книги / Системы управления летательными аппаратами и их силовыми установками
..pdfНа рис. 5.9 i4i(v), (pi(v), Ai(v), cp2(v) соответственно амплитудные и фазовые частотные характеристики нескорректированной и скорректиро ванной систем.
Анализ данных характеристик подтверждает полученный выше ре зультат: введение форсирующего звена обеспечивает устойчивость и каче ство переходного процесса в системе.
2. Условия стабилизации упругих колебаний корпуса при f\x) > 0;
1 < vy < 00(четный тон).
Будем считать, что частота квантования в системе выбрана так, что псевдочастота второго тона располагается в высокочастотном диапазоне.
Во-первых, необходимо отметить, что при использовании для коррек ции системы форсирующего звена, создающего опережение по фазе, усло вия устойчивости системы (5.30) могут быть не выполнены. Это обуслов
лено тем, что при расположении псевдочастоты упругих колебаний в вы-
2
сокочастотном диапазоне Ту « 1. Отсюда можно сделать вывод о том, что
для обеспечения устойчивости в систему необходимо ввести звено, соз дающее запаздывание по фазе.
Используя зависимость для передаточной функции (5.24), построим ЛЧХ нескорректированной системы, учитывая, что Ку> 0 .
ЛЧХ нескорректированной системы приведены на рис. 5.10 (кривые
^l(v). tpi(v)).
Анализ данных ЛЧХ показывает, что система неустойчива. Для обес печения ее устойчивости на частоте упругих колебаний необходимо соз дать запаздывание по фазе.
Определим величину данного запаздывания, располагая псевдочас тоту упругих колебаний в граничных точках высокочастотного диапазона.
Если Vy = 1, ТО фк = - ^ 7С+ Дфj. Если vy = oo, то фк = |
+ Дфj. |
Если же 1 < vy <оо, то — 7Г-I-Аф^ < фк < -^ ~ + Дф| |
(5.32) |
Для создания таких фазовых сдвигов дискретное корректирующее устройство должно иметь порядок не ниже второго. Запишем передаточ ную функцию ДКУ в виде
= - |
К£--------- |
. |
(5.33) |
Tfw |
+2TKfyv+ l |
|
|
Тогда передаточную функцию скорректированной системы можно |
|||
представить следующей зависимостью: |
|
|
|
w2M = K KKy— — |
------- ---------------------- |
. |
(5.34) |
(r yV + l ) ( r KV + 2 7 V ; w + l ) |
|
ЛЧХ скорректированной системы для случая Кк < 1 представлены на рис. 5.10 (кривые А2(v), cp2(v)). Анализ данных ЛЧХ показывает, что сис тема устойчива.
В заключение проведем сравнительный анализ рассмотренных двух случаев.
Исходя из простоты реализации дискретного корректирующего уст ройства, частоту квантования следует выбирать так, чтобы псевдочастота упругих колебаний располагалась в низкочастотном диапазоне, тогда ус тойчивость системы обеспечивается корректирующим устройством перво го порядка.
При учете переменности параметров ЛА для выполнения требования по расположению псевдочастоты упругих колебаний четного тона может возникнуть необходимость в изменении (переключении) частоты кванто вания, что должно быть запрограммировано в бортовой цифровой вычис лительной машине.
Второй случай также встречается на практике, особенно тогда, когда необходимые отрицательные фазовые сдвиги для стабилизации второго тона упругих колебаний можно создать с помощью рулевого привода и тем самым упростить корректирующее устройство.
3. Условия стабилизации упругих колебаний корпуса при f\x) < 0 и расположении псевдочастоты тона в низкочастотном диапазоне: 0 < vy < 1 (нечетный тон). Итак, Ку < 0 и 0 < vy < 1.
Получим характеристическое уравнение системы, используя зависи мость (5.28). Характеристическое уравнение системы при учете знака ко эффициента Куимеет вид
(Гу +К кКуТк)м>2+КкКу(1-Тк)п + \ -К кКу = 0. |
(5.35) |
Условия устойчивости системы в соответствии с критерием Гурвица |
|
можно записать следующим образом: |
|
Гк <1, |
(5.36) |
КкКу <\. |
(5.37) |
Можно отметить, что условие (5.37) реализуемо. Однако |
усло |
вие (5.36) выполнить невозможно, так как оно противоречит условию ус тойчивости углового движения жесткого летательного аппарата (Гк > 1).
4. Условия стабилизации упругих колебаний корпуса при/ '(*) < 0 и расположении псевдочастоты тона в высокочастотном диапазоне: 1 < vy < < 00(нечетный тон).
Итак, Ку < 0 и 1< v y < оо.
Воспользуемся методом логарифмических частотных характеристик. ЛЧХ нескорректированной и скорректированной систем приведены на рис. 5.11 (^ i(v),cp !(v),^ 2(v)).
Рис. 5.11
Определим естественный запас по фазе для данного случая.
Если vy = 1, то Дер = ~ .
Если vy = оо, то Дф = ^ .
Если 1 < Vy < оо, то ^ < Дф й ^ . |
(5.38) |
Исходя из вышеизложенного можно сделать следующий вывод: при стабилизации нечетных тонов упругих колебаний корпуса Л А частоту квантования необходимо выбирать так, чтобы псевдочастота тона распола галась бы в высокочастотном диапазоне, где имеются требуемые для обес печения устойчивости отрицательные фазовые сдвиги, создавемые фикса тором.
5.7. Вывод зависимостей для выбора частоты квантования, исходя из стабилизации упругих колебаний корпуса летательного аппарата
Задача состоит в том, чтобы, исходя из известной частоты упругих ко
лебаний /у (одного из тонов), получить зависимости для определения час-
тоты квантования fo, обеспечивающей расположение псевдочастоты упру гих колебаний vy, в диапазоне 0< vy й 1либо 1< vy < оо.
Прежде всего определим зависимости для вычисления_/о» если частота vy находится в граничных точках низкочастотного и высокочастотного диапазонов, т.е. vy = 0; 1; оо.
vy = t g * ^ . |
(5.39) |
/v
При vv = 0 n-f- = nk\где£ = 0 ,1,2,...
/0
Следовательно,
4 - = * . |
(5.40) |
/ о
Если принять к = 0, то равенство (5.40) будет выполняться при/о = оо
либо при f y= 0. Оба эти случая нас не интересуют, так какfy= 0 означает
отсутствие упругих колебаний, afo = оо соответствует непрерывной систе-
/ у
ме. Тогда выражение (5.40) можно записать в виде -r- = fc, где к = 1; 2;
|
/ о |
3, ..., или, что то же самое, |
|
^ = * + 1, |
(5.41) |
/ о |
|
где к= 0; 1; 2; 3,...
Теперь при к = 0 частота квантования равна частоте упругих колеба ний, что соответствует реальному случаю.
Итак, для того чтобы vy = 0, частоту квантования следует определять
из выражения |
|
Л = 1 7 Г |
( ! -42) |
Аналогично получим выражения для выбора частоты квантования при
vy = 1и vy = оо.
Если vy = 1,то 7с -^ = — + —л, где и = 0; 1; 2; 3,...
/0 4 2
Отсюда
У у
1 + 2и
fy
Если vy = 0, то к п |
т , где т = 0; 1; 2; 3, ... |
|
|
/ 0 |
4 |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
/о = |
2/у |
(5.44) |
|
1+ 2т |
||
|
|
На следующем этапе необходимо определить пределы изменения час тоты квантования при расположении псевдочастоты упругих колебаний в низкочастотном и высокочастотном диапазонах. Для решения данной за дачи нужно рассмотреть следующие четыре случая.
Как видно из графика изменения псевдочастоты упругих колебаний (рис. 5.12), псевдочастота упругих колебаний может располагаться на вос ходящей и нисходящей ветвях низкочастотного и высокочастотного диапазонов.
Рис. 5.12
Таким образом, необходимо определить зависимость для выбора час тоты квантования для следующих четырех случаев:
- для восходящей ветви низкочастотного диапазона (0 < v y ^ 1);
- для нисходящей ветви низкочастотного диапазона (1 > v y > 0);
- для восходящей ветви высокочастотного диапазона (1 < v y < оо);
- для нисходящей ветви высокочастотного диапазона (оо > v y > 1).
Следует учесть, что при увеличении отношения — (см. рис. 5.12) и /о
при учете, чтоf y= const, частота квантования будет уменьшаться. Рассмотрим каждый случай отдельно:
1. 0 < Vy < 1. Для данного случая можно записать, что
J jL >
1+ Jfc У0 1+ 2jfc
Задача состоит в нахождении зависимости п = /{к), удовлетворяющей неравенству (5.45). Для ее решения используем метод математической ин дукции.
При к ~ О наименьшее значение л, удовлетворяющее неравенству (5.45), будет л = 2. При к = 1л = 4; при к = 2 л = 6 и т.д. Анализируя полу
ченные выше соответствующие значения |
|
можно получить общую за |
|||
висимость для определения л : |
|
|
|
|
|
|
л = 2(к + |
1). |
|
(5.46) |
|
Подставив (5.46) в (5.45), в итоге получим |
|
||||
|
1+к |
|
Уу |
(5.47) |
|
|
1+4(А+1)' |
|
|||
2. |
1> Vy > 0. Для данного случая можно записать, что |
|
|||
|
УУ>/0 > А . |
(5.48) |
|||
|
1+ 2л |
■/0 |
* + i |
|
|
При £ = 0 наибольшее значение л, |
удовлетворяющее |
неравенст |
|||
ву (5.48), равно единице. При к= 1л = 3; при & = 2 л = 5 и т.д. |
|
||||
Общая зависимость для определения л будет иметь вид |
|
||||
|
л = 2 &+ 1. |
|
(5.49) |
||
Подставив (5.49) в (5.48), окончательно получим |
|
||||
|
Уу |
> /0> |
^ . |
(5.50) |
|
|
1+ 2(2* + !) |
У0 |
* +1 |
|
|
3. |
1 < Vy < оо. В этом случае соотношение для выбора частоты кванто |
||||
вания будет иметь вид |
|
|
|
|
|
|
Уу |
|
|
Уу |
(5.51) |
|
1+ 2л |
|
1+ 2/л ’ |
|
Пользуясь приведенной выше методикой, найдем соответствие между т и л, т.е. л =J[m). Если положить, что /л = 0, то наибольшее значение л, удовлетворяющему данному неравенству, равно нулю.
При m = 1 л = 2; при т -2 л = 4 и т.д.
Анализируя данные частные случаи, получим общую зависимость для определения л:
л = 2т. |
(5.52) |
При учете выражения (5.52) неравенство (5.51) преобразуется к виду
1+ 4т уи 1+ 2т
|
1+ 2т |
У0 |
1+ 2и |
(5.54) |
||
|
|
|||||
Определим зависимость п = Д т ), |
удовлетворяющую данному нера |
|||||
венству. |
Если т = 0, то наименьшее |
значение п будет равно единице. |
||||
При т= |
1 п = 3; при т = 2 п = 5 и т.д. |
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
и = 2m + 1. |
|
(5.55) |
|||
Тогда неравенство (5.54) преобразуется к виду |
||||||
|
_2А _ > |
/ о > |
|
|
|
(5.56) |
|
l + 2w У0 1+ 2(2т + 1) |
|||||
Учитывая, что в зависимостях (5.51), (5.53), (5.56) т = к, окончательно |
||||||
будем иметь: |
|
|
|
|
|
|
|
/0> |
4/У |
; |
|||
|
1+ А: |
У0 |
4(к1+ |
+ 1 |
) |
|
|
4/У |
^ у- |
> |
/ у |
|
|
|
1+ 2( 2А: + 1) _ Л ) - * + 1’ |
|||||
|
1+ 4А: |
/ о > - ^ У - ; |
(5.57) |
|||
|
У0 |
2Л + Г |
|
|||
|
^ г / |
о а |
, |
4/у |
• |
|
|
1+ 2/: ~ '/и ~ |
1+ |
2(/: + |
1) ’ |
*= 0;1;2;3>...
5.8.Методика выбора частоты квантования при стабилизации нескольких тонов упругих колебаний корпуса
Рассмотрим методику выбора частоты (периода) квантования при уче те двух тонов упругих колебаний корпуса, причем проанализируем наибо лее неблагоприятный случай, когда требования к фазовой характеристике корректирующего устройства на частотах первого и второго тонов (vyi, vy2) противоречивы.
С целью создания наиболее благоприятных условий для коррекции системы необходимо, чтобы псевдочастоты (vyi и vy2) отличались друг от
друга примерно на порядок, т.е. следует взаимно удалить их примерно на декаду и располагать в разных диапазонах.
Так, при переднем расположении гироприборов, как было установ лено ранее, псевдочастоту первого тона нужно располагать в высокочас тотном диапазоне, а псевдочастоту второго тона - в низкочастотном.
Для того чтобы псевдочастоты vyi, vy2 располагались в требуемых диапазонах, необходимо надлежащим образом выбрать частоту квантова ния. Эту задачу можно решить с помощью таблицы или номограммы, рас считанных и построенных в соответствии с выражениями (5.57).
Таблица для выбора частот квантования. Разделив выражение
(5.57) на/у, получим:
_ >fSL>----- ------ ;
k+ \~ f y ” |
l + 4(fc + l) |
|
_____- |
— >l®-> _ - L ; |
|
l + 2(2* + l ) " / y * + Г |
||
|
|
(5.58) |
1+ 4 * ” |
/ |
1+ 2k' |
—-— £ f*L > ------------- . |
||
l + 2t |
/ |
” 1+ 2(24+ 1) |
Задаваясь значением к = 0; 1; 2; 3,..., получим значения отношения
, соответствующие значениям псевдочастоты упругих колебаний vy =
fy
= 0,1,оо. Учтем, что при — |
= оо /у = 0. |
|
|
|
|
||
|
|
fy |
|
|
|
|
|
Реультаты расчетов сведем в таблицу [3]. |
|
|
|
||||
|
|
Таблица для выбора частоты квантования |
|
|
|||
v y |
/ о |
v x |
/ о |
v y |
/о |
v y |
/о |
|
/ у |
|
/ у |
|
/ у |
|
/ у |
0 |
ОО |
ОО |
0,66 |
0 |
0,33 |
00 |
0,22 |
1 |
4 |
1 |
0,57 |
1 |
0,3 |
1 |
0,21 |
оо |
2 |
0 |
0,5 |
оо |
0,28 |
0 |
0,2 |
1 |
1,33 |
1 |
0,44 |
1 |
0,267 |
1 |
0,19 |
0 |
1 |
00 |
0,4 |
0 |
0,25 |
оо |
0,18 |
1 |
0,8 |
1 |
0,36 |
1 |
0,235 |
1 |
0,174 |
Рассмотрим методику пользования таблицей.
Исходные данные: известны действительные частоты первого и вто
рого тонов упругих колебаний 7уьУу2» а также знаки производных от фор мы упругой линии
Необходимо определить величину частоты квантования fo, обеспечи вающей различие псевдочастот vyi, vy2, примерно на порядок, и распо
ложение их в требуемых диапазонах.
Порядок использования таблицы следующий. В соответствии со зна
ками коэффициентов f\(x) и |
определяем диапазоны расположения |
|
псевдочастот vyi, vy2(0 - |
1 или 1 - |
оо). Затем по таблице находим пределы |
изменения отношения |
для выбранного диапазона расположения псев- |
fy
дочастоты соответствующего тона. Для первого тона а > — > Ь.
fyl
Тогда диапазон измерения частоты квантования для первого тона afу\< /ю < bfy\, или, что то же самое, Д/ю = (a -b )fy\.
Для второго тона с > ^ 2 . > d. fyl
Диапазон измерения частоты квантования для второго тона
4/20 =(с” ^)/у2-
Для того чтобы частота квантования удовлетворяла требованиям ста билизации как первого, так и второго тонов, диапазоны Д/ю и Д/20 долж ны иметь общие области, т.е. должны перекрываться. Область перекрытия и будет диапазоном изменения частоты квантования исходя из стабилиза ции двух тонов (Д/о). Внутри данного диапазона выбираем значение час
тоты квантования /i0. |
|
|
|
Для проверки правильности выбора |
определяем псевдочастоты то- |
||
/у1 |
v y2 |
/у2 |
оцениваем их соотношение и |
нов v yi= tg rc —=— и |
= t g 7r-^— и |
||
/ о |
|
/ о |
|
расположение в частотной области.
Для иллюстрации пользования таблицей рассмотрим следующий при
мер.
Пример, /у, = 5; /у2= 12; /,'(*) < 0;/2'(х) < 0.