книги / Основы теории цепей. Ч. 2
.pdfНиже остановимся подробно на реактивных фильтрах, состоящих только из реактивных элементов, собранных в каскадные (цепные) схемы. При этом воспользуемся соотношениями, полученными в теории четырехполюсников. В основу анализа каждого фильтра заложена зависимость постоянной передачи Γ и характеристических сопротивлений от частоты ω. Будем рассматривать две модификации фильтров: Т- и П-образные.
3.2. РЕАКТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ
Простейшие реактивные Т- и П-образные фильтры представлены на рис. 3.1.
Определим А-параметры для симметричного Т-образного фильтра (см. рис. 3.1, а) через параметры эквивалентной схемы замещения в соответствии с формулами (2.19):
A |
= A |
=1 + |
Z1 |
; A |
= Z |
1 |
(1 + |
Z1 |
); A |
= |
1 |
, |
(3.1) |
||
|
|
|
|||||||||||||
11 |
22 |
|
2Z |
12 |
|
|
4Z |
21 |
|
Z 2 |
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
А-параметры для симметричного П-образного фильтра (см. рис. 3.1, б) в соответствии с формулами (2.20):
A |
= A =1 + |
Z1 ; A = Z |
1 |
; |
A = 1 |
(1 + |
Z1 ) . |
(3.2) |
||
11 |
22 |
2Z |
12 |
|
21 |
Z 2 |
|
4Z 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
Z 1 2 |
Z 1 2 |
|
|
|
|
|
|
Z 1 |
|
|
|
Z 2 |
|
|
|
|
|
|
2Z 2 |
|
2Z 2 |
|
а |
|
Рис. 3.1 |
|
|
|
|
|
б |
|
111
Таким образом, параметры А11 и, соответственно, А22 для обеих схем имеют схожие формулы определения.
Исследуем фильтрующие свойства четырехполюсника. В соответствии с (2.29) для симметричных четырехполюсников
ch2Γ = A11 A22 = A112 ,
следовательно, chΓ = A11 .
Установим связь между коэффициентом ослабления Α и коэффициентом фазы Β и параметром А11 на всем диапазоне частот:
A |
=1 + |
Z1 |
= ch Γ = ch(Α + jΒ) = ch Αch jΒ+sh Αsh jΒ = |
|
|||
11 |
|
2Z 2 |
(3.3) |
|
|
=ch Αcos Β+ jsh Αsin Β.
Вполосе пропускания, где для любого симметричного реактивного фильтра затухание равно нулю ( Α = 0 ), выполняется условие
A |
=1 + |
Z1 |
= ch 0cos Β+sh 0sin Β = cos Β . |
(3.4) |
||||||||
|
||||||||||||
11 |
|
2Z 2 |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||
Поскольку для cos Β выполняется соотношение |
|
cos Β |
|
≤1 , пара- |
||||||||
|
|
|||||||||||
метрА11 изменяется впределах |
|
|||||||||||
|
|
|
−1 ≤ A11 ≤1. |
|
||||||||
Это условие для Т- или П-образного фильтра имеет вид: |
|
|||||||||||
|
|
|
−1 ≤1 + |
Z1 |
≤1 , |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2Z 2 |
|
||||||
|
|
|
−1 ≤ |
Z1 |
≤ 0 . |
(3.5) |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
4Z 2 |
|
|||||||
Таким образом, четырехполюсник обладает фильтрирующими |
||||||||||||
свойствами только в том случае, когда сопротивления Z1 и Z 2 − |
раз- |
|||||||||||
нореактивные элементы, т.е. |
|
112
Z1 = ± jX1 ; Z 2 = m jX 2 , |
(3.6) |
поскольку только в этом случае выполняется условие (3.5), которое называют условием пропускания реактивного фильтра. При этом вводят обозначение Z1 Z 2 = k 2 > 0 , где k называют номинальным харак-
теристическим сопротивлением фильтра. Фильтры, где выполняется это условие, называют фильтрами типа k или k-фильтрами.
Введем нормированную переменную
ν = |
1 |
|
X1 |
, |
(3.7) |
|
|
|
|||
2 |
|
X 2 |
|
|
тогда условие пропускания запишется как ν <1 .
Введение нормированной переменной v позволяет получить универсальные характеристики для фильтров высоких и низких частот.
Граничной частоте полосы пропускания соответствует ν =1 . При этом значение коэффициента фазы Β в полосе пропускания определяется из соотношения
1 − 2ν2 = cos Β,
Β = 2arcsin ν .
Таким образом, для полосы пропускания справедливы соотношения:
ν <1 , Α = 0, Β = 2arcsin ν . |
(3.8) |
Для полосы затухания выполняются условия ν >1 , cos Β = ±1 или Β = ±π, тогда
A =1 − |
X1 |
=1 − 2ν2 = ch Αcos Β+sh Αsin Β, |
|
||
11 |
2 X 2 |
|
|
|
при заданном Β = ±π коэффициент A11 = ±ch Α , тогда
1 − 2ν2 = ±ch Α.
113
Поскольку 1 − 2ν2 <1 , |
а |
ch Α >1 (свойство функции |
ch (x) ), |
||
следовательно, |
|
|
|
|
|
A |
=1 − 2ν2 = −ch Α , Α = arcch(2ν2 −1) . |
|
|||
11 |
|
|
|
|
|
Таким образом, для по- |
|
|
A |
|
|
лосы затухания справедливы |
|
π |
|
||
|
|
Β |
|||
соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ν >1 , Α = arcch(2ν2 −1) , |
|
|
|
|
|
Β = ±π. |
(3.9) |
|
полоса |
1 полоса |
ν |
|
|
|
|||
На рис. 3.2 приведены |
|
пропускания |
затухания |
|
|
зависимости Α(ν) и Β(ν) на |
|
Рис. 3.2 |
|
||
всемдиапазонечастот. |
|
|
|
|
|
3.3. СОГЛАСОВАННЫЙ РЕЖИМ РАБОТЫ ФИЛЬТРА |
|
Наиболее эффективным режимом работы фильтра является режим согласованной нагрузки, обеспечивающий прохождение сигналов в заданной полосе частот с наименьшим затуханием. Рассмотрим характеристики согласованного режима работы электрических фильтров. Для этого выразим А-параметры Т-образного симметричного фильтра через параметры реактивных сопротивлений и коэффициент k:
A = A =1 + |
|
Z1 |
=1 − 2ν2 =1 − |
X12 |
=1 − |
k 2 |
|
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 X |
|
|||||||||||||||||||||
11 |
|
22 |
|
|
|
2Z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k 2 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
X |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
A12 |
= Z |
1 1 + |
|
|
|
|
|
|
|
= Z |
1 |
1 |
− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
(3.10) |
||||
4Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 X 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
− |
k |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
X1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
= Z |
1 |
|
|
|
|
|
|
= Z |
|
1 |
− |
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
2 X |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
114
A21 = 1 .
Z 2
Тогда характеристическое (повторное) сопротивление Т-образ- ного фильтра определится по формуле
|
|
|
A |
|
|
|
|
Z |
1 |
|
k |
2 |
|||
Z C |
= |
|
|
12 |
|
= Z1 Z 2 1 + |
|
|
= k 1 − |
|
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Т |
|
A21 |
|
|
|
|
4Z 2 |
|
2 X 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.11) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= k |
1 |
− |
|
= |
Z1 Z 2 |
1 − ν2 = k |
1 − ν2 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогичные выкладки произведем для П-образного фильтра:
A |
= |
|
A |
|
|
|
= 1 + |
Z1 |
= 1 − 2ν2 = 1 − |
|
k 2 |
|
= 1 − |
X12 |
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 X |
|
2k 2 |
||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
22 |
|
|
|
|
|
2Z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
= Z1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
A12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
Z |
1 |
|
|
|
1 |
(1 |
− ν2 ) = |
|
|
|
|
(3.12) |
|||||||||||
A21 = |
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Z 2 |
|
4Z 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
k 2 |
|
1 |
|
|
|
|
X1 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
= |
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 X |
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Z 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2k |
|
|
|
|
|
|
|
Характеристическое сопротивление П-образного фильтра оп-
ределится по формуле
Z C |
= |
A12 |
= |
|
Z1 Z 2 |
|
= |
|
Z1 Z 2 |
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
П |
A21 |
|
|
|
1 + |
Z1 |
|
|
|
|
|
1 − ν2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
4Z 2 |
(3.13) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= |
|
|
k |
|
|
|
= |
|
|
k |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
k |
|
2 |
|
|
1 − |
X1 |
2 |
|||||||
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 X |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2k |
|
115
Таким образом, при заданном коэффициенте k для определения характеристических сопротивлений Z CТ и Z CП достаточно только
одной функции X1 (ω) или X 2 (ω) , представленной аналитически или
графически (полученной, кроме прочего, экспериментальным путем). В результате анализа соотношений (3.11) и (3.13) можно прий-
ти к выводу, что характеристические сопротивления Z CТ и Z CП ак-
тивны в полосе пропускания и реактивны (имеют индуктивный или емкостный характер) в полосе затухания. Следует отметить, что рассматриваемая здесь теория фильтров предполагает нагрузку фильтра согласованной, хотя в действительности согласовать нагрузку на всем диапазоне частот невозможно.
В соответствии с правилом знаков характер сопротивлений Z CТ и Z1 всегда совпадает. При этом Z CТ и Z CП всегда разнореактивные.
Мощность, потребляемая согласованной нагрузкой, является активной мощностью и определяется как
2
P2 = RI22 = U2 , (3.14)
R
где I2 и U2 – действующие ток и напряжение на выходе фильтра. Входное сопротивление симметричного фильтра, работающего
в согласованном режиме нагрузки, в области пропускания также равно R, и поэтому мощность на входе фильтра
P = RI 2 |
= |
U12 |
, |
(3.15) |
|
|
|||||
1 |
1 |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
где I1 и U1 – действующие ток и напряжение на входе фильтра. Поскольку рассматривается идеальный реактивный фильтр, ак-
тивная мощность внутри фильтра не расходуется и поэтому P = P .
1 2
В соответствии с (3.14) и (3.15) следует, что
I1 = I2 , U1 =U2 ,
и затухание равно нулю.
116
Следует отметить, что идеальная частотная характеристика, имеющая диапазоны частот с нулевым затуханием и диапазоны частот с бесконечно большим затуханием, недостижима даже при полном согласовании реактивного фильтра с источником и нагрузкой. Трудность получения желаемых характеристик заключается еще и в том, что для полного согласования частотные характеристики приемника и источника должны изменяться по такому же закону, что и характеристические сопротивления фильтра. Последнее трудно осуществимо. С целью увеличения значения коэффициента затухания в полосе затухания фильтр составляют из нескольких реактивных звеньев, соединенных в согласованный каскад, при этом коэффициенты затухания отдельных звеньев суммируются.
3.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ СРЕЗА
Частоту, являющуюся граничной между полосой пропускания и полосой затухания, называют частотой среза.
Из (3.5) следует, что частоты среза удовлетворяют условиям:
Z1 = −4Z 2 ; Z1 = 0 . |
(3.13) |
Частоты среза находятся аналитически из уравнений (3.13), ес- |
|
ли заданы функциональные выражения Z1 (ω) |
и Z 2 (ω) , или графи- |
чески, если заданы частотные характеристики Z1 и Z 2 .
Пример. Для фильтра, изображенного на рис. 3.3, а, частотные
характеристики Z1 |
и Z 2 представлены на рис 3.3, б; полоса пропуска- |
||||||
ния графически найдена на рис. 3.3, в, где |
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Z1 = jX L |
− jX C = j |
ωL − |
|
; Z |
2 |
= jX L |
= jωL . |
|
|||||||
|
|
|
ωC |
|
|
|
В предыдущем разделе было показано, что в полосе пропускания фильтр имеет активное характеристическое сопротивление,
117
а в полосе задержания характеристическое сопротивление фильтра является реактивным. На этой особенности строится методика графического определения частот среза по частотным характеристикам входных сопротивлений фильтра в режиме холостого хода и короткого замыкания. В частности, для фильтра, представленного на рис. 3.4, а, характеристическое сопротивление может бытьопределено по формуле
Z1C = Z1х Z1к .
Для схемы (см. рис. 3.4, а)
Z = jω(L + L ) − j |
1 |
; Z = jωL − j |
1 |
, |
||||||||
ωC |
|
|||||||||||
|
1х |
|
1 2 |
|
1к |
1 |
|
ωC |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω1 |
= |
|
1 |
|
; ω2 = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
(L1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
+ L2 )C |
|
L1 +C |
|
|
Определим знак характеристического сопротивления на всем диапазоне частот:
♦на интервале от 0 до ω1 : Z1х < 0 и Z1к < 0 − емкостные, следовательно, Z1C − емкостное;
♦на интервале от ω1 до ω2 : Z1х > 0 − индуктивное и Z1к < 0 − емкостное, следовательно, Z1C − действительное число;
118
♦на интервале от ω1 до ∞: Z1х > 0 и Z1к > 0 − индуктивные, следовательно, Z1C − индуктивное (рис. 3.4, б).
Качественный вид графика функции Z1C = f (ω) представлен на рис. 3.4, в. Полоса частот, в которой Z1C имеет действительное значение (представляет собой активное сопротивление), соответствует полосе пропускания фильтра, ограниченной частотами ω1 и ω2 , в пределах которой Z1х и Z1к имеют разные знаки. Вне этой полосы Z1х и Z1к имеют одинаковые знаки, и, следовательно, характеристи-
ческое сопротивление имеет мнимые значения (является реактивным сопротивлением), показанные на рис. 3.4, в пунктирной линией.
Данное положение является общим для всех типов фильтров без потерь.
Далее рассмотрим более подробно фильтры по пропускаемым частотам.
3.5. КЛАССИФИКАЦИЯ ФИЛЬТРОВ ПО ПРОПУСКАЕМЫМ ЧАСТОТАМ
Как было отмечено выше, в указанной классификации выделяют фильтры низких частот (ФНЧ), высоких частот (ФВЧ), полосовые и заграждающие (режекторные). Качественные зависимости коэффициента ослабления от частоты представлены на рис. 3.5.
119
фильтр низких частот |
фильтр высоких частот |
||||||
А |
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
полоса |
|
|
полоса |
полоса |
|
полоса |
|
пропускания |
|
|
затухания |
затухания |
|
пропускания |
|
А = 0 |
|
|
А ≠0 ω |
А ≠ 0 |
|
ωс |
А = 0 ω |
ωс |
|
полосовой фильтр
Аполоса полоса затухапропусния кания
А≠ 0 ωc1 А = 0
полоса затухания
ωc2 А ≠0
|
А полоса |
|
заграждающий фильтр |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
полоса |
|
полоса |
||||
|
|
|
|
||||||||
|
пропус- |
|
|
|
затуха- |
|
пропус- |
||||
|
кания |
|
|
|
ния |
|
кания |
||||
ω |
|
|
|
|
|
А≠0 |
|
|
|
А = 0 ω |
|
А = 0 ω |
|
ω |
|
||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
c |
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
Рис. 3.5
3.5.1. Фильтры низких частот
Схемы простейшего низкочастотного фильтра представлены нарис. 3.6. Установим соответствия между обозначениями на рис. 3.1
и рис. 3.6.
L/2 L/2 L
Z1 2 |
Z1 |
2 |
C/2 |
C/2 |
|
C |
2Z 2 |
2Z 2 |
|
|
|
|
|
|
а |
|
Рис. 3.6 |
б |
|
для Т-схемы (см. рис. 3.1, а и рис. 3.6, а) и
Z1 |
= jωL; |
Z1 |
= |
jωL |
; Z |
2 |
= |
1 |
; |
|
|
|
|||||||
|
2 2 |
|
|
|
jωC |
для П-схемы (см. рис. 3.1, б и рис. 3.6, б)
Z1 = jωL; 2Z 2 |
= |
2 |
; Z 2 |
= |
1 |
. |
jωC |
|
|||||
|
|
|
|
jωC |
120