ изотропны, т.е. их свойства одинаковы по всем направлениям.
Сформулированные условия позволяют получить общую запись связи компонент тензора напряжения с компонентами тензора скорости деформации:
σxx = − p + λ (ξxx + ξ yy + ξ zz ) + 2μξ xx ;
σ yy = − p + λ (ξxx + ξ yy + ξ zz ) + 2μξ yy ; |
(7.5) |
|
σ zz = − p + λ (ξxx + ξ yy + ξ zz ) + 2μξ zz ; |
||
|
||
σ xy = 2μξxy , σ yz = 2μξ yz , σ xz = 2μξxz , |
|
где λ – второй коэффициент вязкости, или коэффициент объемной вязкости. Для несжимаемой жидкости этот коэффициент выпадает из соотношений (7.5), поскольку для несжимаемой среды
ξ xx + ξ yy + ξ zz = 0 .
85
8. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
8.1. Формула Коши
Напряжение по объему деформируемого твердого тела меняется, и на поверхности этого тела оно должно находиться в равновесии с действующими внешними нагрузками. Для записи силовых граничных условий используется схема, приведенная на рис. 8.1. Рассматривается бесконечно малый тетраэдр, вырезанный координатными плоскостями из области, занятой сплошной средой, и примыкающий к границе тела, на которой действует распределенная нагрузка p; n – единичная нормаль к поверхности рассматриваемой области. Компоненты тензора напряжения, действующего внутри изучаемого тела, указаны на рисунке.
z |
|
|
n |
|
|
|
p |
y |
σyz |
σxz |
σxx |
|
|
|
|
σyy |
|
|
σxy |
|
|
|
|
x |
σyx |
|
σzy |
|
σzx |
|
|
|
σzz |
|
Рис. 8.1. Силовые граничные условия для задачи механики деформируемого твердого тела
Принимаются условия, что рассматриваемый тетраэдр находится в равновесии, массовые силы отсутствуют. Условие равновесия выделенного тетраэдра приводит к записи граничных силовых условий (формула Коши41) в виде
41 Коши Огюстен Луи (21.08.1789–23.05.1857) – французский математик, член Парижской академии наук, иностранный почетный член Петербургской академии наук. Преподавал в Парижском университете.
86
σ n = p ,
или в координатной форме:
σxxnx + σxy ny + σxz nz = px ; |
(8.1) |
σyxnx + σyy ny + σyz nz = py ; σzxnx + σzy ny + σzz nz = pz ,
где nx, ny, nz, px, py и pz – проекции на оси координат вектора нормали n к поверхности рассматриваемой области и вектора нагрузки p, распределенной по поверхности области.
8.2. Закон сохранения массы
Для изучения движения физических объектов, температурных, электрических, магнитных и других полей используются законы природы, установленные в процессе исследовательской деятельности многих поколений ученых. Для движения твердых деформируемых тел, жидкостей и газов, то есть сплошной среды, обладающей свойством инерции, рассматриваются лишь некоторые из этих законов.
Свойство инерции характеризуется массой. Понятие массы вводится как для всего объекта в целом, так и для любой из его материальных частиц. В механике Ньютона масса m всего тела равна
сумме масс mi всех составляющих тело частей, m = mi . В класси-
i
ческой механике фундаментальным является закон сохранения массы любого конечного объема, состоящего из одних и тех же частиц среды. Его математическая запись заключается в том, что для любого конечного объема
m = const,
или
dmdt = 0 .
87
В механике сплошной среды вместо массы m используется понятие плотности среды ρ. Для бесконечно малого объема материальной частицы верно равенство (7.1), то есть dm = ρdV , для конеч-
ного объема среды – соответствующее соотношение
m = ρdV ,
V
где интеграл взят по подвижному конечному объему V, занятому сплошной средой.
Плотность ρ сплошной среды, в отличие от массы, может изменяться, так как занимаемый ею объем во время движения может уменьшаться или увеличиваться. Закон сохранения массы для индивидуального (элементарного) объема сплошной среды (материальной частицы) можно записать в виде
dm |
= |
d |
ρdV = 0 . |
|
dt |
dt |
|||
|
V |
Применение к этому равенству правила дифференцирования интеграла, взятого по подвижному объему, позволяет получить первое основное дифференциальное уравнение механики сплошной среды:
ddtρ + ρ divv = 0 ,
называемое уравнением неразрывности. Здесь divv = ∂∂vxx + ∂∂vyy + ∂∂vzz = ξxx + ξyy + ξzz
– дивергенция вектора скорости. В координатной форме уравнение неразрывности имеет вид
dρ |
|
∂v |
|
|
∂vy |
|
∂v |
|
|
= 0 . |
(8.2) |
|
+ ρ |
|
x |
+ |
|
+ |
|
z |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
dt |
|
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|
|
|
88
8.3.Закон изменения количества движения
Вмеханике Ньютона количество движения материальной частицы массой dm, занимающей объем dV, определяется выражением
vdm = vρdV.
Для конечного объема V, содержащего сплошную среду, количество движения
K = vρdV .
V
Предполагается, что на материальную частицу массой dm и объемом dV действуют силы p, распределенные по поверхности, и массовые силы f, распределенные по объему сплошнойсреды (рис. 8.2).
Плотность массовой силы определяется как
f = lim |
F |
= |
dF |
, |
|
m |
dm |
||||
m→0 |
|
|
где F – главный вектор (равнодействующая) всех масcовых сил, действующих на частицу массой m. Для бесконечно малой материальной частицы массой dm
dF = fdm = fρdV .
Тогда для конечного объема V сплошной среды можно записать уравнение закона изменения количества движения в форме
|
|
dK |
= ρfdV + pdS , |
|
|
|
|
dt |
V |
S |
|
или |
|
|
|
|
|
|
d |
vρdV = ρfdV + pdS . |
(8.3) |
||
|
dt |
||||
|
V |
V |
S |
|
Выражение (8.3) является основным динамическим соотношением механики сплошной среды. Подобно тому, как второй закон классической механики Ньютона является основным уравнением
89
в механике материальной точки, приведенное уравнение изменения количества движения лежит в основе механики твердого деформируемого тела, жидкости и газа, то есть сплошной среды.
р
J
f
q
Рис. 8.2. Материальная частица массой dm и объемом dV, нагруженная системой распределенных поверхностных p и массовых f сил, внешним тепловым потоком J и внутренними источниками тепла мощностью q
Выражение (8.3) может быть преобразовано к виду42
ρ ddtv = ρf + divσ ,
или в координатной форме:
ρ |
dv |
x |
= ρfx + |
∂σ |
xx |
+ |
|
∂σxy |
+ |
|
∂σ |
xz |
; |
(8.4) |
||||||
dt |
|
|
|
∂y |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
∂z |
|
|||||||||||
ρ |
dvy |
|
= ρfy + |
|
∂σyx |
+ |
|
∂σyy |
+ |
|
∂σyz |
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
∂x |
∂y |
|
|
|
∂z |
|
|||||||
ρ |
dv |
z |
= ρfz + |
∂σ |
zx + |
|
∂σzy |
+ |
|
∂σ |
zz . |
|
||||||||
|
|
|
∂y |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
∂x |
|
|
|
∂z |
|
42Подробный вывод уравнений движения сплошной среды представлен
вмонографиях [23, 6] и др.
90