книги / Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями
..pdf§ 3] и
прострамстаеиным граничным условием. Закон этого влия ния должен быть известен в любой момент времени ^ > 0. В простейшем случае температура TQ граничной поверхности задается как функция координат и времени. Можно задать также поток тепла, т. е. количество тепла, втекающее или вытекающее через единицу площади внешней поверхности за единицу времени, как функцию времени и координат [уравнение (1.4)1. Наконец, в наиболее общем, но зато и наиболее сложном в математическом отношении случае можно задать температуру О внешней среды и закон тепло обмена между поверхностью тела и внешней средой. Для получения формулировок, допускающих математическую об работку, используется приближенная формула, известная под названием закона охлаждения Ньютона. Согласно этому закону температурный градиент на поверхности тела про порционален разности между температурой среды и темпе ратурой поверхности тела, следовательно,
(1.7)
Величину Л/), часто называют коэффициентом относительной теплопередачи, а к — коэффициентом теплопередачи.
§ 3. Замэчания к решению задач теплопроводности
Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных (1.1), (1.5) и (1.6) изложены в соответствую щей литературе. Для получения достаточно общих решений, удовлетворяющих начальным и граничным условиям, наряду C методами наложения входящих в решение частных инте гралов, полученных посредством разложения в ряд или инте грированием по параметру, для нестационарных процессов
весьма удобен |
также метод, основанный на преобразовании |
Лапласа ^). Он |
обладает тем преимуществом, что при его |
использовании |
начальные условия непосредственно входят |
в решение. |
|
Двумерные стационарные задачи, как и все плоские задачи теории потенциала, могут быть решены методом конформных
>) Doetsh.
отображений ^). Наконец, в сложных задачах, для которых невозможно аналитическое решение, могут оказаться при годными численные и графические методы ^). В частности, укажем на способ замены дифференциального уравнения системой разностных уравнений и на их решение методом релаксации ^). Для одномерного нестационарного случая раз работаны особые расчетные формуляры. Особенно полезным является графический метод Е. Шмидта ‘).
1)Betz, КоЬег.
2)Dusinberre.
3)Southwell.
<) Jakob.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ
§ 1. Напряженное и деформирэванное состояние
Приведем важнейшие |
сведения из теории упругости |
в объеме, необходимом |
для дальнейшего изложения. Для |
более подробного ознакомления отсылаем читателя к различ ным учебникам ’).
Введем для нормальных и касательных напряжений, дей ствующих. на боковых позерхностях бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда, ориентированного в напра влении координатных осей (рис. 1), следующие обозначения: °хх> ^xy — напряжения на элементе поверхности dy ^ dZ, Oyj., Оуу, Oyj— напряжения на элементе поверхности dZ • dX,
1) Timoshenko — Qoodier, а также Е. Т.реффц, Математиче ская теория упругости, ГТТИ, М. — Л., 1932.
®га?» |
«гг — напряжения на Элементе поверхности |
й х • dy. |
||||
При этом имеют место равенства: |
|
|
||||
Условия |
равновесия при отсутствии массовы |
|
||||
|
|
|
ду |
^^- = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дх |
|
ду |
+ % ^ = о . |
|
|
|
дохг |
|
doyg |
дг = |
0. |
|
|
и г |
|
ду |
|
||
ИЛИ. в более краткой |
записи, |
|
|
|
||
|
S |
~ ^ |
|
^ = |
У' ^)* |
(2.1) |
Пусть деформация тела задана перемещениями и^, Uy, Ug, параллельными направлениям осей. Тогда удлинения и сдвиги будут соответственно равны:
dua |
|
д ^ |
dug |
|
|
|
д ^ |
дJ^ |
ду ’ |
|
|
|
|
^^уг— д у ^ дг |
’ |
(2.2) |
||||
— дх Г - ду • |
||||||
|
||||||
|
|
I |
|
|
|
|
2е ,л = 2ел< = - ^ |
+ - ^ . |
|
(2.3) |
|||
Деформации сдвига |
не |
могут |
задаваться |
произвольно, |
так как согласно уравнениям (2.3) они являются функциями трех величин: Uy, Ug. Между ними существуют диффе ренциальные соотношения, которые называются условиями совместности и которые в дальнейшем будут часто приме-
§ 11
няться. Эти соотношения имеют вид:
- = 2 - |
|
|
|
|
|
|
(2.4) |
дд: "T" ду |
' |
дг |
\* |
дг |
^ |
дх |
\ ^ |
д^уг |
I |
|
1 |
дд: |
”1” |
ду |
] ’ |
Если в теле температура изменяется на величину Т, то элемент длины ds будет иметь новую длину (1+ а Т ) й 5 при условии, что отдельные элементы объема не встречают пре пятствия при расширении и. следовательно, не возникают температурные напряжения. Величину а называют коэффи циентом теплового расширения. Если тело изотропно и одно родно, то коэффициент а не зависит ни от направления элемента ds, ни от координат. Если мы предположим, что. коэффициент а не зависит также от температуры, то он будет постоянной величиной. Хотя такое предположение оправды вается только более или менее приближенно, все же мы будем им пользоваться, так как оно упрощает расчеты.
При сделанных допущениях первоначально прямоуголь ный бесконечно малый параллелепипед, несмотря на измене ния температуры, останется прямоугольным. Удлинения по всем направлениям будут иметь одинаковую величину. Сле довательно,
8®а — ^yy — ^гг — |
1 |
(2.5) |
|
Ы = ^ у г= ^ г а , = 0. |
J |
||
|
Однако частицы тела обычно препятствуют взаимным изме нениям объема. Вследствие этого возникают температурные напряжения
(I, к = х, у , г),
обуслозлнвающие добавочные удлинения и сдвиги согласно формулам классической теории упругости. Напряжения Oj,; вызывают удлинения и сдвиги:
|
|
1 |
|
|
|
|
®-в// |
|
|
|
2 а |
|
|
^^vv— |
2 0 |
|
|
^ |
|
1 |
, |
1 -I- P ’ |
= ~~ |
bfs |
( 2. 6) |
|
уу ~ 20 |
(,«’кв |
2 0 |
|
|||||
е,- = |
20 |
I |
1 + р " * Г |
е |
__ |
^SX |
|
|
““ |
|
'И - |
- Z X - 2Ц |
|
||||
где G есть |
модуль сдвига; р. — отношение |
поперечной де |
||||||
формации к |
продольной, |
называемое |
коэффициентом |
Пуас |
||||
сона, причем значения р заключены между |
О и 1/2; ^ — сумма |
|||||||
нормальных |
напряжений |
|
|
|
|
|
^ = °хх + ^vu
Полные удлинения складываются из удлинений, вызванных изменением температуры [равенства (2 .5)], и удлинений, об условленных напряжениями (равенства (2.6)).
Таким образом,
|
и — |
|
1 |
“Ь |
||
|
■ ^ ~ 2 0 |
— Т + 1Г «) + |
аТ’. |
|||
Применив символ 6|*, определяемый равенствами |
||||||
Cijfc = |
O |
при |
1 ф к , |
\ |
1 (J, |
|
& |
1 |
при |
» |
. |
k = X , у , г ) , |
|
Ojfc = |
1 |
1 = к |
] |
^ |
^ * у» |
мы можем переписать |
эти |
уравнения более |
кратко, притом |
в виде, пригодном также |
для сдвигов: |
|
|
^ |
[<»<*:— |
(2-7) |
Ради полноты приведем соотношение между модулем сдвига G и модулем упругости E (модулем Юнга)
(2 .8>
Из уравнений (2.7) путем сложения можно вывести соот ношение между суммой напряжений s = и объемным расширением € —
(2.9)
§2. Уравнения термоупругости в перемещениях
Вуравнения (2.7) входят шесть компонент напряжениям,;^
и шесть компонент |
деформации |
если мы заменим по |
|||
следние. |
пользуясь |
уравнениями |
(2.2). через |
перемещения |
|
Нд., Uy, |
Ug, то |
шесть уравнений (2.7) будут содержать девять |
|||
неизвестных. |
В качестве трех недостающих |
уравнений мы |
используем уравнения равновесия (2.1). Следовательно, число уравнений будет равно числу неизвестных. В дальнейшем мы будем стремиться к уменьшению числа уравнений и числа
^!еизвестных и в конце концов |
получим систему трех урав- |
|||||||||
^ 1ений |
в |
частных производных, |
содержащих |
в |
качестве не- |
|||||
^ известных |
перемещения. |
|
|
|
|
|
|
|||
Для |
этой |
цели, |
прежде |
всего, |
определим |
из |
уравне- |
|||
^ ний (2.7) |
напряжения |
в виде |
|
|
|
|
|
|||
=Jfc = |
20 [sffe+ |
^ |
|
|
(i, |
к = х ,у , г). |
||||
В это выражение подставим значение |
^ |
|
определив |
|||||||
его из |
уравнения (2,9): |
|
|
|
|
|
|
|||
Окончательно получим |
|
|
|
|
|
|
||||
|
«а- = |
20 |
-4- |
elik— |
|
|
♦ |
(2Л 0) |
||
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя это выражение в уравнение (2.1), имеющее вид
и приняв во внимание, что согласно (2.2)
_ 1 га% , даЛ
получим:
При вычислении этой суммы было принято во вни
|
|
y i |
|
__.A - V |
дк |
___ — е |
|
|
|
|||
|
|
Z i |
didk ~ |
dt |
Z i |
д1 |
|
|
|
|||
|
S |
ifjgj _ |
d^ui |
, |
d^ut |
|
dfui _ _ А |
|
|
|
||
|
дИ^ |
|
дх'^ |
|
ду2 |
|
|
** |
|
|
||
Но суммы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
M- |
V |
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ал |
|
|
|
|
|
|
|
||
сводятся к единственному члену при |
к — 1, так |
как |
^ = O |
|||||||||
при 1 ф к |
H b ik = I |
при / = |
Л и. следовательно, |
принимают |
||||||||
значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и. |
де |
« |
|
|
|
|
1 Ч“ |
^7* |
|
||
|
1± ^ - д Г |
соответственно - n r ^ r ^ l T * |
|
|||||||||
Таким образом, для перемещений мы .получили |
систему трех |
|||||||||||
уравнений |
в частных |
производных |
|
|
|
|
|
|||||
|
I |
дё |
2(1 + (1)-57- |
л |
( 1 ^ х . у . г ) . |
(2. 11) |
||||||
+ 1= 2? — |
- ^ ¾ - " - 5 ? = ® |
|||||||||||
|
|
|
|
§ 3. Термоупругий потенциал перемещений
Само собой разумеется, что все написанные уравнения справедливы также и при Г = О и переходят в этом случае в HaBecTHbiejrQoTHoiueHHjLTeopHiLynpyroCTH-K этим уравнениям следует-добавить условия на поверхности тела, где напря ж ена или перемещения должны принимать заданные значе ния. В дальнейшем мы будем находить какое-либо основное решение дифференциальных уравнений (2.11) и затем путем наложения соответствующих решений этого уравнения при
T = O добиваться удовлетворения граничных условий. По следнее является основной задачей теории упругости. Труд ности этой задачи* во многих случаях непреодолимы.
Для отыскания основного решения уравнений (2.11) при мем, что перемещения можно выразить посредством выра
жений |
|
|
= |
|
(2. 12) |
“» = |
дФ |
дФ |
|
|
|
Таким образом, |
|
|
Дtfi = |
-|.Д Ф |
|
Тогда уравнения (2,11) примут вид |
|
|
1-Н . (?ДФ |
! + tt , |
дТ |
1—2|х д1 |
1—211 |
д/ |
Проинтегрировав это выражение по /, |
получим для- Ф урав |
|
нение Пуассона |
|
|
■1- 1* ' |
(2.13) |
|
|
Функцию Ф назовем термоупругим потенциалом перемеще ний; производные от функции Ф по координатам дают непо средственно перемещения.
Согласно (2.2) получим выражения для деформаций
а*Ф
31dk'
Sxx--- |
|
^xy ~ |
д^-Ф |
|
дх^ ’ |
дхду |
|
||
|
а^Ф |
|
дЧ |
(2.14) |
^vu ~ |
а у 2 • |
|
ду дг |
|
Sgg — |
а^Ф |
Szx ~ |
.3 4 |
|
аг2 ' |
ЗгЗх |
|
Напряжения получаются из уравнений (2.10) в виде
Otfc= 2 0 |
4Ф8„1, |
|
Г |
I |
^"Ф1 |
|
|
дЧ* |
|
|
|
|
+ |
д гЧ > |
— |
|
д хд у |
’ |
|
Oyy — |
2 0 ^^2 + |
- ^ J , |
Oy^ |
|
д Ч |
|
(2.15) |
|
|
ду дг |
' |
||||||
|
|
|
|
„= |
|
|
||
. = - 2 0 [ Ц + * 1 |
20 |
д Ч |
* |
|
||||
|
|
|
д у Ч ' |
|
д гд х |
|
||
Эти решения |
могут, |
однако, лишь |
случайно |
принимать за |
||||
данные значения на поверхности. |
|
|
|
|
|
|||
Хотя мы и можем |
задать для. Ф |
одно краевое |
|
условие, |
но выполнить, кроме |
того, два других условия невозможно. |
|
Это объясняется тем, |
что выражения (2.12) для |
при T = O |
не являются самым общим решением уравнений теории упру гости. Кроме того, при решении уравнения (2.13) не учитыва лись граничные условия; если, как этого следует ожидать, полученное решение не удовлетворяет граничным условиям, то мы налагаем на него решение уравнений теории упругости, соответствующее 7 = 0 , с тем чтобы выполнить заданные условия на поверхности'.