книги / Физические основы получения информации

R2 = x2 + у 2

При у = О эллипс пересекает ось х (линию апсид, т.е. ли­ нию, соединяющую перигей и апогей орбиты), а модуль радиу­ са-вектора имеет значения х.

Из (6.12) для точек пересечения эллипсом оси апсид (то­ чек перигея и апогея) получим уравнение

V2x2 = - С }х2 + С 2Ц .

(6.13)

Уравнение (6.13) представлено графически на рис. 6.11.

Из второго закона Кеплера имеем

V2R2 =V 2R l

на основании чего уравнение (6.13) запишем в виде

-С,х„2 + С 2|а-п| = -С |х; + С 2|х,|

или

- С , ( а - с ) 2 + С 2(<?-с) = -С ,(а + с)2 + С2(а + с).

121

Отсюда получим

C .- S L

(6.14)

12а

Сучетом приведенных преобразований уравнение (6.13) запишем в виде

у ! 4 - - £ ( « -	о»	♦ с 1(,	- о		-	с , а ч	- о - с - * 1
2а							2а
или, с учетом (6.11),
т/2	2	GM	2	- с	2Ч		.
Vn xn = ------(а					) = GM
		а					а
Отсюда и из (6.7) получим скорость ометания площади
эллипса:
		1 г,			Ъ	GM	(6.15)
	,Ж ^ Л			* 2 Г Г

Ограниченная эллиптической орбитой с полуосями а и b площадь

S = n ab .

Период обращения определим как частное от деления площади эллипса 5 на скорость ометания s этой площади радиу­ сом-вектором R

т = ™ ь

После подстановки (6.15) в это выражение получим для определения периода обращения спутника по эллиптической орбите формулу

Т = 2п

I GM

Параметры эллиптической орбиты спутника определим из полученных соотношений.

122

Из (6.14) и (6.11) большая полуось эллипса

С2 GM 2С, ” С, ;

из (6.15) малая полуось эллипса

b = 2s

где s определяется равенством (6.6).

6.5.5. Параболические траектории

Очевидно, что увеличением начальной скорости спутника, он станет все больше и больше удаляться от Земли, эксцентри­ ситет орбиты будет увеличиваться.

Если		кинетическая	энергия	спутника Ек =	mV1
					будет
большее	потенциальной		энергии	поля земного	притяжения
GM	- т	, то спутник преодолеет земное притяжение и вый­
Е = -
R
дет на параболическую траекторию.
При
		mV2	GM	V2 > 2gR .
		> ------т
		2	R

Скорость

V2 = y]2gR = 11,18 км/с

называется второй космической скоростью. Это скорость, кото­ рую нужно сообщить спутнику для того, чтобы его орбита в по­ ле тяготения Земли стала параболической, т.е. чтобы спутник преодолел притяжение Земли и превратился в спутник Солнца.

Заметим, из приведенных соотношений вытекает третий закон Кеплера:

R2	GM
Т2	~ 4п2

123

6.5.6. Гиперболические траектории

Начальная скорость спутника

= 16,7 км/с

называется третьей космической скоростью. Это наименьшая скорость, которую нужно сообщить космическому спутнику, за­ пущенному у поверхности Земли, для того, чтобы он преодолел притяжение Солнца и покинул Солнечную систему по гипербо­ лической траектории.

6.5.7. Геостационарные орбиты

Спутники, обращающиеся по орбитам различной формы и разных наклонений, но с периодом обращения Т = 24 часа, на­ зываются суточными. Наибольший практический интерес пред­ ставляет круговая суточная орбита, лежащая в плоскости эква­ тора. Спутник, обращающийся на подобной орбите, называется геостационарным.

У геостационарных спутников угловая скорость обраще­ ния по орбите в точности равна угловой скорости суточного вращения Земли - 15 градусам в час. Поэтому спутник постоян­ но находится над одной и той же точкой экватора. Земной на­ блюдатель «видит» стационарный спутник всегда в одном и том же месте. Это позволяет пользоваться неподвижными острона­ правленными антеннами.

Радиус геостационарных орбит находится из соотношений для круговых орбит:

GM	GM
J цс ё > ^	со2/? =
и составляет
GM
со2
Подставляя сюда значения

GM = 398600,46 км3/с 2,

124

Рис. 6.12. Параметры орбиты спутника

(о = 0,729 212-10-4рад / с,

имеем

г= 42 164 км.

6.5.8.Элементы орбиты спутника

Орбита пересекает плоскость экватора (рис. 6.12) в двух точках (их называют узлами) - в восходящем узле, в котором спутник переходит из южного полушария в северное, и в нисходящем узле.

Прямая, проходящая через узлы, называется ли­ нией узлов.

Угол между плоско­ стью экватора и плоскостью орбиты называется наклоне­ нием и обозначается бук­ вой /.

Спутник, как правило, запускают на орбиты с на­ клонением, меньшим 90° Такие орбиты называются прямыми.

Точка орбиты, наименее удаленная от центра Земли, на­ зывается перигеем, наиболее удаленная - апогеем.

Линия, соединяющая перигей и апогей орбиты, называет­ ся линией апсид. Линия апсид может быть по-разному направ­ лена в плоскости орбиты.

Вследствие суточного вращения Земли положение плос­ кости орбиты изменяется относительно ее поверхности, при этом линия узлов совершает кажущееся движение в направле­ нии, противоположном земному вращению.

6.5.9. Координатные системы спутника

Положение спутника в навигационных целях определяют пространственными координатами в системе, связанной с Зем­ лей (см. рис. 6.12).

125

Используют две системы координат: геоцентрическую xyz (рис. 6.13, а) и географическую А.фЛ (рис. 6.13,6).

Орбиту рассчитывают по кеплеровым законам с учетом начальных условий в абсолютной (инерциальной) геоцентриче­ ской системе. Затем осуществляют переход из инерциальной системы в геоцентрическую, связанную с Землей. Такой переход в принципе не сложен, так как связан только с суточным враще­ нием Земли.

2 \

\ . НС

НС

а

б

Рис. 6.13. Координатные системы

Связь координат:

х = /?coscp-cosA,; у = /?coscpsinX; z = /?sincp,

где

z	z
cp = arcsin— = arctg
X

126

7. СПУТНИКОВЫ Е СИСТЕМЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КООРДИНАТ

7.1. Спутниковы е радионавигационные системы первого поколения

В конце пятидесятых годов была экспериментально под­ тверждена возможность определения параметров движения ис­ кусственных спутников Земли (ИСЗ) по результатам измерений доплеровского сдвига частоты излучаемого ими сигнала в точке приема с известными координатами. Была установлена также возможность решения и обратной задачи нахождения координат точки приема по измеренному доплеровскому сдвигу частоты сигнала, излучаемого с ИСЗ, параметры движения которого из­ вестны.

Использование ИСЗ в качестве радионавигационной опор­ ной станции, координаты которой хотя и изменяются, но зара­ нее известны для любого момента времени, позволило создать ряд проектов спутниковых радионавигационных систем (СРНС) первого поколения.

Характерной чертой СРНС первого поколения является применение низковысотных (низкоорбитальных) ИСЗ и исполь­ зование для навигационных определений сигнала одного ИСЗ, оказывающегося в зоне радиовидимости наблюдателя.

7.1.1. Дифференциальный доплеровский метод определения координат

Рассмотрим следующую упрощенную модель СРНС (рис. 7.1). Пусть НС вращается с известной постоянной скоро­ стью ^нс по окружности радиусом /?исз в плоскости, проходя­ щей через центр сферы (Земли). Положение НС в каждый мо­ мент времени известно, наблюдатель (потребитель) неподвижен и находится на поверхности Земли в некоторой точке П.

НС излучает гармонические электромагнитные колебания частотой f Q. Наблюдатель имеет возможность сравнивать час­ тоту принимаемого от НС колебания / пр(0 с частотой бортового

127

Рис. 7.1. Модель спутника	Рис. 7.2. Изменение частоты в зависи­
	мости от скорости полета

эталона. Бортовой эталон имеет ту же частоту колебаний, что и излучаемый НС сигнал.

Измерив разность частот

/пР( ' ) - / ; = ^ ( о ,

можно построить зависимость доплеровского сдвига частоты Fn от времени t (рис. 7.2). В момент г, доплеровский сдвиг

равен нулю, что соответствует наикратчайшему расстоянию между ИСЗ и потребителем.

Наблюдатель, зафиксировавший момент изменения знака доплеровской частоты, может утверждать, что находится в плоскости, нормальной к вектору скорости ИСЗ.

Зная координаты ИСЗ в момент времени /, и направление его движения, можно построить поверхность положения в виде плоскости, а также линию положения на поверхности Земли. Для определения на линии положения точки, соответствующей местонахождению наблюдателя, можно использовать зависи­ мость крутизны кривой Fn (t) в момент /, от расстояния между НС и точкой приема П. Таким образом, по изменению допле­ ровской частоты в зависимости от времени, находят координаты потребителя на поверхности Земли.

128

Рассмотрим упрощенный пример определения расстояния от траверзы до потребителя при замене сферы плоскостью. За­ метим, что в конечном итоге полученные соотношения относят­ ся к предельным величинам, результат справедлив и для случая движения спутника.

Скорость сближения (рис. 7.3, а) Ксбл = Vcos а .

Вектор ускорения, направленный от движущегося объекта к наблюдателю,

d

Кб» = - P s in a d .

При приближении объекта С к точке М, где доплеровская частота принимает нулевое значение, угол а стремится к я/2, a ускорение сближения

(7.1) Доплеровская частота излучаемого спутником сигнала

f ' _ г усбл I) ~ /о

Из рис. 7.3, б, по определению производной, имеем

(7.2)

а/

Усбп

t

а б

Рис. 7.3. Изменение параметров движения спутника 129

Приравнивая правые части равенств (7.1) и (7.2), для оп­ ределяемого расстояния получим

tgP

Для ИСЗ следует принять V- скорость движения его про­ екции по траверзе, связанную со скоростью спутника соотноше­ нием

i k . = 2L *op6 *3

Рассмотренный метод определения координат называют дифференциальным доплеровским (траверзны м ).

Траверз - направление, перпендикулярное курсу судна.

7.1.2. И нтегральны й доплеровский метод определения координат

Метод основан на измерении разности расстояний от по­ требителя до одного и того же спутника, находящегося в разные моменты времени в разных точках, принимаемых за опорные. Этот метод называют разностно-дальномерным (гиперболи­ ческим).

Навигационным параметром является поверхность гипер­ болоида вращения, фокусами которого служат опорные точки, соответствующие положению навигационного спутника.

Расстояние между опорными точками называется опорной базой измерительной системы. Если расстояния от опорных то­ чек до потребителя велики по сравнению с размерами базы, то гиперболоид вращения в окрестности точки потребителя прак­ тически совпадает со своей асимптотой - конусом, вершина ко­ торого совпадает с серединой базы.

Второй метод радионавигационных измерений, получив­ ший распространение, основан на интегрировании доплеровской частоты

130