книги / Переходные процессы в электрических цепях, содержащих машины переменного тока

УРАВНЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

В ЭЛЕМЕНТАХ	ЦЕПЕЙ, ОТНЕСЕННЫЕ К СИСТЕМЕ
КООРДИНАТ,	ВРАЩАЮЩЕЙСЯ С	ПРОИЗВОЛЬНОЙ
	СКОРОСТЬЮ
1-1. КОМПЕНСИРОВАННАЯ ЛИНИЯ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ
(ПРОДОЛЬНАЯ ВЕТВЬ л		L, С)

Для того чтобы иметь возможность исследовать пере­ ходные процессы в электрических цепях и системах, содер­ жащих различные элементы (генераторы, двигатели, линии, нагрузки и т. д.), выведем сначала уравнения переходных процессов в этих элементах, относя их к системе координат, вращающейся с произвольной угловой скоростью юк.

Всамом деле, как будет показано в гл. 2, вопрос о том,

ккакой системе координатных осей относить статические элементы цепи, может решиться так, что, например, урав­ нение компенсированной линии электропередачи, связыва­ ющей две генераторные станции СГ1 (синхронный генера­ тор /) и СГ2, целесообразно будет относить к осям, жестко

связанным с ротором третьего генератора, вращающимся с угловой скоростью ©3 или к осям, вращающимся с син­ хронной скоростью со0. В этом случае выведенными уравне­ ниями легко можно будет воспользоваться, полагая ©й=© 3

или

©0.

Это преобразование необходимо для генераторов и дви­ гателей с целью устранения периодических коэффициентов, которые содержат их уравнения при записи их в фазных координатах.

В самом деле, после указанного преобразования и при надлежащем выборе скорости вращающейся' системы ко-

ординат, периодических коэффициентов в уравнениях гене­ раторов и двигателей уже не будет. Для неподвижных в пространстве элементов цепей (линии, нагрузки и т. д.) это преобразование необходимо, потому что, как будет показа­ но ниже, во многих случаях уравнения для всей системы в целом, содержащей все эти элементы, будут проще, если и уравнения1неподвижных элементов относить к вращающим­ ся осям.

При выводе уравнений элементов цепей мы будем поль­ зоваться обобщенным преобразованием Парка (иначе го­ воря, системой координат dk, qk, 0 ) , применяя его для неподвижных в пространстве элементоз цепей [Л. 1. 109,

ПО, 115, 119], асинхронных двигателей [Л. 116, 121] и син­ хронных машин [Л. 112] так же, как оно в своей обычной форме (координаты d, q, 0) было дано Парком [Л. 23, 24] и применено Кроном [Л. 25, 27], А. Г. Иосифьяном [Л, 90], автором {Л. 114, 118] и другими к синхронным машинам.

Рассмотрим вывод уравнений переходных процессов в

компенсированной линии (иначе говоря,	продольной цепи
г, L, С, которая может рассматриваться	как общин случай

статического элемента системы), соединяющей две генера­ торные станции СГ1 и СГ2 (рис. 1-1). Эти уравнения мы относим к координатным осям, жестко связанным с третьей станцией и вращающимся, вообще говоря, с произвольной угловой скоростью ü>k.

Для этого запишем сначала уравнения для участка цепи

	иш\	«л
		ил
	Uf/f!
	*г	А--- 1----

Рис. 1-2.

1—3 (рис. 1-2) в фазных координатах в матричной форме [Л. 159, 160]:

	Ш	г/ i — М			(1-1)
		1	2	dt *

где матрицы — столбцы напряжений [u3], [Ы|], тока [гл ] и квадратная матрица индуктивностей линии [£л] выража­ ются следующим образом:

'и 3а'	Г* ia	Я	Г ^ л М л !
f«sl = Изb ;	[t. 1 - \ i Rb	J > IAq] =	Мдь лм л
Иte	V aCJ		м лм я ь л

(1-2)

Каждая фаза линии Л имеет сопротивление гл и индук­ тивность Lx . Взаимная индуктивность между фазами ли­ нии Мл . Обозначения всех токов и напряжений даны на рис. 1-2.

В качестве матрицы преобразований выберем обобщен­ ную матрицу [Л*] преобразований Парка [Л. 112, 115, 116, 119]:

	■	cos0ft	cos (9*— 120°)		cos (0Й+ 1 2 0 °) "
[А ] ~	JL	— sin 0А— sin (6* — 120е) — sin (0t - f 120°)
*	3	J _	_1_		_1_
		2	2	*	2

(1-3)

Î3

где

в* “ К Л + 6».	(1-4)
о

Матрицы напряжений, токов и индуктивностей после преобразования обозначим индексом штрих. Напряжение в точке 1 [и'\] отнесем к осям, жестко связанным с ротором СГ1 и вращающимся с угловой скоростью ©j. Напряжение в точке 2 [и'2] отнесем к осям, жестко связанным с ротором СГ2 и вращающимся с угловой скоростью ©2. Напряжение во вспомогательной точке 3 отнесем прямо к осям, враща­ ющимся с произвольной угловой скоростью о»*:

hid [ *.] « «3, = Ш [««]; f t J = h t

. гл0 _

' «и ' и]? К10

		A n О		о	1
		0	^ 0		,	(1-6)
		0	0	ь л0
где [A J	и 0j,	[А2] и б2 получаются из (1-3) и (1-4) при k = 1
и k = 2	(рис.	1-3), La1 = La — Мх \	Lm =		Ья +	2Мл — ин­

дуктивности прямой и нулевой последовательности линии;

обратная	матрица		[Л^1]	равна:
		COS0*		— sine*			1	(1-7)
[ л г ‘ ] =		cos (6* — 120°) - sin (О* -				120°)	1
		cos (0* +		120°) — sin (bt -f-120°)			1
и, кроме	того:
[%] =* [AT'] [ u i l			[a2] =	[AT1] [ и2], [ in ]	=	[ATl] [ г'л]» (1-8)
Равенство (1-6), например, для [ti\]					в	развернутом ви­
де дано ниже:

а

			?«
				Рис,	1-3.
«w — - J I«ia C0SÔX+			«Jécos (0! — 120°)4-ulccos (0! + 120°)];
UU —	■Y [ « la sin61+ » u			sin(e1 -		120°) - f «lcsin (0x- f 120°)];
		«io -	- j	[«ie +	«i* - f и1с].
Развернутое		выражение для				(1-6а)
						[£,]:
f t i — 3	fca COS 6i “Мл* COS (®4				120°) 4- l^co s (9fc 4 . 120°)];
	1дд —	~ [4o s’n		~Ь гл» sin (9ft — 120°) 4-
		+ 4 cSin (6*4-120°)];
		*л0	3	a “Ь f** “Ь ïj,J.
						(l-5a)
						25

	Развернутое выражение			для [£л }:
		ha = hd cos		— im sin Ьк +	*л0;	(l-2a;
	hb — h i cos (Од, — 120°) — inq sin (Од, — 120°) -f
	he = hd cos (9* +		120°) — inq sin		- f 120°) +	£л0.
	Умножим	слева	обе	части (i-1)	на [ЛА].	С учетом
	(1-2) —(1-7)	после преобразований получим:
					Г^л1 dlh\
					dt	+
						(1-9)

Выполнив дифференцирование— и перемножив матрицы dt

M J H r 'J и

'л г, о 2 1гл1

- [Л-i] [L J, получим:

	dt
	cos (9а — бд)				sin фк— б,) 0
	— sin (8* -			8д)	cos фк — Од) 0			[ « ; ] -
		0				О	1 ]
	l O	à lü	,	1	О	\ , 0	1	rfS*
					- ^ . 0	0	И
	2	dt	"г	о				(1-10)
					о	о о J		dt

Тригонометрические соотношения, которыми мы пользу­ емся при перемножении матриц и других преобразованиях,

даны в приложении.
Аналогичное соотношение		можем сразу		записать для
участка цепи 4—2:
cos фк — %)	sin фк — 02)		О
— Sin (0fe — еа)	cos фк - 6а)		0
0		0	1
		0		L .	0
		— L ,		л1	0
				0
		0	л1	0	0
х	И	^			0 - №

Далее для продольной емкости Ск имеем следующие исходные уравнения закона Ома для мгновенных значений фазных токов и напряжений:

Ы	- N	=		(Ы 2)
Умножим слева	обе	части (1-12)	на [ДА]. С	учетом
равенства
«м			«4а	(1-13)
««			«4Ь
			«4Г

а также на основании				(1-5)	после преобразований получим:
K l - K I		-	- у	И .Щ У Л - 7				- J И » ][< „]* +
+ J	- j r J И ) d t = £ J И * + f « W <М - М -
	+					K l - I V			I K D
									tff	(1-14)
причем,	учитывая,		что [4 J			зависит		только от 0k, при
образовании d[Ak]			переменным нужно считать 0*. Пере­
множив	матрицы		d\A:\		г.	п
		—^ — • и [Д -1], получим:
		Л Щ		W ]		о	1	о		(1-15)
		* 4				- 1 0		0
						0	0	0
В соответствии с			(1-15)		имеем вместо				(1-14):
						0 1		0
К ] - К 1 = > ‘т Н ю * +						—1 0 0			K 1 - K D х
						0 0		0
				X						(1-16)

Подставив [и'3] и {и'*] из (1-10) и (1-11) в (1-16), полу­ чим в наиболее общем случае уравнение продольной ветви гя , Ln. Ск (т. е., иначе говоря, цепи г, L, С), отнесенное к системе координат, вращающейся с произвольной угловой скоростью ю* :

	cos(0ft — ®j)		Sin		— »x)			0
	— sin (6* — 0,)			cos (0ft — Oft)				0	К ] -
	0			0				1
	г cos (0ft	6*)		sin (Oft — 02)			0
	sin (6ft	6j)		cos (6ft — 0a) 0
	0			0			I
					0	1	0
				— 1 0			0
					0	0	0
			-	0	1	0 ]	cos ( 0 f t - 60
				i	о	o |i	— sin(Oft— ex)
				о	о	о			0
	Sin (6ft — 6.)		о ]			Гcos (0Л — 08)
	COS (6ft — 0Х)		J	K	l - р		И	М
	0
	sin (0ft — 02)							d[in\
	COS (6ft — 62)	o jl» ;] — r , K J - K
								J	dt
	0
	0	1	0	[Г] i h .			d 8ft	dt.	(1-17)
	X — 1	0	0
	0	0	0	1 al	dt		dt

В развернутом виде эти уравнения будут таковы:

ии cos (e* — si) +		Чч sin Фк — ôi) “	ии cos (О* — 9,) —
аг«s‘n	®а)	гя 'ad A.I ~~£t	Ani глг d t~ ~

		- - ^ * л - Л + П - ВЧ Х
X sia (9ft — ôj) +			«i,Cos фк		- 9X) +	uu isin				— 62) —
-	»*, c js (0fc — 0,) — гл i„q - Lxl						-	Lal iM X
			X d h	1	dt;					(1-18)
			rff	J	dt
— uld sia (Oé — 0^ + uXq cos (9ft — 90 + u2i sin фк — 62) —
-	u2q cos (0* -	0e) — rn im -			dinq		■L,,		i	d 0*
					L	dt				nd dt
					"■ni			л1
	= c 7 /	^	^ + / I -		Uii cos {6ft ~			6l) -

- ulq sia ф к — 60 + «2i cos (0j - ô2) + h2?sia (9ft

A r i _I_7

dijia _ /

'Ci lMt + ^л1 ~dT"

Що - и 20- г л (д0—

t	1	_rf°*, d t ■
■"! глд	J	" d T	’
dtдо	C. S		l* d t
л0 dt

e2) +

(1-19)

(1-20)

Отметим, что равенство (1-17) можно рассматривать как наиболее общее уравнение закона Ома в матричной форме, записанное для мгновенных значений токов и на­ пряжений для продольной симметричной относительно всех трех фаз цепи г, L, С, отнесенное к системе координат, вра­ щающейся с произвольной угловой скоростью При этом напряжения щ и и2 на концах этой цепи отнесены в свою очередь к координатным осям, вращающимся с переменны­ ми УГЛОВЫМИ СКОРОСТЯМИ COj и <»3.

Следует отметить, что если рассматривать протекание токов нулевой последовательности через землю, то величи­ ны гя в (1-18) и (1-19), с одной стороны, и в (1-20), с дру­ гой — будут различны.

Рассмотрим дальше только такие коммутации, когда ну­ левые составляющие токов и напряжений отсуствуют. Тогда (1-18) и (1-19) удобно объединить, представив их одним уравнением в комплексной форме.

Записав
«2 — U2d + Р 2 4 ' )
«1 =	и u + У » !,;!			0-21)
In	^nd	щ	J
и сложив (1-18) с умноженным		на /	(1-19), получим:
— о,	- u _ (> ( г , + Я л - ~ \ —
- А.1 T f - “ Т Г J	' ]% - Т В * " 1"*			* + / J i . х

+ ' - , . т г ] - ^ - А

I1' 22*

При одинаковых и постоянных угловых скоростях ©*, (О, и ©,

Û)t —(0-1 — ©ft --- ©А

		= ©Ь = ©А		(1-23)
	dt
	и, приняв согласно (1-4)
	®* — 9i = J w* d t +	О/# — (f	dt “b ®io) =	—
	о	0
		610 = 6É10 ;		(1-24)
	®* — ®2 = j ю* dt -f- Sw — (J©, d t -)- 6Î0) —
	о		0
	= 6*0	S20 ~	®A20 >

получим комплексное уравнение для компенсированной ли­ нии (продольной ветви, г, L, С), отнесенное к координат­ ным осям, вращающимся с постоянной скоростью ©о:

Ще~ '*«• - щ е- l !и0- (г, + J » . L J i,