книги / Нечёткое, нейронное и гибридное управление

Двойная сигмоидальная асимметричная функция (рис. 1.9) дифференцируема на всей области своего определения и имеет вид

(x)	1		1	.
	1 e d2 ( x d2 )		1 e d4 ( x d3 )

Рис. 1.9. Двойная сигмоидальная ФП: d1 – точка центра симметрии левой части ФП; d2 – коэффициент пологости (наклон левой части кривой); d3 – точка центра симметриим правой части ФП; d4 – коэффициент пологости (наклон правой части кривой)

Произведение сигмоидальных асимметричных ФП (рис. 1.10)

(x)				1				1			.
	1		e	d	( x d )	1 e		d	( x d	)
				2	1			4	3

Обобщенная гауссова ФП (рис. 1.11) используется в качестве радиальной базисной функции RBF-сетях и как активационная функция в нейронах и имеет вид

		(x d2 1 )	2 d3
(x) exp				,
		d2

31

где x – аргумент ФП класса ; d1 – точка центра симметрии левой части ФП; d2 – коэффициент пологости (наклон левой части кривой; d3 – точка центра симметрии правой части ФП.

Рис. 1.10. Произведение сигмоидальных ФП

Рис. 1.11. Гауссовская ФП

Обобщенная колоколообразная ФП (рис. 1.12) характеризуется гладкостью, простотой реализации и дифференцируема на всей об-

32

ласти своего определения, но не позволяет формировать ФП, открытые слева и справа терм-множества и имеет вид

(x)				1				.
				x d1			2d2
1
				d3

Рис. 1.12. Обобщенная колоколообразная ФП: d1 – точка центра симметрии левой части ФП; d2 – коэффициент пологости (наклон левой части кривой; d3 – точка центра симметрии правой части ФП

Полиномиальные ФП включают Z-образную, s-образную и-образную ФП, предложенные Р. Янгом и реализованные в системе Matlab. Z-образная полиномиальная ФП (рис. 1.13)

Z-образная ФП является кусочно-полиномиальной функцией и представляет собой комбинацию из двух «сшитых» полиномиальных функций в виде ассимитричной кривой, открытой слева.

1,									если x ( d1
			(x d1 )2											d1 d2
	2								если x (d1
1								,
			(d1 d2 )				2								2
(x)		(d2 x)2								d1 d2
									если x (							, d2
2						,
		(d	d	2	)2								2
	1								если x (d			, ).
0,											2

33

Рис. 1.13. Z-образная ФП

s-образная полиномиальная ФП (рис. 1.14) является зеркально сим-

метричной к Z-образной ФП (открытой слева) и по принципу построения похожа на нее, но имеет иную запись функционала:

0,								если x ( d1
		(x		d1 )2											d1 d2
2					,			если x		(d
		(d		d )2
			2									1		2
				1
(x)				(d2 x)2							d1			d2
	2							если x (									, d2
1							,
				(d2 d1 )		2								2
								если x		d			, ).
1,												2

Рис. 1.14. s-образная полиномиальная ФП

34

π-образная полиномиальная ФП (рис. 1.15)

			b		для x c
	s x, с b,с		2	,с
	x,b,с)		b
	1
		s x, с, с		,с b x c
			2
при x c b	0,5
2

Рис. 1.15. π -образная полиномиальная ФП

Трапецеидальная полиномиальная ФП (рис. 1.16).

Рис. 1.16. Трапецеидальная ФП

35

0,												если x ( d1
		(x		d1 )2
0,5							,					если x (d		d
		(d
				d )2								1			2
			2		1
	0,5			(d3 x)2								если x (d2		, d3
1										,
				(d3 d2 )					2
												если x (d3 , d4
(x) 1,
				(x d4 )2
	0,5											если x (d4	, d5
1											,
				(d5 d4 )2
		(d6 x)2
												если x (d5	, d6
0,5								,
		(d		d		)2
			6		5							если x (d6 ,
0,

1.3.3. Нечеткие числа

Нечеткие числа – нечеткие переменные, определяемые на числовой оси. Другими словами, нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел с ФП µА(х) [0,1], где х А. Нечеткое число А нормально, если max

µА(х) = 1.

Пример 1.11. Пусть универсум Е есть множество действительных чисел. Задать нечеткое множество А, обозначающее множество чисел, близких к 10 аналитически.

Возможно задать множество А ФП аналитически: µА(х) = (1 + |х – 10|n)–1, где n µА(х),

где показатель степени n выбирается в зависимости от степени близости к 10. Например, для описания множества чисел, «очень близких к 10», можно положить n = 4; для множества чисел, не очень близких от 10, n = 1.

1.4. Фаззификация. Способы реализации

Система управления с нечеткой логикой оперирует нечеткими множествами. В задачах управления чаще всего применяется опе-

36

рация фаззификации на синглетонной базе. Блок фаззификации содержит от одного до нескольких терм-множеств. Поэтому конкрет-

ному значению X (x1, x1, ... xn )T X входного сигнала блока нечеткого управления после операции фаззификации будет сопостав-

лено нечеткое множество		X X1 X2	... Xn . Переменным
	A

сигналом блока фаззификации является унимодальная ФП (синглетон), которая синхронно с входным сигналом перемещается в нормированном интервале изменения входной величины, пересекая терм-множества. Фаззификация на синглетонной базе (операция перевода четкой информации в нечеткую информацию) в случае

нечеткого		управления	формирует	нечеткое	множество
	X X1	X2 ... Xn	для дальнейшей обработки операцией не-
A

четкая импликация в блоке выработки решения. Число терм отдельного терм-множества задается от 3 до 11 в зависимости от скорости изменения сигнала. Увеличение числа терм возможно включением квантификаторов: НЕ, ОЧЕНЬ, БОЛЕЕ-МЕНЕЕ. Характер терм задается синтаксическими правилами, а смысл – семантическими правилами.

Фаззификатор нечеткого регулятора преобразует четкую входную информацию в нечеткую информацию (формирует нечеткое множество).

Формирование нечеткого множества на выходе фаззификатора выполняется:

–на синглетонной базе;

–на базе терма с треугольной функцией принадлежности (не синглетонной базе);

–с помощью терм с основанием, равным нормированному интервалу, измененным произвольно или на пропорции пересчета входного параметра [26].

А) Для формирования нечеткого множества на синглетонной базе используется унимодальная функция принадлежности – синглетон), – который жестко связан с входной переменной. Для случая двух лингвистических переменных зададимся следующим терммножеством (рис. 1.17).

37

Рис. 1.17. Терм-множество фаззификатора нечеткого регулятора частоты:

а– терм-множество по отклонению частоты вращения турбины;

б– терм-множество по производной частоты вращения турбины

Степени принадлежности проекции вектора x1 после фаззификации

A11 (x1 ) x11 x1

A12 (x1 ) x12 x1

A13 (x1 ) x13 x1

A14 (x1 ) x14 x1

A15 (x1 ) x15 x1

Степени принадлежности проекции вектора x2 после фаззификации

A21 (x2 ) x12 x2

A22 (x2 ) x22 x2

A23 (x2 ) x23 x2

38

A24 (x2 ) x24 x2

A25 (x2 ) x25 x2

Б) На рис. 1.18 приведена иллюстрация графической интерпретации нечеткого вывода по Мамдани, где фаззификация выполнена на несинглетонной базе.

Рис. 1.18. Графическая интерпретация нечеткого вывода по Мамдани, где фаззификация реализована на несинглетонной базе

С) Для формирования нечеткого множества используется пропорция, пересчитывающая фиксированное значение входного пара-

метра в соответствующий элемент u* 0,1 согласно рис. 1.19, где очевидна следующая пропорция [11, 12]:

39

(x	x	)		(x* x		)	.
вi	нi			i	нi
(1 0)				(u* 0)

Рис. 1.19. К вопросу определения пропорции пересчета входного параметра

Тогда

u* (xi* xнi ) , (xвi xнi )

где xi* – текущее значение входного параметра; xвi – единичный (верхний) уровень нормированного интервала; xнi – нулевой уровень

нормированного интервала; u* – элемент, пропорциональный входному параметру.

Рассмотрим пример формирования ФП с основанием, равным нормированному интервалу.

На рис. 1.20 приведено терм-множество из пяти терм с одним

основанием.
Запишем	аналитические		выражения		терм-множества
(см. рис. 1.20),	воспользовавшись координатами (u1, 1 )					и (u2 , 2 ) ,
которые заложены в уравнении прямой
	u	( 2 1 )u	1u2 2u1		.
		(u2	u1 )

40