книги / Силы инерции в задачах биомеханики

удвоенный модуль вектора и повернуть на 90 в сторону вращения подвижной системы координат. Полученный вектор является вектором кориолисоваускорениярассматриваемойточки(рис. 3).

Рис. 3. Построение вектора кориолисова ускорения по правилу Жуковского

§1.3. Вращение вместе с Землей

Рассмотрим систему координат Oxyz, связанную с Землей таким образом, что центр масс нашей планеты находится в точке O, а ее ось вращения совпадает с осью Oz (рис. 4). Разумеется, такая система является неинерциальной.

Рис. 4. Подвижная система координат Oxyz вращается вместе с Землей

С помощью введенной системы определим силу давления человека на поверхность Земли при нахождении этого человека в неподвижном состоянии на экваторе и на полюсе.

Для решения задачи введем несколько упрощающих предположений. Допустим, что Земля представляет собой шар радиусом

11

R 6371 км (как известно, экваториальный радиус планеты несколько больше полярного, поэтому в расчетах чаще всего используется средний радиус, равный указанному значению). Размеры Земли многократно превышают размеры тела человека, поэтому в рамках рассматриваемой задачи тело человека можно принять за материальную точку массой m. Кроме того, исключим из рассмотрения движение планеты по орбите, так как это движение оказывает пренебрежимо малое влияние на исследуемые величины.

Из вышеизложенного следует, что в представленном примере переносным движением исследуемого объекта является вращение системы Oxyz относительно абсолютной системы отсчета. При этом по условию задачи тело человека находится в покое на поверхности Земли, т.е. относительное движение отсутствует. Уравнение относительного покоя, записанное вформе (2), будетиметь вид

0 F Feин Fсин.

Правая часть данного выражения соответствует тому, что относительное ускорение ar материальной точки, моделирующей

тело человека, равно нулю. Для случая, когда человек находится на экваторе планеты, последнее соотношение перепишется следующим образом:

0 N	G Fин,	(4)
1	e

где N1 – сила реакции поверхности Земли (на экваторе), G – сила притяжения (рис. 5). При этом F N1 G. Кориолисова сила

инерции равна нулю, поскольку относительное движение отсутствует. Проецируя уравнение (4) на нормаль n к поверхности, проведенную через рассматриваемую точку (см. рис. 5), получаем

0 N1 Feин G.

Сила давления на опору численно равна силе реакции этой опоры. В данном случае

N G F ин.		(5)
1	e

12

Модуль вектора переносной силы инерции соответствует первому соотношению в (3):

F ин ma .		(6)
e	e

Рис. 5. Силы, действующие на человека при его нахождении на экваторе

Поскольку подвижная система совершает равномерное вращательное движение, то переносное ускорение определяется только центростремительным ускорением той точки этой системы, которая совпадает срассматриваемойматериальной точкой, т.е.

a 2 R,	(7)
e

где – угловая скорость вращенияЗемли вокруг собственнойоси. Численное значение силы притяжения выражается известной

формулой

G k mM	,	(8)
R2

где k – гравитационная постоянная, M – масса Земли.

Принимая во внимание формулы (6–8), перепишем соотношение (5):

		M		2
N1	m k				R .	(9)
		R	2

13

В том случае, когда точка находится на полюсе планеты, относительный покой будет описываться следующим уравнением:

0 N2 G,

где N2 – реакция опоры в новом положении (рис. 6).

Рис. 6. Силы, действующие на человека при его нахождении на полюсе

Переносная сила инерции в этом случае равна нулю, так как точка находится на оси вращения. Отсюда

N	2	G k mM .	(10)
		R2

Сравнивая формулы (9) и (10), можно сделать вывод о том, что разница между искомыми силами равна величине

Feин m 2 R. Чтобы ответить на поставленный вопрос более точно, вычислим отношение сил N1 и N2 . Для этого определим угловую скорость с помощью следующего закона:

2T ,

где T – период обращения Земли вокруг своей оси, который, как известно, равен 24 часам. Следовательно,

14

		2		2		2	7,3 10 5 р/c.
		T		24 ч		86400 с

С учетом того, что масса Земли составляет, примерно, 6·1024 кг, агравитационнаяпостояннаяравна 6,68 10 11 м3 с 2 кг 1, получаем

N1 1 2 R3 0,991.

N2 k M

Из последнего соотношения видно, что силы N1 и N2 прак-

тически совпадают. Это связано с малостью угловой скорости вращения Земли вокруг своей оси. Если принять массу человека m 70 кг, то

N2 N1 Feин m 2 R 70 7,3 10 5 2 6371 103 2,36 Н,

при N2 G 69,12 Н. Таким образом, сила давления человека на

поверхность Земли на экваторе приблизительно на 1 % меньше силы давления этого же человека при нахождении его на полюсе.

Из решения задачи можно сделать вывод о том, что сила давления человека на поверхность планеты практически не изменяется при его перемещении по отношению к данной поверхности. Поэтому уменьшением рассматриваемой силы при приближении тела к экватору обычно пренебрегают. Тем не менее представленный пример демонстрирует простоту объяснения подобных эффектов с использованием понятия «сила инерции».

§1.4. Учет кориолисовой силы инерции при движении к поверхности Земли

Введение кориолисовой силы инерции позволяет объяснить изменение направления движения точки по отношению к вращающейся системе отсчета. Данный факт можно проиллюстрировать с помощью следующего примера.

15

Как известно, при выполнении учебно-тренировочных прыжков парашютисту необходимо максимально приблизиться к заданной точке приземления. В соответствии с этим исследуем траекторию падения парашютиста с раскрытым куполом. Предположим, что рассматриваемое движение происходит в безветренную погоду на широте местности 60 в северном полушарии(рис. 7).

Рис. 7. Широта местности, над которой происходит исследуемое движение

Пусть на высоте h 1000 м парашютист получает сигнал о том, что он находится непосредственно над заданной точкой приземления. Если предположить, что сила сопротивления движению, действующая со стороны воздушной среды на купол парашюта, равна по величине и противоположна по направлению силе тяжести, приложенной к системе «парашют – парашютист», то скорость падения можно считать постоянной. Согласно справочной информации [12] величина этой скорости равна 5 м/c.

В условиях, соответствующих принятым предположениям, может показаться, что парашютисту для достижения цели не нужно выполнять никаких действий для корректировки траектории своего падения. Однако парашютист в данном случае выступает в роли наблюдателя, находящегося в системе координат, связанной с вращающейся вокруг своей оси Землей, т.е. в неинерциальной системе отсчета. Задача определения траектории падения по отношению к такой системе требует учета дополнительных факторов, объясняемых введением соответствующих силинерции.

16

Представим вновь нашу планету в форме шара. Поместим начало координат системы Oxyz в заданную точку приземления. Ось Ox при этом направим по касательной к параллели места на восток, ось Oy – по касательной к меридиану на север, ось Oz – по внешней нормали к поверхности Земли (рис. 8). На высоте h, отмеряемой от точки O, вектор vr относительной скорости точки M, моделирую-

щей парашютиста, направлен по оси Oz к началу координат. Известно, что вектор угловой скорости вращения Земли направлен вдоль ее оси с юга на север. Поэтому вектор кориолисова ускорения ac

в рассматриваемом случае будет направлен на запад (?) , а вектор кориолисовой силы инерции Fcин – на восток (параллельно оси Ox)

(см. рис. 8). Вектор P на рис. 8 обозначает силу тяжести, приложеннуюкточке M, вектор R – силу сопротивления воздуха.

Рис. 8. Точка M на высоте h от поверхности Земли

Следует отметить, что учет переносной силы инерции незначительно повлияет на результат (см. предыдущий пример), поэтому при решении представленной задачи данная сила инерции рассматриваться не будет.

Здесь и далее символом «(?)» будут отмечены утверждения, требующиесамостоятельногодоказательства.

17

Рис. 9. Падение точки M в плоскости xOz

Перейдем теперь в координатную плоскость xOz (рис. 9). Составим уравнение относительного движения точки M (см. формулу (2)) впроекциинаось Ox:

ma	rx	F ин ma ,
		c	c
или				(11)
x 2 vr sin ,
где – угол между векторами				и vr

(см. рис. 8). Как легко видеть, значение этогоугла составляет 150 ( 90 ).

Очевидно, что сила Fcин будет оп-

ределять смещение падающей точки M в сторону положительного направления отсчета оси Ox (на восток). Так как зна-

чение скорости падения vr принято постоянным, то интегрирование уравнения (11) приведет к выражению:

xvrt2 sin C1t C2 .

Вначальный момент времени смещение и относительная скорость точки M в проекции на ось Ox равны нулю. Отсюда сле-

дует, чтоC1 C2 0, т.е.

x v t2	sin .	(12)
r

Такимобразом, для определениявеличины s, характеризующей смещение точки M по отношению к точке O в момент приземления, осталось выразить время падения. Поскольку рассматриваемое движение является равномерным, то время T, за которое точка пройдет расстояниеh, выражаетсяследующейформулой:

T h . vr

18

Подставляя последнее в уравнение (12), получаем

s	h2	sin 7,3 10	5		10002	sin150 7,3	м.	(13)
	v				5
	r

По сравнению с пройденным расстоянием вычисленное значение является достаточно малым. Однако с точки зрения нормативов, действующих в парашютном спорте, такое отклонение от заданной точки приземления считается существенным. Поэтому даже в безветренную погоду парашютисту необходимо корректировать свое падениедлятого, чтобыоставатьсянадзаданнойточкойприземления.

Решение представленной частной задачи наводит на общий вывод о том, что вращение планеты влияет на движущиеся относительно ее поверхности объекты. Для строгого обоснования подобного влияния используетсяпонятие кориолисовойсилы инерции.

Замечание. В приведенном примере вектор относительной скорости направлен параллельно оси Oz (см. рис. 9), т.е. vr vrz

в течение всего рассматриваемого промежутка времени. Строго говоря, смещение точки M в сторону положительного направления отсчета оси Ox определяется ненулевой компонентой vrx ,

значение которой зависит от времени. Таким образом, в действительности направление вектора vr изменяется с течением време-

ни, что, в свою очередь, приводит к изменению направления вектора кориолисовой силы инерции. Однако можно легко показать, что величина вектора vrx является малой по сравнению с vrz , т.е.

поворот вектора Fcин является незначительным. Поэтому в пер-

вом приближении изменением направления вектора кориолисовой силы инерции в подобных задачах пренебрегают.

§1.5. Движение вдоль поверхности Земли

Как следует из формулы (13), полученной в ходе решения предыдущего примера, учет кориолисовой силы инерции может привести к значительным поправкам при длительном перемещении исследуемого объекта на большое расстояние. Из данной фор-

19

мулы видно, что при движении точки относительно поверхности Земли ее боковое отклонение пропорционально квадрату пройденного расстояния. Соответственно этому существуют задачи, корректное решение которых невозможно без введения кориолисовой силы инерции. Такие задачи, как правило, возникают при исследовании траекторий длительных полетов различных тел (самолетов, артиллерийских снарядов и т.д.) вдоль земной поверхности.

С изложенной точки зрения представляется интересным изучение сезонных миграций перелетных птиц. Среди ученыхорнитологов нет единого мнения о том, как эти птицы определяют необходимые направления движения. Наиболее вероятной причиной называется чувствительность птиц к магнитному полю Земли [5, 17, 18, 26], что позволяет им ориентироваться в воздушном пространстве при перелетах как над сушей, так и над океаном. В этом случае скорость птицы по отношению к земной поверхности должна быть направлена преимущественно с севера на юг, если миграция происходит из северных широт в более южные, и наоборот. Рассмотрим данное умозаключение с позиции динамики относительного движения.

Предположим, что птица перемещается из южного полушария к экватору с постоянной скоростью u 50 км/ч (13,9 м/c), измеренной относительно Земли. При этом согласно вышеизложенному вектор u направлен на север по касательной к меридиану, соответствующему долготе l1. Пусть рассматриваемое движение происходит над местностью, соответствующей широте30 (рис. 10). Определим траекторию полета птицы при перемещении ее на расстояние d 100 км от указанного места.

В масштабах исследуемого движения птицу можно принять за материальную точку (точку M). Введем систему координат Oxyz, начало которой совпадает с начальным положением точки M. Ось Ox направим по касательной к параллели места на запад, ось Oy – по касательной к меридиану на север, ось Oz – к центру Земли (рис. 11).

20