книги / Разрушение квазихрупких тел с трещинами при сложном напряженном состоянии
..pdfлентном нагружении и напряженно-деформированного состояния в теле с трещиной, на поверхности которой действуют нормальные напряжения
а<2>(х, у» 0) = |
— а<» |
(х, у, 0), |
(*, у) 6 5. |
(1.5) |
Здесь S — область трещины; |
crz(1)(*> у, |
0), crz(2)(*, |
У, 0) — |
|
функции нормальных |
напряжений в плоскости 2 = 0 со |
ответственно для первого и второго напряженных со стояний.
Первое напряженное состояние не зависит от пара метров трещины, поэтому величину б будет определять только второе напряженное состояние. Так как трещина считается макроскопической, то конфигурация зоны предразрушения в окрестности контура L и напряженнодеформированное состояние в ней будут такими, как в случае неограниченного тела с полубесконечной трещи ной при эквивалентном нагружении. Поэтому рассмот рим вспомогательную задачу о напряженно-деформиро ванном состоянии неограниченного тела с полубесконеч ной трещиной, подвергнутого воздействию внешних усилий, вызывающих в окрестности контура трещины напряженное состояние, которое описывается коэффици
ентом интенсивности |
напряжений Кь совпадающим с |
^Ci(р, ф) для основной |
задачи. |
Как и в работе [62], зону предразрушения вдоль кон тура трещины моделируем двумя полосами пластическо го скольжения шириной /, направленными под углом а к плоскости расположения трещины (рис. 1, в). Тогда определение напряженно-деформированного состояния в теле сведется к упругой задаче для неограниченной плос
olO -cU )
где г| = - 5—s— — ; а* — значение угла а для наибольшей
ширины I пластической зоны.
Решая это уравнение, для определения ос* получаем
такую приближенную формулу: |
|
а* = 71° — т]26°. |
(1.9; |
Тогда на основании соотношений (1.4) и (1.8) кри терий (1.3) для задач теории трещин можно записать так:
К\{р*, Ф*) = BhhEf~l («*) (1 - У*Г1К — та (а*)], (1.10)
где значения угла ср* находятся из условия максимума
левой части выражения |
(1.3), т. е. из уравнения |
|
|||
_а |
(Р*. ф )/(«* ) |
= 0. |
( 1. 11) |
||
дер |
Ts |
та (а*) _ф=ф* |
|||
|
|
||||
При двухосном растяжении—сжатии в зоне предразруше- |
|||||
ния напряжениями |
о” * и а(1 величина деформации |
разру |
|||
шения материала |
будет |
являться функцией параметра |
|||
т1о = а<')/а(». |
|
|
|
|
По аналогии с известным [46] определением пласти ческой деформации при двухосном растяжении — сжа тии выражение для деформации разрушения материала представим в виде
6ft (Ло) = 8fc/o К), /о Ы = 1 — «оЛо- |
(Ы2) |
Здесь ао — неизвестная величина — характеристика раз рушения материала при сложном напряженном состоя нии, которая устанавливается экспериментально; ги — значение величины деформации разрушения материала при одноосном растяжении.
Если |
параметр г| = 0 , то из |
условия (1.11) следует |
|
критерий |
Ирвина: |
|
|
|
KI (/>*.9*) = |
/Cic, |
(U3) |
где характеристика вязкости |
разрушения |
Кю связана |
с параметром h и величиной е* следующим |
соотноше |
нием: |
|
Klc = У 4,5hExsth( l - v 2)-i. |
(1.14) |
1C учетом равенств (1.12) и (1.14) уравнение (1.11) можно записать еще так:
К\ (/>*, ф*) = 0,(2) К гсГ1(а*) /о Ы |
К — («*)]■ (I-15) |
На основании уравнений (1.12) и (1.15) можно опре делить предельное значение р= р * внешнего напряже ния, а также характеристику Kic вязкости разрушения материала для различных силовых схем нагружения тел
стрещинами.
Пр и м е р . Рассмотрим задачу Гриффитса о растя жении в неограниченно удаленных точках равномерно распределенными усилиями р толстой (случай плоской деформации) пластины, ослабленной трещиной длины 2а. Определяя коэффициент интенсивности напряжений Ki по результатам работы [34], а также используя урав нение (1.15), для вычисления предельного значения внешней нагрузки р=р* получаем формулу
р* = 2ат[sin 2а* + Vsin2 2а*+56,5256а?аКш/: (а*)]-1 .
(1.16)
где OT= 2 TS — предел текучести на растяжение.
При стремлении а-Я) функция (1.16) дает корректное значение предельной нагрузки, которое равно пределу прочности бездефектного материала. На рис. 2 по фор-
нения также приведены результаты (кривая 2), получен ные для этой задачи на основании критерия Ирвина (1.13). Например, при ао~3,9, что, как следует из ниже изложенного, соответствует случаю макротрещины, пре дельное значение внешней нагрузки р*, подсчитанное по формуле (1.16), на 14% меньше соответствующего зна чения, найденного на основании критерия Ирвина (1.13). Это является результатом учета в предлагаемой модели регулярной части функции растягивающих напряжений, действующих в окрестности контура трещины.
Условия автомодельности. Критериальное уравнение (1.15) качественно определяет изменение предельного значения внешней нагрузки, вообще говоря, для всех размеров тела и содержащихся в нем трещин. Однако количественное значение таким образом вычисленной нагрузки в случае не макроскопических трещин будет отличаться от точного. Это связано с тем, что при выводе уравнения (1.15) предполагаются макроскопические раз меры тела и трещины, при которых напряженно-дефор мированное состояние в зоне предразрушения описыва ется коэффициентом интенсивности напряжений Къ Для полноты предлагаемой расчетной модели необходимо установить математические соотношения (условия авто модельности), определяющие оптимальные размеры тела и трещины, которые обеспечивают правомерность при менения критериального уравнения (1.15). Эту задачу решаем следующим образом [38]. Пусть геометрические размеры тела и трещины характеризуются линейными параметрами at {i= 1, 2, ..., m). При стремлении а ^ о о получаем неограниченное тело с разрезом в виде полу плоскости. Величину растягивающих напряжений а2(*о,
О, 0) |
на границе зоны предразрушения (рис. 3) |
х = х 0 |
|
представим |
в следующем виде: |
|
|
Ох(х0,0,0) = |
(2лх0 - 1/2К1(р,а1, ... ,ат /(°>(Х0 ... Д т ), |
(1.17) |
|
где |
= х 0а~1, /°(Я,1, ...Д т ) — безразмерная функция от |
безразмерных параметров А,г, которая находится из решения задачи упругого равновесия; х0= / cos а*.
Предполагаем, что если на промежутке [0, хо] напря жения сг2(хо, 0, 0) описываются коэффициентом интен сивности напряжений Ki, то этот коэффициент опреде ляет напряженно-деформированное состояние во всей
области предразрушения 0i (см. рис. 3). Поэтому, чтобы зона предразрушения находилась в условиях состояния плоской деформации и соответствовала случаю полубесконечной трещины, необходимо выполнение равенства
fi0)(K - Д т ) = 1. |
(1.18) |
справедливого только при неограниченно больших по сравнению с Хо значениях а*. Для установления прак тически применимых размеров а\ соотношение (1.18) за пишем неравенством
|/(0)(Ь1,...Ь т ) - 1 1 < 0 ,0 9 , |
(1-19) |
которое обеспечивает выполнение условий автомодель ности распространения трещины с погрешностью не бо лее 9%. Поверхность
Д т ) - 11 = 0,09 |
(1.20) |
в системе координат OXi, ..., Хт ограничивает область W значений Xi, обеспечивающих выполнение условий авто модельности зоны предразрушения с упомянутой выше точностью. Как следует из сказанного, число независи мых параметров Xiздесь будет w— 1. Поэтому, выбрав оптимальные значения параметров Xi=X{k (£= 1, 2, ..., т— 1), принадлежащих области W, и определив по этим значениям и соотношениям (1.20) величину Хт= Х т*, для установления условий автомодельности найдем соот ношения
(* = l,2 ,...,m ). |
(1.21) |
Заменяя в неравенствах (1.21) параметры Xi их вы ражениями через геометрические параметры тела, тре щины и размер зоны предразрушения /, а также исполь зуя соотношение (1.7), получаем
^ > 0,01 145/CI2C COS а*тГ2 (А,*)-1 [1 — cos (За* — 30°)]2 х
Х(1 — т] sin 2а*)-2 ( / = 1, 2,... , т). |
(1.22) |
Соотношения (1.22) являются условиями автомодель ности зоны предразрушения и определяют оптимальные (в смысле принятой выше точности) значения геометри ческих размеров тела и трещины яг-, для которых право мерно использование критериального уравнения (1.15).
П р и м е р . Исследуем условие автомодельности для рассмотренной выше задачи Гриффитса. На основании соотношения (1.17) и результатов работы [34] функцию /W(A) для данного случая запишем вследующем виде:
(*•=-&)• (1-2)
Подставляя значение функции /(0)(А,) из равенства (1.23) в неравенство (1.19) и решая это неравенство от носительно Я, находим, что
0,0616. (1.24)
Тогда условие автомодельности (1.22) для данного случая запишется так:
2а > 0,1858/С1стГ2 cos а* [1 — cos (За* — ЗО0)]2 х
X (1 — г] sin 2а*)~2. |
(1.25) |
Следовательно, решение задачи Гриффитса в виде (1.16) является корректным, если длина трещины удов летворяет условию (1.25).
Определение вязкости разрушения К\с материала че
рез его механические характеристики и параметр струк туры. Существующие методы определения характеристи ки Кю (см., например, работы [9, 15, 16, 34, 38, 44, 61]) основаны преимущественно на экспериментальном ис следовании разрушения образцов с трещинами по из вестным силовым схемам нагружения. Для достаточно пластичных материалов такая оценка связана со значи тельными трудностями в изготовлении образцов больших размеров и в технической реализации опыта. По этой причине некоторыми исследователями были сделаны попытки установить [24, 50] вязкость разрушения Кю материала через некоторые механические характеристи ки и параметры структуры. Однако полученные [50, 71, 72, 76, 80] аналитические зависимости носили полуэмпирический характер и практически хорошо согласовыва лись только с теми экспериментальными данными, на основании которых они фактически найдены.
В рамках предложенной выше расчетной модели ана литически найдена формула для оценки вязкости разру шения материала через его механические характеристи
|
|
|
|
|
|
ки |
и параметр |
структуры. |
|||||
К1С |
|
|
|
/ |
( |
Эта |
формула |
имеет доста |
|||||
200 |
|
|
|
• шЛг |
|
точно универсальный харак |
|||||||
|
|
у * |
° |
• |
тер и расчеты по ней хорошо |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
150 |
|
|
|
|
согласуются |
|
с |
известными |
|||||
|
|
|
|
|
экспериментальными |
дан |
|||||||
|
|
/• |
|
|
|
ными. |
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
Используя |
|
результаты |
||||||
|
с / |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
работы |
[54], |
деформацию |
|||||
50 |
|
|
|
|
|
разрушения |
гк |
определяем |
|||||
|
|
|
|
|
|
приближенно |
через |
величи |
|||||
|
|
|
|
|
|
ну относительного |
сужения |
||||||
.0 |
50 |
W0 |
150 |
200 К'£ |
гладкого образца ф по такой |
||||||||
|
|
Рис. 4 |
|
|
|
формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8л = |
1п(1 — 'Ф)-1 - |
(1-26) |
||||
|
На основании соотношений (1.14) и (1.26) выражение |
||||||||||||
для вязкости разрушения запишем так: |
|
|
|
|
|
||||||||
|
К 1С— |
4,5/ITs£ (1 — v2)-1 In (1 - |
ip)"1. |
|
|
(1.27) |
|||||||
|
Если |
положить |
4,5 Л =р |
и величину |
р считать |
неко |
торым характеристическим параметром структуры ма териала, соотношение (1.27) примет вид
К1С= У pxsE(l — v2)-1 In (1 - у ) ' 1. |
(1.28) |
Формула (1.28) проверялась результатами экспери ментальных исследований, проведенных ранее другими авторами [51, 77]. При этом для термоупрочненных ста лей величина р принималась равной размеру первичного аустенитного зерна. С целью сравнения на рис. 4 пред ставлены значения /Cic(p) для сталей 4340 (треугольни ки), 45ХН2МФА (квадратики), 40Х (кружочки), подсчи танные по формуле (1.28), и значения Кю{э\ найденные экспериментально [51, 57]. Результаты этого сравнения свидетельствуют в пользу формулы (1.28).
Для многих материалов определение величины р че рез структурные характеристики связано со значитель ными трудностями. В этом случае довольно эффектив ным может оказаться следующий способ. Поскольку с понижением температуры структура для многих мате риалов мало изменяется, то и параметр р также практи
чески постоянен. Поэтому, определив по известным ме тодикам на малых образцах при низкой температуре (температуре жидкого азота — 196°С) вязкость разруше ния Kic, а также установив характеристики ts, Е, v, ф по стандартным методикам, можно по формуле (1.28) подсчитать параметр р. В дальнейшем в случае оценки Kic для данного материала при какой-либо другой тем пературе находят лишь характеристики т«, Е, v, ф для этой температуры. Затем, после подстановки этих зна чений в формулу (1.28) вместе с найденным ранее зна чением параметра р, вычисляют величину Kic- Такой способ является особенно эффективным при установле нии вязкости разрушения достаточно пластичных мате риалов, когда обычные методики предусматривают ис пытание образцов больших размеров.
3. Общее решение задачи термоупругого равновесия
При определении упругого и термоупругого состояний трехмерных тел с трещинами особенно важным является правильный выбор общего решения уравнений термо упругого равновесия
(1 — 2v) Ды + graddiv и —2а<°> (1 + v) gradТ= 0, (1.29) |
|||||
*> |
смещений; |
Т — функция распределения |
|||
где и — вектор |
|||||
температуры в |
теле; |
а(0) — коэффициент теплового расши- |
|||
д2 |
д2 |
д2 |
2-; |
x,y,z — декартовые |
коорди |
рения; Д = - ^ |
+ - ^ |
+ -^ |
|||
наты. |
|
|
|
|
|
Известные |
представления |
[25, 32, 33, 43, 57] |
Папко- |
||
вича — Нейбера, Галеркина, |
Кельвина и других |
иссле |
дователей обладают большой общностью, однако мало эффективны при решении некоторых частных задач, на пример для случаев трещин с плоскими поверхностями.
В настоящем параграфе получено [5] общее решение
уравнений (1.29) в случае полупространства. |
|
Теорема 1. Если в |
упругом полупространстве 2 ^ 0 |
отсутствуют объемные |
силы, источники тепла и |
т 1**00= 0; |
= 0, |
(1.30) |
|
2^00 |
|
то разложение вида |
|
|
2ри = 2 grad div Ф — 2(1 — v )-^ - + |
(1 — 2v)(grad03 — |
|
— а 3 div ф) — 2а(0)р (1 + v) j* ^ grad Тdzdz — |
|
|
2 |
2 |
|
— 4 а 3р а «»(1 + v ) jTd2 |
(1.31) |
2
(здесь а1эа2, а3 — направляющие единичные вектора прямо угольной системы декартовых координат Oxyz) является решением уравнения (1.29), а проекции Ф4, Ф2 и Ф3 гар
монического вектора Ф = Ф (ф4, Ф2, Ф3) определяют в плос кости z = 0 соответственно касательные и нормальные напряжения.
Для доказательства этой теоремы и установления соотношения (1.31) поступим следующим образом. В свя
зи с тем что в прямоугольной системе декартовых коор- ■>
динат компоненты вектора перемещений и являются бигармоническими функциями, разложение этого вектора можно представить через гармонические вектор-функции
ф =ф (ф 1, ф2, фз) и ЧГ= Ч Г(ЧГ1, Ф2, Фз) в виде
2|xu = |
z grad div ф - f |
Ф. |
(1.32) |
|
Подставляя соотношение |
(1.32) в |
уравнение (1.29), на- |
||
•> |
-> |
связаны соотношением |
|
|
ходим, что функции ф и ¥ |
|
div |
1- 4v)-§L]=4a(>(1'+v)T- a-3) |
Ф + (3- |
Используя результаты работ [55, 64], можно пока зать, что для исследования термоупругого равновесия рассматриваемого тела достаточно только трех гармо нических функций. В связи с этим определим вектор-
функцию Ф через компоненты вектора ср и функцию Т распределения температуры в теле следующим образом.
Ф = — 2(1 — v )-J - + (l — 2v) (grad Ф3 — а3 div ф) —