книги / Практические задания по сопротивлению материалов
..pdfЗадача 9.3. Подобрать размер сечения квадратной (с с) или круглой (d) деревянной стойки из условия устойчивости с использованием коэффициента продольного изгиба . Определить величину критической силы Fкр и действительный коэффициент запаса устойчивости nу выбранной стойки.
Для древесины (сосна, ель вдоль волокна): допускаемое напряжение сжатия [σ]с = 10 МПа; модуль продольной упругости Е = 104 МПа; рекомендуемый коэффициент запаса устойчивости
[n]у = 2,8…3,2.
Схемы стойки и данные для расчета приведены в табл. 9.4.
Порядок выполнения
1.Начертить схему стойки с указанием числовых значений размеров и приложенных сил.
2.Определить размеры поперечного сечения стойки по упро-
щенной формуле расчета на устойчивость, принимая 1 = 0,5.
3.Определить гибкостьλ икоэффициент 1′ принятого сечения.
4.Определить значение 2 во 2-м приближении, присвоив ему среднее значение между 1 и 1′. Определить размеры поперечного сечения стойки по упрощенной формуле.
5.Повторить действия 3–5. Вычисления необходимо продолжать,
пока расхождение между i и ′i не станут меньше 5 %. Обычно для этого бываетдостаточно 2–3 итераций.
6.Уточнить гибкость найденной стойки, по формулам Эйлера или Ясинского определить величину критической силы.
7.Определить действительный коэффициент запаса устойчивости стойки. Сравнить его срекомендуемым. Сделатьвывод.
Указания к выполнению
В предыдущей задаче рассматривался метод последовательного вычисления поперечного сечения стойки с использованием коэффициента продольного изгиба . В качестве критерия прекращения последовательных вычислений принималось выполнение условия устойчивости для найденных значений i и у .
161
На практике вычисления обычно прекращают при выполнении условия
|
i |
|
|
|
i i |
|
|
100 % 5 % , |
|
|
|
||||||
|
|
|||||||
|
|
i |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где i и ′i – значения коэффициента продольного изгиба в начале и конце последнего приближения.
Пример решения задачи 9.3
Дано: деревянная стойка длиной l = 1 м (рис. 9.5) находится под действием сжимающей силы F = 10 кН. Допускаемые напряжения материала стойки [σ]сж = 20 МПа.
Найти:
а) размерыквадратного сечения стойки (с с); Рис. 9.5 б) силу, при которой произойдет потеря ус-
тойчивости;
в) действительный коэффициент запаса устойчивости nу.
Решение:
Согласно табл. 9.2, коэффициентприведения длиныстойки = 1. а) Принимая 1 = 0,5, находим размеры поперечного сечения
стойки по упрощенной формуле расчета на устойчивость:
|
|
A |
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
10 103 |
|
10 10 4 м2 |
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
0,5 |
20 106 |
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
A 3,16 10 2 32 мм. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Определяем гибкость стойки: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
1 1 |
|
12 |
|
3,46 |
108, |
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
i |
|
c |
32 10 3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
где i |
J |
min |
|
|
|
|
|
|
|
c4 |
|
|
|
|
c |
|
|
(согласно прил. 10, для квадратного |
|||||||
|
A |
|
|
|
12 c2 |
|
12 |
|
|||||||||||||||||
min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
сечения Ix Iy |
|
с4 |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
162
Определяем коэффициент продольного изгиба ′i методом
линейной интерполяции (см. прил. 12): при = 100 |
= 0,31; при |
||
= 110 = 0,25; |
|
|
|
при =108 |
0,31 0,31 0,25 |
(108 100) 0,262 . |
|
1 |
110 100 |
|
|
|
|
|
|
Коэффициент 1 расходится с ′1 более чем на 5 %. |
|||
Делаем 2-е приближение, принимая |
|
||
|
|
|
|
|
2 1 1 0,5 0, 262 0,381. |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
A |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
10 103 |
|
13,12 10 4 м2 |
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
0,381 20 106 |
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
сж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
A 3,62 10 2 |
36 мм. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Гибкость стойки: |
|
|
3, 46 |
|
|
3, 46 |
|
|
|
96. |
|
|||||||||||||||
2 |
36 10 3 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определяем коэффициент продольного изгиба: |
|
|||||||||||||||||||||||||
при = 90 =0,38; при = 100 |
= 0,31; |
|
||||||||||||||||||||||||
при = 96 |
|
|
0,38 0,38 0,31 (96 90) 0,338 . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
100 90 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Коэффициент 2 расходится с ′2 более чем на 5 %: |
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 2 |
|
|
100 % |
|
|
|
0,381 0,338 |
|
|
100 % 12,7 % 5 % |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,338 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Делаем 3-е приближение, принимая |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 2 2 |
0,381 0,338 0,36 . |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
10 103 |
|
13,89 10 4 м2 |
|
|||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0,36 |
20 106 |
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
сж |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
A 3,73 10 2 |
37 мм. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
163
Гибкость стойки: |
3 3, 46 |
3, 46 |
|
|
|
|
93,5 . |
||||||||||
37 10 3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c3 |
|
|
|||||
Определяем коэффициент продольного изгиба: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
0,38 |
0,38 0,31 (93,5 90) 0,356 . |
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
100 90 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Коэффициент 3 расходится с ′3 менее чем на 5 %: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
3 3 |
|
|
100 % |
|
|
0,36 0,356 |
|
|
|
100 % 1,1 % 5 % . |
|||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
3 |
0,356 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заданным значениям соответствует брус сечением 37 37 мм. Округляем полученный результат в соответствие с требованиями для изделий из древесины (до 0,5 мм в большую сторону):
брус 40 40 мм.
2. Определяем критическую силу.
Согласно прил. 13 расчетные данные для древесины (сосна, ель): a = 29,3 МПа; b = 0,19 МПа; λпред = 59.
|
|
|
l |
|
1 1 |
|
12 |
3, 46 |
86,5 > λпред = 59, значит, гиб- |
|
3 |
i |
c |
40 10 3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
min |
|
1 |
|
|
|
|
кость стойки находится в границах применимости формулы Эйлера:
F |
A |
2 E |
|
(40 10 3 )2 3,142 1010 |
21,1 103 21,1 кН. |
кр |
|
2 |
|
(86,5)2 |
|
3. Определяемдействительныйкоэффициентзапасаустойчивости: ny FFкр 21,110 2,1 n y 2,8...3,2.
Коэффициент запаса устойчивости меньше рекомендуемого для древесины. Размер поперечного сечения стойкижелательно увеличить.
Ответ: Поперечный размер стойки 40 40 мм. Потеря устойчивости произойдет при Fкр = 21,1 кН. Запас устойчивости nу = 2,1.
164
Таблица 9 . 4
|
Номер варианта |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Схема стойки |
01 |
02 |
03 |
04 |
05 |
06 |
07 |
08 |
09 |
10 |
|
(см. табл. 9.2) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сечение стойки |
Круг, |
Квадрат, |
Круг, |
Квадрат, |
Круг, |
Квадрат, |
Круг, |
Квадрат, |
Круг, |
Квадрат, |
|
d |
a a |
d |
a a |
d |
a a |
d |
a a |
d |
a a |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F, кН |
5 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
32 |
40 |
45 |
50 |
|
l, м |
1,5 |
2,8 |
2,6 |
2,4 |
2,2 |
2,0 |
7,0 |
3,6 |
3,4 |
3,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер варианта |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
Схема стойки |
01 |
02 |
03 |
04 |
05 |
06 |
07 |
08 |
09 |
10 |
|
(см. табл. 9.2) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сечение стойки |
Круг, |
Квадрат, |
Круг, |
Квадрат, |
Круг, |
Квадрат, |
Круг, |
Квадрат, |
Круг, |
Квадрат, |
|
d |
a a |
d |
a a |
d |
a a |
d |
a a |
d |
a a |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F, кН |
70 |
35 |
76 |
16 |
24 |
80 |
42 |
44 |
52 |
48 |
|
l, м |
7,5 |
3,8 |
5,8 |
6,6 |
6,2 |
4,0 |
5,4 |
5,0 |
4,6 |
4,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер варианта |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
|
Схема стойки |
01 |
02 |
03 |
04 |
05 |
06 |
07 |
08 |
09 |
10 |
|
(см. табл. 9.2) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сечение стойки |
Круг, |
Квадрат, |
Круг, |
Квадрат, |
Круг, |
Квадрат, |
Круг, |
Квадрат, |
Круг, |
Квадрат, |
|
d |
a a |
d |
a a |
d |
a a |
d |
a a |
d |
a a |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F, кН |
74 |
12 |
78 |
28 |
18 |
82 |
26 |
46 |
38 |
28 |
|
l, м |
7,2 |
7,4 |
1,9 |
6,8 |
6,4 |
1,7 |
5,6 |
5,2 |
1,3 |
4,4 |
165 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
165
Контрольные вопросы
1.Что такое продольный изгиб?
2.В чем заключается явление потери устойчивости стержня?
3. Почему потеря устойчивости сжатого стержня приводит
кснижению его прочностных характеристик?
4.В каких случаях элемент конструкции необходимо рассчитывать на устойчивость?
5.В чем заключается расчет на устойчивость?
6.Какую силу называют критической? Как способ закрепления стержня влияет на ее величину?
7.Какая величина называется гибкостью стержня? Какова размерность этой величины?
8.От каких параметров зависит гибкость стержня?
9.Что представляет собой коэффициент приведения длины? От чего он зависит?
10.Как проводится расчет стержня наустойчивость по Эйлеру?
11.Почему вформулу Эйлера для критическойсилы входит Jmin?
12.Какие допущения лежат в основе вывода формулы Эйлера? Как это влияет на методику расчета?
13.Как устанавливается предел применимости формулы Эйлера? Как определяется предельная гибкость стержня?
14.Приведите график зависимости критических напряжений от гибкости стержней.
15.Как определяется критическая нагрузка по эмпирической формуле (формуле Ясинского)?
16.Какопределяетсяразмерпоперечногосечениясжатойстойки?
17.Что представляет собой коэффициент φ? Как определяется его значение?
18.Почему расчёт на устойчивость предшествует расчету на продольно-поперечный изгиб?
Литература: [1, п. 2.7; 2, лекц. 15; 4, гл. 26].
166
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Основная:
1.Прикладная механика: учебник для бакалавров / В.В. Джамай, Е.А. Самойлов, А.И. Станкевич [и др.]. – М.: Юрайт, 2013. – 360 с.
2.Жученков А.П., Зинштейн М.Л., Ханов А.М. Сопротивление материалов: конспект лекций. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2014. – 216 с.
Дополнительная:
3.Бородин Н.А. Сопротивление материалов: пособие для студентов ссузов, обучающихся по спец. техн. профиля. – М.: Дрофа, 2001. – 288 с.
4.Эрдеди А.А., Эрдеди Н.А. Теоретическая механика. Сопротивление материалов: учеб. пособие для машиностр. спец. сред. проф. учеб. заведений. – М.: Высшая школа, 2002. – 318 с.
167
168
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Физико-механические свойства некоторых материалов
|
Временное |
Предел |
Предел |
Допускаемые |
Допускаемые |
Модуль |
Коэффициент |
|||||
Материал |
сопротивление |
текучести |
выносливости |
напряжения |
напряжения |
упругости |
||||||
на смятие |
Е, |
Пуассона |
||||||||||
|
|
, МПа |
, МПа |
, МПа |
на срез |
ср |
, МПа |
|||||
|
В |
|
Т |
–1 |
|
|
|
МПа |
105 МПа |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
см, |
|
|
|
|
Сталь: |
|
330 |
195 |
120…160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ст2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ст3 |
|
380 |
200 |
120…160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ст4 |
|
410 |
235 |
120…160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ст5 |
|
490 |
255 |
120…160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
340 |
210 |
120…160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
420 |
240 |
120…160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
460 |
280 |
|
(0,3…0,4) Т |
0,5 В |
2,0 |
0,3 |
||||
30 |
|
500 |
300 |
170…210 |
||||||||
35 |
|
540 |
320 |
170…220 |
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
580 |
340 |
180…240 |
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
610 |
360 |
190…250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
640 |
380 |
200…260 |
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
660 |
390 |
216 |
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
690 |
410 |
220…280 |
|
|
|
|
|
|
|
|
09Г2 |
|
440 |
305 |
235 |
|
|
|
|
|
|
|
168
169
Продолжение таблицы
|
Временное |
Предел |
Предел |
Допускаемые |
Допускаемые |
Модуль |
|
|||
Материал |
напряжения |
упругости |
Коэффициент |
|||||||
сопротивление |
текучести |
выносливости |
напряжения |
на смятие |
Е, |
Пуассона |
||||
|
, МПа |
, МПа |
, МПа |
на срез |
ср |
, МПа |
||||
|
В |
Т |
–1 |
|
|
|
МПа |
105 МПа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см, |
|
|
|
10Г2С1 |
490 |
355 |
230 |
|
|
|
|
|
|
|
10ХНДП |
470 |
345 |
284 |
|
|
|
|
|
|
|
10ХСНД |
530 |
390 |
284 |
(0,3…0,4) Т |
0,5 В |
2,0 |
0,3 |
|||
14Г2 |
460 |
335 |
295 |
|||||||
14ХГС |
580 |
420 |
|
|
|
|
|
|
|
|
15ХСНД |
490 |
345 |
304 |
|
|
|
|
|
|
|
17Г1С |
530 |
320 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Чугун: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сч15 |
150 / 650 |
|
|
53 |
|
120 |
0,8…1,5 |
0,23…0,27 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сч35 |
340 / 1100 |
|
|
90 |
|
180 |
1,3…1,5 |
|
||
Латунь Л68 |
320 |
90 |
120 |
– |
|
|
|
– |
1,1 |
0,32…0,34 |
Бронза: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
БрОЦС5-5-5 |
200 |
40…50 |
|
– |
|
|
|
– |
1,0 |
0,33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
БрАЖ9-4 |
550 |
200 |
|
– |
|
|
|
– |
1,0…1,1 |
|
Примечание. После косой черты для хрупких материалов указан предел прочности при сжатии.
169
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Нормальные линейные размеры, ГОСТ 6636–69 (фрагмент*)
Ra 20 |
Ra 40 |
Ra 20 |
Ra 40 |
Ra 20 |
Ra 40 |
Ra 20 |
Ra 40 |
Ra 20 |
Ra 40 |
1,0 |
1,00 |
4,0 |
4,00 |
16,0 |
16,0 |
63 |
63 |
250 |
250 |
|
1,05 |
4,5 |
4,20 |
|
17,0 |
71 |
67 |
|
260 |
1,1 |
1,10 |
4,50 |
18,0 |
18,0 |
71 |
280 |
280 |
||
|
1,15 |
5,0 |
4,80 |
|
19,0 |
80 |
75 |
|
300 |
1,2 |
1,20 |
5,00 |
20,0 |
20,0 |
80 |
320 |
320 |
||
|
1,30 |
5,6 |
5,30 |
|
21,0 |
90 |
85 |
|
340 |
1,4 |
1,40 |
5,6 |
22,0 |
22,0 |
90 |
360 |
360 |
||
|
1,50 |
6,3 |
6,0 |
|
24,0 |
100 |
95 |
|
380 |
1,6 |
1,60 |
6,3 |
25,0 |
25,0 |
100 |
400 |
400 |
||
|
1,70 |
7,1 |
6,7 |
|
26,0 |
110 |
105 |
|
420 |
1,8 |
1,80 |
7,1 |
28,0 |
28,0 |
110 |
450 |
450 |
||
|
1,90 |
8,0 |
7,5 |
|
30,0 |
125 |
120 |
|
580 |
2,0 |
2,00 |
8,0 |
32 |
32 |
125 |
500 |
500 |
||
|
2,10 |
9,0 |
8,5 |
34 |
34 |
140 |
130 |
|
530 |
2,2 |
2,20 |
9,0 |
36 |
36 |
140 |
560 |
560 |
||
|
2,40 |
10,0 |
9,5 |
|
38 |
160 |
150 |
|
600 |
2,5 |
2,50 |
10,0 |
40 |
40 |
160 |
630 |
630 |
||
|
2,60 |
11,0 |
10,5 |
|
42 |
180 |
170 |
|
670 |
2,8 |
2,80 |
11,0 |
45 |
45 |
180 |
710 |
710 |
||
|
3,00 |
12,0 |
11,5 |
|
48 |
200 |
190 |
|
750 |
3,2 |
3,20 |
12,0 |
50 |
50 |
200 |
800 |
800 |
||
|
3,40 |
14,0 |
13,0 |
|
53 |
220 |
210 |
|
850 |
3,6 |
3,60 |
14,0 |
56 |
56 |
220 |
900 |
900 |
||
|
3,80 |
|
15,0 |
|
60 |
|
240 |
|
950 |
Примечание. *Из установленных стандартом рядов (Ra 5, Ra 10, Ra 20, Ra 40) приведены ряды Ra 20, Ra 40 с более мелкой градацией.
170