книги / Теория упругости. Ч. 1 Основные уравнения механики сплошных сред. Вариационные методы
.pdfИтаКг 1,0ЭЗ°Ля у > з квадрат и интегрируяу’^у 'л о |
облас |
|||
ти изменения *£ |
» определяем Q0 |
нэ уравнений |
|
|
tp- / |
/ ' г( ^ ) а ^ = / У или |
/ y |
'f e j & '& j d*= C > . |
(q.54) |
|
|
а |
Л ? * |
|
В той не задаче о равновесии консольной балки под нагрузкой ин тенсивностью £ полагаем
г ~ * ( < - с к § £ ) . . |
' 6 , 5 5 ) |
Подставляем эту функцию в дифференциальное уравнение упругой линии балки, шеей
№ ~ Ы , а ( £ $ * & - § ( * * ) %
д ^ )
(6.57)
д а
Тогда согласно выражению (6,54)
{ [ * * & < “ а
Откуда
(6.5К)
Таким образом, опять подучено то же самое решение, которое для данной задачи дает метод Ритца. Изложенный метод удобен, прост и вместе с тем обеспечивает высокую' точность решения. Правда, при решении нелинейных дифференциальных уравнений получаются сложные выкладки.
§ 6.6. Метод Тсешюца
Идея метода заключается либо в требовании, чтобы взятый по ««'ей поверхности упругого тела интеграл от квадратичной ошибки при
- 112 |
- |
|
удовлетворениж-граничных условий ш е л |
наименьшее значение» |
либо |
чтобы взятый по всему' объему упругого |
тела интеграл от квадратич |
|
ной ошибки при удовлетворении уравнений упругого равновесия |
года |
|
имел наименьшее значение* Рассмотрим суть метода в случае» |
когда |
|
на поверхности тела заданы напрякения. |
|
|
Выберем для компонентов упругого |
смещения выражения |
|
|
|
ui mZ |
a m ( ui)rn> |
|
|
(6*59) |
||
|
|
/77 |
|
|
|
|
|
|
где |
ат - произвольные параметры; |
u i ( * i ) - |
суть частные |
|||||
решения уравнения Ляне. Внося |
tt£ |
в.геометрические уравнения, |
||||||
подучим шесть компонентов £су |
; затем внося их в фнзпчеекпе |
|||||||
уравнения, подучим весть компонентов &еу |
, которые |
будут ляиоБ- |
||||||
ними функциям! от |
<2т . Теперь подставляя значения |
|
в усло |
|||||
вия Коми и сравнивая подученные значения |
с шопщпии |
место |
||||||
в действительности, |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 • Z |
a .-n f i i 7 >- f i £y |
|
|
(6-60) |
||
Если бы репеаме (6 *59) было точным решением задачи |
теории упру |
|||||||
гости, удовлетворящимграничным условиям, |
то мы |
имела |
бы |
|||||
4 ' |
•» 0, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.61) |
|
Но поскольку граничные условия не удовлетворены, |
то |
^ |
отличны |
от нуля ■ представляют онбк и вследствие неудовлетворения этих граничных уоловий. Величина квадратичной ошибки
Очевпдно, что величина среднеквадратичной ошибки при неточ ном удовлетворены граничных условий будет пропорциональна интег ралу
/ / - |
( |
6 |
. |
6 |
3 |
) |
S
где $0 - функция второй степени относительно произвольных па раметров* Условие минимума 60 дает
|
- И З - |
|
^ |
= 0 . |
(6.64) |
Уравнения (б.64) линейны относительно Qm |
и число иг равно / ту. |
|
Эти постоянные и будут отсюда |
определены. |
Внося Qm в (6.59), |
получим интегралы упругого равновесия Ляме с приближенным удов летворением граничных условий. Это приближение тем точнее, чем . больше членов взято в формулах (6.59) и чем удачнее выбор част ных интегралов ( и с)т .
Если на поверхности тела заданы смещения, то удовлетворя ют граничный условиям в смещениях. Все остальное остается-подоб ным приведенному.
ГЛАВА 7. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
Приведенные выше основные уравнения теории упругости заппсашл в декартовых прямоугольных прямолинейных координатах» Такая фор ма записи уравнений является широко распространенной, вывод п
начертание этих уравнений просты и в случае, когда ксслэдуомог. деформируемое тело ограничено наружными гранями, пароллелвошш той ели иной координатной плоскости, запись уравнений то ор ш
упругости именно в декартовых координатах оказывается |
саыоЗ |
удобной. |
|
Однако при ремении задач на равновесно иди двыкенсо упруго го тела, ограниченного криволинейными поверхностями, прибегает к криволинейный координатам, которые подбирают так, чтобы возмож но проще были выражены тшннчиые условии задачу» Наиболее рас
пространенными системами криволинейных координат являются поляр ные координаты на плоскости, цилиндрические иди сферические в пространстве. При этом следует выбирать криволинейные координаты таким образом, чтобы границы рассматриваемого тела входили в чис ло координатных поверхностей. Тогда краевые условия формулируют ся наиболее просто, что обычно облегчает построение решения.
В дальнейшей предполагается, что три рассматриваемые семей ства поверхностей повсюду пересекаются между собой под прямым углом, поскольку веортогональные криволинейные координаты приво дят, как правило, в весьма громоздким уравнениям, сдовным для ременмя. Правда, известны примеры, когда использование неортогональных криволинейных координат способствовало решению конкрет ных задач, однако эти примеры столь немногочисленны, что нет смысла рассказывать о них.
Три числа, задающие положение точки з пространстве и оооа- ■ачаамые д 2, ф* , называются ее криволинейными координата ми. Связь декартовых координат с криволинейными выражается тремя соотношениями:
- 115 |
- |
*s m*s ( g ' . q ’. g * ) - |
о м ) |
Функции (7,1) предполагаются в области их задания непрерывными, однозначными и имеющими непрерывные частные производные до треть его порядка включительно.
Преобразование (7,1) определяет три семейства поверхностей
д п = ; координатные линии предстазляют кривые, по которым пересекаются координатные поверхности. При х ,= д ’ хг шд г/ x3 ~ g s
говорят о прямоугольной декартовой омотемо координат. Для цилин
дрических координат g r=r> |
|
- это радиус, азимуталь |
|
ный угод, высота. Формула (7,1) имеют вид |
|
||
xy=/* c o s ^ , |
x2 = r s in & , |
Xj- £ . |
(7.2) |
Область их задания представляется неравенствами |
|
||
0< г* < ск> } О^- |
23Г, - |
<=>Q <=?■-< « о . |
(7,3) |
Координатными поверхностями являются круговые цилиндры/” - ^ , |
|||
осью которых служит ось Охл |
; полуплоскости ^ - ^ , |
проходящие |
|
через эту ось; плоскости |
% им перпендикулярные. Коорди |
натными линиями в пересечении соответствующих пар поверхностей
будут прямые f«?J , параллельные оси Ох$ |
; радиально направлен |
||||||
ные полупрямые [ г ] |
; окружности [</] (рис, 7.1). |
|
|
||||
Для сферических координат д 1- ^ , g z=&, |
д у~ Я |
(радиус; |
|||||
угол, отсчитываемый по меридиану от северного полюса; долгота) |
|||||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
х} = R sL n О созЛ ; |
х2 - A s i n 6 s t n J i ; |
xs = # co s& . |
|
||||
Область их задания определена неравенствами |
|
|
|
||||
0 < R < c * > } |
0 < . в < я , |
О ^ Л ^ 2 л . |
(7.5) |
||||
Координатными поверхностями являются: сферы |
Л*= А 0 |
с -центром в |
|||||
аачале координат 0 ; |
круговые |
конусы |
0 вершиной в этой точ- |
||||
ке, и осью проходящей черев |
ось 0 х 3 ; полуплоскости |
А = Я 0.Коор |
|||||
динатные линии представляют |
параллельные |
круги [ Л ] |
, по |
которым |
|||
пересекаются поверхности |
сфер и козусов, |
радиально расходящиеся |
из центра 0 полупрямые [Я] и меридианы. [#] (рис. 7.2).
|
|
- 1 1 6 - |
Направления |
координатных линий определяют при помощи координат |
|
ного базиса ( ё , , ё 2 , ^ ) . Векторы |
этого баэиса касательны к соот |
|
ветствующий |
координатным линиям |
и направлены в сторону воэраста- |
Рис. 7.1
ння соответствующих координат. Этот бавис называется локальным (местным) базисом (репером). Отметим, что в случае декартовой
- 117 -
системы координат (прямоугольной и косоугольной), базисные век торы совпадают для всех точек пространства. Этим свойством об ладает только декартова системакоординат. Для любой криволиней ной системы координат базисные векторы различны для различных точек пространства (подвижный координатный базис).
Рассмотрим квадрат длины дуги S между двумя бесконечно близ
кими точками q c и q L + д р с в системе координат с базисом
% (% > % /% ) • Получим
д л г=\&ё\2~ д г - 'л г = eL |
|
. |
(7.6) |
|
Введем обозначения |
|
|
|
|
|
[О , |
е с л и |
СФК |
(7.7) |
*я-4 |
I |
если |
L=/с |
|
|
(// |
|
||
Здесь девять величин |
(и соответственно, g L* |
|
составляют тензор второго ранга (так называемый метрический тен
зор). Он является основной характеристикой пространства, арифмотизированного введенной системой координат с базюом ( e / j e2 } ej ).
Используя„обозначения (7.7), имеем
|
|
I |
(7.8) |
где |
- |
ковариантные, а А р 1 ~ контравариантные |
компоненты |
вектора д г . |
|
||
|
В случае ортогональных координат согласно (7.7) отличны от |
||
нуля |
только р „ , р2 2 , р35 • Следовательно,. |
|
|
|
" |
а , - д „ а ' ; а2 ^ ^ 2 а г, Q j - f a a 3, I- |
|
|
|
- |
lie - |
|
|
|
|
* |
- 9 |
|
a |
ь ) - |
(7-9) |
|
|
= 9 ' a* |
|
|||
Очевидно, |
что |
|
|
|
|
|
|
9n-~gtt ' |
$22 -J J T |
’ |
* |
( 7 ° 1 0 ^ |
|
С учетов |
сказанного квадрат д д н ы |
дуги |
Д -S |
между двумя беско |
||
нечно близкими точками залпется так: |
|
|
|
|||
|
* * V / ' (*?)*+ 9*2 (л9*)г+9зз |
<7-п > |
||||
Перелпеи |
ато вмражепе: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.12) |
где Hf = f/f a ; И2 * l/jfeify =]/$зз |
- коэффициенты Ляме, |
являющие |
ся основными характеристиками ортогональной системы координат» Как с помощью компонент метрического тензора в обобщенной систе ме координат можно определить основные элементы пространства, так и с помощью постоянных Ляне можно определить эти элементы в ортогональной системе. Так;элемент дуги вдоль координатной ли нии у с будет следующим:
d s - ^ d . d q l , ( $ ) . |
(7.13) |
Таким образом^коэффициенты Ламе представляют длину вектора, конец которого перемещается вдоль одной из координатных линий #,•, ■ равны отношениям приращений дуг координатных линий d s ± к соответотвущим приращениям криволинейных координат d а 1 :
d s / |
d s i |
|
|
(7.13 V) |
//.= |
d q |
~ d 9 * |
||
~ d q ' ' 4 - |
|
|||
Если м выражение (7.7) |
переписать в виде |
|
||
|
|
ГО, |
с |
; |
ei ~9*i ~?ск |
I f , |
с . Л |
, |
|
|
'i* ' StK' |
|||
то коэффициенты Л п е равны модули |
векторов |
; |
||
.& /• % |
|
|
|
(7.»') |
|
|
|
|
Л ¥ / w ) W )
|
- 119 - |
£.= c o n s t |
|
Элемент площади в координатной поверхности |
|||
Элемент объема |
( t yJ - |
‘ |
(7.14) |
|
|
|
|
ate* |
o l^ o L cf. |
|
(7.15) |
Квадрат длины элементарной дуги соответственно для декар товой системы прямоугольных координат, для цилиндрической и сферической запишется так:
d s 2= d x 2/ d x * + d x 2 у
'd s 2= d r г+ r 2d</>2 + d z 2;
о1зг =а1.й‘ + Я гс 1 в г+ Я гзСл\9ЫЛ*.
Отсюда видно, что для прямоугольных декартовых зоордмис вое коэффициенты Ляке равны одеяние, дин иншядрическей системы ко ординат имеем
Н, |
- 1 ; |
Н3 * * я ’ >. |
(7.17) |
для сферической |
|
|
|
|
= |
H2 = HB ~R > Hs ^ h j* 'R s in & % |
(7«I8) |
Если непосредственно определить квадрат элемента дуги представ
ляется „затруднительным, |
то в |
дополнение к функциям (7,1) можно |
||||
рассматривать функции |
|
|
|
|
|
|
9 ' = 9 ' f c . x2 ‘ xs)> |
|
|
|
‘? 3 * 9 J( crJ X x ,xj ) - { 'i . i9) |
||
Тогда одновременно с (7*2) и |
|
(7.4) будем |
иметь |
|
||
г .ш f ^ / x f + x f ; |
|
|
|
> * = у 3 =х3 |
; |
|
A ^ - / x f * x f * x J ; |
|
|||||
l/xf+X j |
|
|
(7.20) |
|||
Л = ^ |
а л с ( ? ^ |
■ |
||||
&s 9 = arct9 — |
x ] ~ |
|
||||
|
|
|
|
- 120 -
У с т а н о в и формулы д и ф ф ер ен ц и ро ван и я б а з и с н ы х в е к т о р о в -
д ер и в ац и о н н ы е ф ор м у л ы . |
П р о в е д е н и е о п е р а ц и й в е к т о р н о г о и т е н з о р » |
н о г о а н а л и з а в к р и в о л и н ей н ы х к о о р д и н а т а х у с л о ж н я е т с я н е о б х о д и |
м о с т ь ю " у ч е т а и з м е н я е м о с т и в е к т о р н о г о б а з и с а |
( о б я з а т е л ь н о зш |
|||||
н и е вы раж ени й п р о и зв о д н ы х |
э т и х |
в е к т о р о в п о |
к о о р д и н а т а м |
у* ) « |
||
И скомы е |
д ер и в ац и о н н ы е формулы |
з а п и с ы в а ю т с я |
следую щ им |
о б р а з о м : |
||
|
|
|
-% t $r*a dH t |
■ |
(7-21) |
|
Н а б л а - |
о п е р а т о р 'в в о д и т с я |
с помощью о п р е д е л е н и я г р а д и е н т а с к а |
||||
л я р н о г о п о л я |
|
|
|
|
|
|
Но |
|
|
|
|
|
(7.22) |
|
|
|
|
|
|
С л е д о в а т е л ь н о , н а б л а - о п е р а т о р с л е д у е т о п р е д е л и т ь р а в е н с т в о м
Д я ф ф е р е т Ь ю л ь и ы е о п е р а ц и и в о р т о г о н а л ь н ы х к р и во л и н ей н ы х к о о р д и
н а т а х о с н о в ы в а ю т с я н а о п р е д е л е н и и н а б л а - о п е р а т о р а ( 7 . 2 4 ) |
и |
|||
д е р и в а ц и о н н ы х ф о р м у л а х ( 7 . 2 1 ) . |
|
|
||
П о с л а у с т а н о в л е н и я |
э л е м е н т а длины д у г и , п лощ ади |
и э л е м е н т а |
||
о б ъ е м а |
; в в е д е н и я ф орм ул |
д и ф ф ер ен ц и р о в ан и я б а з и с н ы х |
в е к т о р о в |
и |
о п е р а т о р а V ; м ож н о п е р е й т и к в ы в о д у о с н о в н ы х у р а в н е н и й м е х а |
||||
ники оп л ош н ой с р е д ы . |
|
|
|
|
§ 7 . 5 . |
О сн о в н ы е у р а в н е н и я м а т я н ш ш с п лош ны х с р е д |
|
|
Е с л и о п е р а т о р р |
п р и м ен и т ь к в е к т о р у a |
♦ 1 0 п о л уч и м |