книги / Механика деформирования и разрушения структурно неоднородных тел
..pdfОбобщая результат (5.1.13), физические уравнения для любых сред с микроповреждениями представим в виде
=== ('ijvq (Ipqmn ®pqmn) &тп' |
(5.1.14) |
конкретизирующем уравнения (1.2.4).
Рассмотрим возможные частные случаи уравнений (5.1.14) для изотропных сред. Пусть тензор микроповреждаемости задан через одну скалярную величину: соijmn = co/Ijmn. Тогда имеем
aij = 41 — <*>) e a a 6 ij + 2р. (1 — со)eij9
что справедливо для материалов, у которых накопление микроповрзждений приводит к одинаковому изменению модуля объем
ного сжатия и модуля сдвига и не влияет на коэффициент Пуас сона
Если |
же |
СО|*jmn = |
1/з (ос |
|
р) $ij$mn */2Р (^im^jn “Ь ^in^jm) |
||
изотропный |
тензор, |
определяемый |
через |
две скалярные вели |
|||
чины а |
и (}, то получим физические |
уравнения |
|||||
о и = |
[А, (1 - Р) - |
К (a |
- |
Р)] гааЬи + |
2ц (1 - р) ги , (5.1.15) |
||
из которых следует |
|
|
|
|
|
||
а = |
К (1 |
— а)0, |
a i2 |
= |
2(х(1 — |
p)ei2, |
|
т. е. смысл величин а и В связан с изменением деформационных свойств материалов при гидростатическом давлении и чистом сдвиге соответственно, ь орщем случае при сложном напряженном состоянии эти величины являются случайными функциями инва риантов еь тензора деформаций е, т. е.
a = |
a (Ri, eh), |
P = |
p (i?2, eh), |
h = 1,2, |
3, |
|
где i?i, |
R 2 — совокупности |
случайных параметров |
с |
известными |
из обработки экспериментальных данных статистическими харак теристиками. В свою очередь а и В есть инвариантные меры тен зора микроповреждаемости изотропных сред, каждой из которых соответствует свои механизм сопротивления разрушению. Функ ция а связана с сопротивлением материала разрушению от отрыва под действием нормальных напряжений, а функция Р — от сдвига под действием касательных напряжений. Следовательно, для изо тройных материалов должны быть заданы два независимых кри терия разрушения: Фх (a) = 1 и Ф2 ф ; = л.
5.2.Краевая задача механики деформирования и разрушения структурно неоднородных сред
На основе структурно-феноменологического подхода деформи рование и разрушение элементарного макрообъема v можно ис следовать как единый процесс, описываемый при квазистатическом
81
нагружении краевой задачей |
|
|
|
|
|
|||
аУ ,;(М ) = |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
eij (?> 0 |
|
[*Чj (^» *) + |
изЛ(^» *)]> |
|
|
(5.2.1) |
||
|
iT» 0 == Cijmn ft) [Annpg |
®mnpq (^hi Г» ^)] £pq (^» ^)» |
|
|
||||
M ™ (eh,r ,t p) = |
cm(r), |
y = |
i,k , |
|
|
(5.2.2) |
||
°ij (fy == sij (0 > |
|
|
|
|
|
(5.2.3) |
||
|
m |
|
|
|
структурных модулей |
упруго |
||
где C (f) = 5J C(n)x(n) (r) — тензор |
||||||||
сти |
го 1 |
в |
отсутствие |
микроповреждений; |
а>(еЛ, г, t) = |
|||
среды |
||||||||
771 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2i ®(n4 ehi 2)и(п)(г)— тенз°р микроповреждаемости |
структурно |
|||||||
71=1 |
среды; га — число |
элементов |
структуры с различ |
|||||
неоднородной |
||||||||
ными |
физико-механическими свойствами; |
— инваоиантные |
||||||
меры тензора |
со; Л: — число |
независимых |
скалярных |
величин, |
||||
определяющих |
тензор CD; с<?) — критические значения мер |
|||||||
при |
достижении |
которых |
происходит |
разрушение |
элемента |
структуры; tp — время разрушения; stj (t) — заданный тензор макронапряжений.
Уравнения (5.2.1) представляют собой замкнутую систему уравнений для полей структурных перемещений, деформаций и напряжений. Физические уравнения этой системы содержат тен зор микроповреждаемости, который должен быть предварительно найден для всех элементов структуры. Выражение (5.2.2) есть стохастическое условие разрушения элементов структуры, сог
ласно которому при достижении хотя бы одной из мер M«Y) в ло кальной окрестности некоторой точки с радиусом-вектором г в момент времени t = tp своего критического значения с^) элемент структуры, включающий в себя эту точку, перестает нести на грузку, хотя в общем случае может передавать ее другим элемен там структуры. Предполагается, что разрушение элемента струк туры приводит к перераспределению полей деформирования и поля микроповреждении. Формула (5.2.3) указывает, что гранич ные условия краевой задачи имеют вид
Ti ( r ,t ) = s ij(t)n} (r),
где Tt — вектор поверхностных сил; п7- — вектор единичной нор мали к поверхности макрообъема v. При этом следует иметь в
виду,* что <<тг; (г, *)> = в*) (7).
Главная особенность краевой задачи (5.2.1) — (5.2.3) заклю чается в том, что поля деформирования и параметры разрушения связаны между собой одной величиной — тензором микроповреж дении со. «зта краевая задача является стохастической, так как
82
содержит случайные функции и поля. Вероятностный характер величин обусловлен не только разупорядоченностыо взаимного расположения элементов структуры , но и недетерминированно стью независимых постоянных тензоров ©йо.
В качестве инвариантной детерминированной меры структур ного разрушения введем скалярную величину
к |
Р [М£> < с< 4 |
(5.2.4) |
|
Рп *) = 1 £ |
|||
Y=1 |
|
|
|
называемую вероятностью |
структурного разрушения |
или микро |
|
разрушения. Здесь Р |
\а < |
Ъ] есть вероятность того, что величина |
|
а меньше Ъ. |
|
|
|
Процедура решения задачи (5.2.1)—(5.2.3) строится следую -s щим образом. В первом приближении тензор со принимается рав ным нулю и отыскивается решение стохастической краевой задачи теории упругости (гл. 2). Затем по найденным полям деформиро вания строится первое приближение поля микроповреждаемости
<*> (eh, f, t) и вычисляются соответствующ ие ему меры |
(eh, /). |
Во втором приближении краевая задача решается |
с уточнен |
ными, согласно методу переменных модулей упругости [38], физическими уравнениями. Итерационная процедура по со про должается до тех пор, пока во всех точках среды не будет выпол няться условие
где 6 — положительная малая детерминированная наперед за данная величина.
Теперь по формуле (5.2.4) находим вероятность микроразру шения р11. Если получили, что р11 (г, t) — 0, то решение задачи закончено и действующие макронапряжения (5.2.3) не приводят к разрушению на структурном, а значит, и макроскопическом уровнях.
Если р 11(f, t) Ф 0, то необходимо организовать процесс по следовательных приближений с целью учета эффекта перераспрег деления полей деформирования между элементами структуры . О сходимости последовательных приближений можно говорить, если на каком-то шаге справедливо
I р”+1)— р” ) I < Т- |
(5.2.5) |
При этом предполагается, что зависимость со = со (eh, f, t) обес печивает устойчивую сходимость вычислительной схемы краевой задачи (5.2.1), (5.2.3). Выполнение условия (5.2.5) свидетельству ет о том, что макронапряжения приводят к разрушению эле ментов структуры макрообъема v, но недостаточны для разруше ния макрообъема в целом.
Физическая модель, заложенная в основу стохастической крае вой задачи, позволяет выделить следующие стадии в процессе деформирования и разрушения структурно неоднородных средк
83
1.Макроскопические напряжения таковы, что обусловленные ими структурные напряжения не превышают пределов упругости элементов структуры. Макрообъем v деформируется упруго, ни каких изменений структурных свойств не происходит.
2.Макроскопические напряжения таковы, что поля деформи рования превышают пределы упругости одного или нескольких элементов структуры. В этих элементах структуры начинается развитие и накопление микроповреждений, их деформационные свойства изменяются, что приводит к постепенному (гл. 3) изме нению макросвойств среды.
3.Накопление микроповреждений достигает критической сту пени, и начинается процесс разрушения элементов структуры,
составляющих макрообъем V. В результате разрушения первого элемента структуры произойдет перераспределение полей деформи рования и поля микроповреждений между остальными элемента ми структуры, после чего может разрушиться еще один или сразу несколько элементов, и так до тех пор, пока процесс структурного разрушения не стабилизируется. О действующих на этой стадии макронапряжениях говорят, что они приводят к необратимым структурным изменениям среды, но недостаточны для ее макро скопического разрушения.
4. При некоторых критических напряжениях s = sKp процесс структурного разрушения не стабилизируется и происходит ка тастрофическое разрушение элементов структуры в макрообъеме v, т. е. макроразрушение.
Деформирование и разрушение среды можно описывать и на уровне макроскопических переменных деформирования. После ре шения краевой задачи (5.2.1)—(5.2.3) путем последовательного ос реднения ее уравнений можно найти тензор макроскопической по вреждаемости о*, который содержится в физических уравнениях
макрооднородной среды: |
|
(О == Ctjmn [Jmnpq ®mnpq (ehi ^)] &pq(£)• |
(5,2.6) |
Этот тензор является случайным в силу случайности тензоров |
|
и содержит I независимых констант, причем I > к. |
В качестве |
инвариантной детерминированной меры тензора макроповрежда емости можно рассматривать вероятность макроскопического раз рушения
Р1 = 1 - >] |
$ < с*(V)], |
(5.2.7) |
V =L |
|
|
где Мш* — меры |
тензора <о*; |
с*<?) — критические значения |
этих мер, определяемые расчетным или экспериментальным путем,
т - С Г
Важнейшим результатом, вытекающим из решения стохасти ческой краевой задачи механики деформирования и разрушения, является установление функциональной связи между вероят ностями структурного и макроскопического разрушения.
8 4
5.3.Прочностные свойства порошковых композитов
Стохастическая краевая задача (5.2.1)—(5.2.3) является фи зически и статистически нелинейной. Поэтому представляет инте рес даже ее приближенное решение для каких-либо простейших моделей структурно неоднородных сред с целью проверки досто верности получаемых результатов. В этом смысле удобными для исследования являются некоторые модели механики порошковых композитов.
Современная технология изготовления изделий методами по рошковой металлургии такова, что микроструктура конечного продукта не является однородной. В качестве параметра неодно родности выделим изменение содержания легирующих элементов в микрообъемах dv.
Пусть композиционный материал есть макроскопически однород ный и изотропный. Элементарный макрообъем v такого материала представляет собой совокупность микрообъемов dvy каждый из которых характеризуется своим содержанием х легирующего
элемента. Тогда х (г) |
— случайная однородная функция, матема |
тическое ожидание |
(r)> = const которой совпадает со средним |
содержанием легирующего элемента в макрообъеме v. Предполо жим, что известна одноточечная плотность вероятностей / (#), т. е.
оо |
|
<я> = ^ |xf (х) dx. |
(5.3.1) |
о |
|
Поскольку микрообъемы однородны и изотропны, преимуществен ного направления в их расположении нет, то отличаются они друг от друга только содержанием легирующего элемента. Неоднород ность распределения легирующего элемента в макрообъеме при одном и том же среднем содержании характеризуется видом плот ности вероятностей и коэффициентом вариации кх:
оо
кх = у2£/<ж>, Dx = l x2f(x)dx. |
(5.3.2) |
- ОО |
|
Естественным следствием химической неоднородности является неоднородность физико-механических (деформационных и проч ностных) свойств. Для того чтобы учитывать микронеоднородность порошковых композитов и прогнозировать их физико-механиче ские свойства, необходимо перейти к модели структурной механи ки деформируемого тела. Согласно структурно-феноменологиче скому подходу свойства микрообъемов при том или ином содержании легирующего элемента будем принимать равными соответствую щим свойствам однородных литых образцов с тем же содержанием легирующего элемента. Таким образом, функциональные (детер минированные) зависимости физико-механических свойств от со держания легирующего элемента для микрообъемов считаются совпадающими с аналогичными зависимостями для литых образ-
85
Рис. 5.1. Зависимость предела прочности марганцевых сталей (1 — на основе ст. 30г 2 — на основе ст. 40) от содержания леги рующего элемента; х — содержание мар ганца
цов. В первую очередь это справед ливо в случаях, когда порошки полу чены методом распыления. На рис. 5.1 представлены зависимости предела прочности ов однородных сталей от содержания легирующего элемента (данные взяты из L1U1J). Здесь же при ведены значения коэффициентов ап проксимирующего полинома ав —
— <*в (*):
ав — ахг + Ъх 4- с. |
(5.3.3) |
Многие порошковые композиты с зернистой структурой тако вы, что легирующие элементы существенно изменяют прочностные свойства и практически не влияют на деформационные свойства. Тогда может быть принята упрощенная модель микронеоднородной среды (микрообъемы с одинаковыми модулями упругости и различными пределами прочности;, в рамках которой поле струк турных напряжений внутри v является однородным. Тензор микро напряжений Gij во всех точках среды совпадает с заданным
тензором макронапряжений o*j — stj , т. е. наиболее трудоемкий этап решения краевой задачи (5.2.1)—(5.2.3), связанный с определе нием полей деформирования, в данном случае становится тривиаль
ным. При одноосном растяжении о*г = s вероятность микрораз рушения согласно (5.2.4) может быть найдена по формуле
Pu = l - P [ s < a B\, |
(5.3.4) |
а связь между вероятностями микро- и макроразрушения аппрокси
мируется |
выражением |
|
|
(1 — рп) In (1 — р1) = рп In сокр, |
(5.3.5) |
||
где 0 |
сокр |
1 — критическая макроповреждаемость, |
значе |
ние которой вычисляется из одномерного уравнения |
|
ав = £ * (1 — со*р) е*,
о* — макроскопический предел прочности (временное сопротив ление разрыву).
Следовательно, задавая |
уровень надежности N — 1 — р1 и |
|
зная величину о)^п для данного |
класса материалов, можно най |
|
ти такую вероятность рп , |
при |
достижении которой произойдет |
86
.макроразрушение объема v, а критическое напряжение s = 5кр, соответствующее этому событию, и есть предел прочности сгв.
Пусть |
детерминированная функция х — ф (сгв) является об |
|
ратной по отношению к функции сгв = |
сгв (х). Тогда имеем |
|
|
1KS) |
|
рп = |
J f(x)d x |
(5.3.6) |
|
о |
отыскивается из условия |
и макроскопический предел прочности |
InN
(5.3.7)
InIV + In со*р
при известных N и о)Кр, а также / (х). Ллотность распределения f_(x) легирующего элемента в макрообъеме v посредством пара метров <я> и кх аппроксимируется следующими законами:
нормальный
^ ^ |
ехр £ |
(<д) —ж)а |
1 |
|
2 <*>•*» |
J ’ |
|
||
V 2л <я> к |
|
|||
логнормальный |
|
|
|
|
|
1________ i |
|
* V"1 + к1 12 |
|
/(* ) = |
ехр |
<Д> |
J » |
|
|
/2 л In (1 + к2х) х |
|
2 1 п (1 + ф |
|
минимального значения |
|
|
|
/ ( * ) =-Г ехр {^Чг-)ехР { - ехР ( |
’ |
|||||
максимального значения |
|
|
|
|||
, , ч |
1 |
( 2 < х > — а — х \ |
|
[ |
/ 2 <#> — а — х |
|
/(*) = |
— |
ехр ^--------5-------- ) ехр |
[ — ехр(^--------- ъ-------- |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
а = <я> (1 |
0,45 кх), |
6 = |
0,78 <#> А:*, |
|
||
логистический |
|
|
|
|
||
Я») К |
|
|
|
■ |
где а= 0,55<*>* |
|
гамма-распределение |
|
|
|
|
/ (*) = ( - ^ ) С_1 [ехр (-*/& )]/[№ (с)].
где с = 1/А£, Ъ= <я> к2х.
В частном случае при кх = 0 имеем однородное распределение легирующего элемента, т. е. х (г) = (f)) = const. Очевидно, что чем больше коэффициент вариации кх при одном и том же среднем содержании легирующего элемента (другими словами,
87
чем больше степень неоднородности структуры), тем ниже макро скопический предел прочности материала.
На рис. 5.2 приведены расчетные зависимости временного со
противления разрыву а* марганцевых сталей с различным со держанием легирующего элемента. Расчеты проводились по фор муле (5.3.7) при N = 0,95. На этом же рисунке показано влияние
Рис. 5.2.
Расчетные зависимости вре менного сопротивления разры_
ву с* (кривые 1—3 — для ста
ли 30Г2, кривая 4 — для ста ли ЗОГ) от коэффициента ва риации к легирующего эле мента (Мп)
1 — ®кр = 0,85;
2 — ®кр = 0,75; 4?
8,4— о)кр = 0,60
величины критической макроповреждаемости. Видно, что с умень-
шением соКр (более хрупкие материалы) влияние неоднородности структуры на прочность материала существенно возрастает.
Рассмотрим теперь модель композита с несколькими легирую щими элементами. Каждый микрообъем характеризуется своим содержанием легирующих элементов х, у, . . ., z. Случайные од нородные функции х (г), у (г), . . ., z (г) считаются статистически независимыми и распределение легирующих элементов в макро объеме v может быть задано средними значениями <я>, <z/>, . . .
. . ., <z>, коэффициентами вариации кх, ку, . . ., кг и плотностями распределения fx (х), fy (у), . . ., fz (z). Для прогнозирования пре дела прочности сталей с несколькими легирующими элементами воспользуемся выражением
|
<Т* = |
0^*110 •••%, |
(5.3.8) |
где |
— предел прочности материала при однородном |
распре |
|
делении |
легирующих элементов (кх = ку — . . . = кх = |
0); r\Xj |
и..........гь — коэЛЛипиенты снижения прочности за счет неодно родного распределения соответствующего легирующего элемента.
Коэффициент у]х равен отношению о® к пределу прочности при кх Ф 0, ку — . . . = кг = 0. Остальные коэффициенты определя ются аналогично.
Проиллюстрируем предложенную методику, основанную на одномерном решении задачи (5.2.1)—(5.2.3), примером прогнози рования временного сопротивления разрыву хромоникелевых ста лей, полученных методами порошковой металлургии. Типичные гистограммы распределения легирующих элементов для стали 12Х2Н4 и их аппроксимация различными плотностями вероятно-
88
Рис. 5.3. Гистограмма распределения хрома в макрообъеме стали 12Х2Н4 (экспериментальные данные) и ее аппроксимация
1 — нормальное распределение, 2 — логнормальное распределение, 3 — гамма-распре деление
Рис. 5.4. Гистограмма распределения никеля в макрообъеме стали 12Х2Н4 (экспериментальные данные) и ее аппроксимация
1 — распределение минимального значения, 2 —нормальное расппеделение
Т А Б Л И Ц А 5.1 ВРЕМЕННОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ РАЗРЫВУ ПОРОШКОВЫХ КОМПОЗИТОВ
Коэффициент |
* |
|
Коэффициент |
|
* |
|
||||
вариации, % |
св, МПа |
вариации, % |
|
св, МПа |
||||||
хрома |
никеля |
молиб |
экспери- |
расчет |
хрома |
никеля |
молиб |
экспери |
расчет |
|
дена |
мент |
|
дена |
мент |
||||||
|
Сталь 12ХНЗ |
|
|
Сталь 45Х2Н4 |
|
|||||
12 |
12 |
__ |
405 |
416 |
14 |
17 |
|
_ |
760 |
735 |
22 |
19 |
_ |
385 |
397 |
16 |
19 |
|
— |
760 |
728 |
36 |
21 |
_ |
375 |
381 |
20 |
27 |
|
— |
670 |
710 |
33 |
25 |
— |
375 |
382 |
28 |
29 |
|
— |
670 |
690 |
38 |
36 |
_ |
340 |
360 |
27 |
36 |
|
— |
660 |
683 |
79 |
48 |
_ |
330 |
332 |
58 |
43 |
|
— |
610 |
635 |
77 |
51 |
— |
325 |
333 |
77 |
48 |
|
— |
580 |
615 |
|
Сталь 12Х2Н4 |
|
|
Сталь 45Х2Н4М |
800 |
|||||
11 |
9 |
,_ |
670 |
655 |
13 |
14 |
|
14 |
845 |
|
16 |
15 |
_ |
635 |
635 |
13 |
17 |
|
11 |
870 |
798 |
22 |
20 |
__ |
585 |
616 |
21 |
24 |
|
33 |
780 |
750 |
23 |
21 |
_ |
600 |
612 |
17 |
26 |
|
19 |
775 |
769 |
34 |
26 |
_ |
580 |
587 |
32 |
29 |
|
28 |
730 |
728 |
58 |
34 |
_ |
505 |
548 |
52 |
44 |
|
65 |
656 |
669 |
105 |
42 |
— |
505 |
513 ! |
64 |
48 |
|
82 |
645 |
650 |
89
стей изображены на рис. 5.3 и 5.4. В табл. 5.1 приведены экспери ментальные и расчетные значения исследуемой характеристики при N = 0,95. Коэффициенты вариации определялись из гистограмм, построенных путем статистической обработки экспериментальных данных по распределению легирующих элементов [101]. Вычисле ния проводились при со£р =0,20 [102] с логнормальными плотностя
ми распределения легирующих элементов. Значения принима лись равными 430, 700. 800 и 880 МПа для сталей 12ХНЗ, 12Х2Н4,
Рис. 5.5.
Влияние вида плотности расп ределения легирующих элемен тов на предел прочности стали 12Х2Н4
kx , hy — коэффициенты вариации хрома и никеля;
1 <— логнормальное распределение,
2 — нормальное распределение,
3 — распределение максимального значения,
4 — распределение минимального значения,
5 — гамма-распределение,
6 —логистическое распределение
45Х2Н4 и 45Х2Н4М соответственно. Сравнение экспериментальных и расчетных результатов показывает их удовлетворительное сов падение и подтверждает правильное качественное и количественное описание предлагаемой структурно-феноменологической моделью эффекта влияния степени неоднородности структуры на макроско пические свойства композитов.
Изменение некоторых параметров технологического процесса спекания изделий из порошков дает возможность получить раз личные законы распределения легирующих элементов. Влияние вида плотностей распределения на предел прочности стали 12Х2Н4 проиллюстрировано на рис. 5.5. При этом для простоты изображе ния предполагалось, что распределение легирующих элементов подчиняется одинаковым законам и коэффициенты вариации хрома и никеля совпадают. Анализ результатов, приведенных на рис. 5г5, позволяет сделать вывод о том, что вид закона распределения ле гирующих элементов существенно влияет на прочность порошко вых композитов.
90