книги / Основы математического моделирования и численные методы

Эм	ЭN-	ЭЛТ,	0N ,
^ =	^ и	1+— ± и / + ^ и к.
дх	дх	дх 1	дх

Поскольку

дN.

- = bq, q = /, j, к , дх

^ ь м + ь м + ь „ и к .

Аналогичным образом определяются производные по коорди­ нате у .

3.6. Локальная система координат

одномерного симплекс-элемента

Локальной системой координат называется система коорди­ нат, привязанная к конечному элементу, в которой координаты ме­ няются линейно между нормированными узловыми координатами. Преимуществом локальной системы координат является то, что интеграл по элементу часто имеет стандартную аналитическую

формулу [5].
Рассмотрим			одномерный				эле­	ли
мент е	с узлами		i и	j	(рис. 3.11).					L]	L2
Координатами узлов				/	и	j в гло­
бальной	системе		координат				явля­		i	е	X
ются X,	и X : соответственно.										j ------- >
									X:		XJ
Введем		локальную				систему
									Рис. 3.11. Локальная система
координат,		поместив				начало
									координат для одномерного
системы в г-м			узле			элемента
										элемента
(см. рис. 3.11):
							Х . - х				(3.11)
						L = — !------
						^	X j - X ,

Для узлаj локальная система координат запишется как

х - Х

	(3.12)
Из выражений (3.11), (3.12) видно, что при	А = 1 >
Ьг= 0, а при x =Xj Ц = 0, Z2 = 1.
Независимой является только одна из координат Ij	и Z2, что
следует из соотношения Z, + Z2 = 1.

Можно отметить также, что Ll =Nj и L2 =NJ . Таким образом,

и = LiUi + l^U j.

Как будет показано ниже, элементные вклады могут быть выражены в Z-координатах в виде интегралов

е

целые числа (0, 1,2, ...). В этом случае аналитическая формула ин­ тегрирования имеет вид [5]

(3.13)

где Z - длина конечного элемента.

3.7. Локальная система координат

для двухмерного симплекс-элемента

Координата площади в двухмерном случае аналогична коорди­ нате длины в одномерном случае. Для произвольно выбранной точ­ ки Р в трехузловом элементе площадь треугольника А1 (рис. 3.12)

Рис. 3.12. Три площади, связанные с произвольной точкой треугольника, и локальные координаты

Ясно, что величина Ц изменяется в пределах от нуля до едини­ цы. Координаты Ь2 и Z3 определяются аналогично:

и изменяются в тех же пределах, что и Z,.

Поскольку Ах+ А2 + А3 =А ,

1ц + Z j + Z 3 = 1 .

(3.14)

Координаты Ij, 1з, i 3 называются 1-координатами.

При изучении свойств Z,, 1^, Ц с учетом соотношения (3.14) обнаруживают некоторые интересные сведения. Локальные коорди­ наты Z,, 1г2, Z3 совпадают с функциями формы треугольного сим­ плекс-элемента:

W ,= v NJ =L2, iV *=V Из рис. 3.12 видно, что

[1 в узле с номером i,

А = -

0 в узлах j и к.

Это справедливо для локальных координат 1^ и 1^ . Из выра­ жения (3.14) следует, что в любой точке конечного элемента сумма функций формы всегда равна единице.

Если записать следующую систему уравнений:

x = LlX i +L2X J +L3X k>-

y ^ +	L J j +	I ^ ;
1 = J£| + 1*2+ L$
и разрешить ее относительно	Z,, I^,	, то в результате получим

соотношения, идентичные выражению (3.10).

Формула интегрирования для треугольного симплекс-элемента

с использованием 2,-координат имеет вид [5]
а\Ыс\	А .	(3.15)
2
(а+Ь +с +2 )!
Применение выражения (3.15) может быть продемонстрировано
на следующем примере:
jN fN jdA .
А
Вычисление данного интеграла производится следующим
образом:
1!1!0!	_ 2 А	А_
(1+ 1 + 0 + 2)!	4!	12 '

3.8. Интерполяционные полиномы

для дискретизованной области

Интерполяционный полином в матричной форме можно запи­ сать как [5]

и,

U J
u{e) = [tf]{t/} = [jV?>, N f , N Ï \ ... ЛГ<е)] U*	(3.16)

и .

где (е) - верхний индекс, указывающий на произвольный элемент;

г - количество узлов в элементе.

На рис. 3.13 показана область, состоящая из пяти треугольных симплекс-элементов, количество узлов в которой равняется шести. Заданы координаты узлов (Х д, Yq), q =l, 2,..., 6 . В круглых скобках

записаны номера элементов. Величины C/ l 5 U2, U3, С/4, U5, U6

представляют собой глобальные степени свободы. Номера узлов ко­ нечных элементов обозначены индексами i , j и к . При этом

/-й узел в элементе является первым и на рис. 3.13 обозначен звез­ дочкой. За /-м узлом в направлении против часовой стрелки следуют узлы j и к .

В табл. 3.1 приведена связь между локальной и глобальной ну­ мерациями узлов конечных элементов.

Таблица 3.1

Связь между локальной и глобальной нумерациями узлов конечных элементов

Номер элемента	/	j	к
1	2	3	1
2	3	2	4
3	5	3	4
4	6	3	5
5	1	3	6

Подставляя вместо локальных индексов /, j и к соответст­

вующие им индексы глобальной нумерации узлов из табл. 3.1 в формулу (3.16), получим следующую совокупность уравнений для элементов:

ит =N ^U 2 + N ^U 3 +N il)Ui ;

м(2) = N™U3+ N ^ U 2 +Nl2)UA;

«(3) = N ^ U S +Ni3)U3 + N f ]UA;

(3.17)

i/(4) = N ^ U 6 +N ^ U 3+ N$4)U5;

M(5) = #}3)t7, + N /( ]U3 + N ^U 6.

Из совокупности уравнений (3.17) видно, что конечные элемен­ ты объединяются в ансамбль, а интерполяционные функции выра­ жаются через глобальные узловые значения и глобальные координа­ ты. Каждое из уравнений в системе (3.17) содержит глобальные узловые значения, но относится к конкретному элементу. В даль­ нейшем используется расширенная форма записи этих уравнений, которая имеет вид

м(|) = N f'ty + Nil)U2 + N ^U 3+ 0U4 +0U5+ 0U6;
u{2) = Ot/, + N {2)U2 + N ?]U3+ N[2)U4 +0U5+ 0t/6;
«(3) = Ot/, + 0U2 + N ^ U 3 +N ?yU4 +N$3)U5+ 0U6;								(3.18)
uw = Ot/, + OU2 +N ? % + 0U4 + N ^ U S + Wj4)t/6;
u{S) = N\5)UX+ OU2 +N P Ü 3 +0f/ 4					+ OU5 +N$5)U6.
В матричной форме уравнения (3.18) можно записать следую­
щим образом:
и®'	> ,(1)	N ®	ЛГ3(1)	0	0	0	" rux
м(2)	0			NP	0	0	U2
«(3) »=	0	0	JVf	а ?>	NP	0	«u3
к<4)	0	0		0	NP W		u<
у 5)	NP 0		NP 0		0	NP_ P s.

Метод конечных элементов дает способ представления искомой функции. Решение же самой задачи в рамках этого метода осущест­ вляется посредством применения какого-либо другого метода. Та­ ким методом может быть метод наименьших квадратов, метод Ритца, Метод Галеркина и др.

3.9. Применение метода Галеркина в МКЭ

Метод Галеркина совместно с методом конечных элементов находит широкое применение при решении уравнений краевых за­ дач [3-8]. Рассмотрим применение метода Галеркина к решению дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядка. В результате применения данного метода получается приближенное решение дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение за­

пишем в виде
1	ф - / = 0,	(3.19)
где ф - искомая функция; L	- дифференциальный оператор; / -
заданная функция.

Приближенным решением уравнения (3.19) является следую­ щее выражение:

» = 1 в д .

где £/, - узловые значения приближенной функции и; Nt - функ­ ция формы (базисная функция).

Поскольку и является приближенной функцией,

L u - f =e,

где е —ошибка (невязка) решения.

Чтобы е было минимальным, необходимо обеспечить равенст­ во нулю следующего интеграла по объему V:

jWjEdV = О,

V

где Wt - весовая функция. Тогда

jw i(L u - f)d V = 0.

(3.20)

V

В методе Галеркина весовые функции должны быть равны ба­ зисным функциям (функциям формы):

W,=Nt .

Тогда выражение (3.20) запишется в виде

\^ а и - /) с 1 У = 0.

(3.21)

V

Условием сходимости МКЭ является представление функции формы конечного элемента полиномом как минимум р -й степени, где р - наивысший порядок производной, входящей в форму­ лу (3.21). Поскольку обычно используют линейную интерполяцию на конечном элементе, в формуле (3.21) допускаются лишь первые

производные. Это ограничение можно преодолеть сокращением по­ рядка L u , используя интегрирование по частям.

Уравнение (3.21) обычно представляет собой систему алгеб­ раических уравнений относительно узловых значений искомой функции U. Матричная запись системы имеет вид

где [£] - матрица	коэффициентов	системы	уравнений МКЭ,
[£] = ^[Æ](e); {F} -	вектор-столбец	свободных		членов системы
е
уравнений МКЭ, {F} = ]T {/}(e) ;		и {/}(е)	-	соответственно
	е

матрица коэффициентов и вектор-столбец свободных членов конеч­ ного элемента.

Завершающим этапом формирования системы уравнений МКЭ (разрешающей системы) является учет граничных условий. Если за­ дано граничное условие первого рода Ut = С , то в системе произво­ дятся следующие изменения:

II *

• чи, >= <F; = СМ >

1

где М - очень большое число.

Граничные условия второго-четвертого рода учитываются

вформуле (3.21).

3.10.Решение стационарной одномерной задачи теплопроводности МКЭ

Ряд задач физики и техники, например задачи теплопроводно­ сти, фильтрации в пористой среде, распределения электрического потенциала, невихревого течения идеальных жидкостей и других, относят к задачам теории поля.