книги / Теоретическая механика и её приложения к решению задач биомеханики

Решение. В такой постанов­ ке задачи человек представляет­ ся как материальная точка и ее количество движения равно произведению массы на ско­ рость (о = 1,5 м/с):

Q = Ми = 105 кгм/с.

Учтем реальное движение человека и оценим, насколько точной является такая модель. Для этого определим количест­ во движения по формуле (6.6) через скорость движения центра масс человека.

Центр масс человека расположен в области первых крестцовых позвонков на высоте от пола (для стоящего человека), составляю­ щей 57-58 % роста мужчины и 55-57 % женщины [11]. При ходьбе центр масс человека движется по кривой, близкой к синусоиде, с вертикальной амплитудой А, равной в среднем 2,5 см, и с перио­ дом, равным половине периода ходьбы, на котором центр тяжести совершает два полных колебания.

Вертикальные колебания центра масс опишем уравнением

Ус = Уо + j 4sin<DT,

где со — круговая частота колебаний. Вертикальная скорость центра масс

1>су = Ус = Люcosсо/.

Амплитуда скорости Аса =А-2п/(х/2), где т — период ходьбы. При данной скорости движения длина шага примерно равна 0,75 м. Тогда можно определить период ходьбы т, он будет равен 1 с, и

Аса = 0,025-4я = 0,314 м/с.

Максимальное значение вертикальной компоненты количества движения Qy, равной МиСу достигает величины М Аса = 22 кгм/с.

Модуль количества движения

Qm= № + Q l =л/Ю52 + 2 2 1 = 107,3 кгм/с.

Учет вертикального движения центра масс дает поправку в пер­ воначальный результат, равную 2,2 %. Однако отклонение вектора Q от горизонтали более существенно. Максимальное значение угла отклонения а т = arccos(Qx/Q m) = 12°. Заметим, что Qx при ходьбе

также претерпевает изменения, которые оценить сложнее, так же как и поперечную компоненту Q .

6.2. Теоремы о количестве движения материальной точки и системы материальных точек

в дифференциальной форме

По второму закону Ньютона произведение массы материаль­ ной точки на ее ускорение равно силе, действующей на материаль­ ную точку,

т— — г .

Л

Если масса постоянна, то ее можно внести под знак производной:

=

(6.7)

ТЕОРЕМА. Производная по времени от количества движения материальной точки равна силе, приложенной к точке.

Перейдем к рассмотрению системы п материальных точек. Применим теорему (6.7) для к-й точки системы:

j t {mku k) = F ; +Fk-, к = ~ п ,

(6.8)

где Fk и Fk — соответственно внешняя и внутренняя силы, дейст­ вующие на к-ю точку. Просуммируем (6.8) по всем точкам системы:

1 a t

к=1

'

Используя свойства сумм и производной, преобразуем уравне­ ние к виду

И, наконец, с учетом (6.1) и (4.1) получим теорему для системы в дифференциальной форме:

(6.9)

ТЕОРЕМА. Производная по времени от количества движения механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

Спроектируем левую и правую части (6.9), например, на ось х:

(6.10)

ТЕОРЕМА. Производная по времени от проекции количества движения системы на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил на эту ось.

Уравнения (6.9) и (6.10) дают векторную и координатную фор­ мы записи теоремы о количестве движения системы в дифференци­ альной форме.

6.2.1. Условия сохранения количества движения системы

Теоремы о количестве движения системы (6.9) и (6.10) позволя­ ют установить условия действия сил, при которых вектор количест­ ва движения системы Q или его проекция на какую-либо ось сохра­ няются.

1. Если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю, то количество движения механической системы сохраняется:

£ / V = 0 = » ^ . = 0 = » 6 = const.

(6.И)

2. Если алгебраическая сумма проекций всех внешних сил на некоторую ось равна нулю, то проекция количества движения меха­ нической системы на эту ось сохраняется:

	П	</gx	О =>■ Qx = const.	(6.12)
	E F* =
		dt

Условия сохранения количества движения используются для расчета скоростей при передаче движения от одного тела к другому, например при забивании свай, ударе молота о наковальню, движе­ нии точки переменной массы. Рассмотрим достаточно общий при­ мер взаимодействия двух тел.

6.2.1.1. Пример. Удар бильярдных шаров

Определить, с какой скоростью о, должен ударить один биль­ ярдный шар по другому неподвижному шару, чтобы последний по­ сле удара приобрел заданную скорость и2. Удар считать прямым центральным. Отношение относительных скоростей шаров по от­ ношению друг к другу после удара и до удара равно к (коэффициент восстановления).

Решение. Обозначим абсолютные скорости шаров до удара и ,, а после удара и,. При прямом центральном ударе все скорости на­ правлены по прямой, соединяющей центры шаров. Силы, возни­ кающие при ударе, велики и на несколько порядков превышают не­ ударные силы. Для системы двух шаров ударные силы их взаимо­ действия являются внутренними, а внешними неударными силами во время удара можно пренебречь (так как время соударения мало),

л__

т.е. считать, что У .F/ = 0. Тогда из условия сохранения Q (6.11)

к=\

получим, что количества движения системы до удара и после удара одинаковы:

miO, + wi2 u2 = tri\U 1 + M 2U 2,

что в проекции на ось х (рис. 6.3) приводит к уравнению

/И,и,х + /n 2t>2i = Щ Щ х + Щ » 2х-

(6.13)

Второе уравнение получим из определения коэффициента вос­ становления (ии > о 2 х , и2х> и 1х):

к _ и2х ~ иХх

O i x - o 2i’

кО\х ~ кх>2Х ——U\x U2X.

(6.14)

Уравнения (6.13) и (6.14) оп­	X
ределяют связь между скоростями
шаров до удара (и,) и после удара	Рис 6
(и,) и необходимы для решения
различных задач удара двух тел.
В рассматриваемом примере о 2х = 0, и2х —	определить на-
до и и = о 1, причем щх также неизвестно.

При тп\ = т2 = т (6.13) и (6.14) приводятся к виду

и, - и 1х = и2,

koi + U\x — и2.

Система имеет единственное решение

0|	2иг	Щ х =	1 — к	и2.
	\ + £		1 И- Лг

При абсолютно упругом ударе, когда относительные скорости полностью восстанавливаются, коэффициент к = 1 и решение упро­ щается:

и, = и 2, и]х = 0.

Шары как бы обмениваются скоростями.

В случае абсолютно неупругого удара (к = 0) скорость

и ,= 2 м 2, иХх = и2.

Для шаров из стекла (Лг = 15/16) результат будет близким к ре­ зультату абсолютно упругого удара:

30	1
и, = — и2,	иХх= — и2.

6.3. Теоремы об изменении количества движения системы в конечной форме

Сначала введем понятие импульса силы — характеристики, связанной с длительностью воздействия силы.

Элементарный импульс равен произведению силы на элемен­ тарный промежуток времени:

Импульс силы за конечный промежуток времени — определен­ ный интеграл от элементарного импульса:

(6.16)

о

На практике обычно пользуются проекциями импульса на ко­ ординатные оси:

Sx = f F x(t)dt,	S y = fF ,(t)d t,	S z = j* Fz(i)dt. (6.17)
о	о	о

В простейшем случае, если, например, Fx = const, то Sx =Fxt. При постоянной силе импульс равен произведению силы на проме­ жуток времени действия силы.

Влияние каждого из факторов (силы и времени) на импульс можно проиллюстрировать следующими примерами. Так, при ударном взаимодействии тел время удара составляет десятитысяч­ ные доли секунды, а ударные силы на несколько порядков превы­ шают неударные. Напротив, в так называемых фотонных двигате­ лях межзвездных космических кораблей будущего малая сила тяги действует в течение длительного времени (годы). В обоих случаях импульс силы конечен.

Перейдем к выводу теорем об изменении количества движения системы. Рассмотрим движение механической системы под дейст­ вием сил в течение конечного промежутка времени [0, t]. В уравне­ нии (6.9) разделим переменные и проинтегрируем:

п

(6.18)

t

S£ = f F k'dt,

О

где QQ, Q — значения количества движения системы в начале и в конце промежутка времени,

Sk — импульс к-й внешней силы.

ТЕОРЕМА. Изменение количества движения механической системы за конечный промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил за тот же промежуток времени.

В координатной форме уравнение (6.18) принимает вид

п

(6.19)

Здесь в правой части уравнения стоит алгебраическая сумма проекций импульсов внешних сил на ось х.

Теоремы (6.9) и (6.18) связывают изменение суммарной меры движения системы с силами, которые приложены к системе. Важно, что в суммарных уравнениях из рассмотрения исключаются внут­ ренние сипы. Косвенно внутренние силы влияют на изменение ко­ личества движения системы. Так, при ходьбе человека в определен­ ной фазе шага мускульные усилия (внутренние силы) приводят к образованию силы трения (внешняя сила), действующей на стопу человека со стороны опорной поверхности, которая и вызывает из­ менение горизонтальной составляющей количества движения чело­ века Qx. Однако при отсутствии сцепления с поверхностью никакие мускульные усилия не могут повлиять на Qx.

Теоремы об изменении количества движения находят примене­ ние в динамике сплошных сред. Ниже дается один из примеров та­ кого применения.

6.3.1. Пример. Давление наконечника пожарного шланга

Определить горизонтальную составляющую давления изогну­ того наконечника АОВ пожарного шланга на руки пожарного С, ес­ ли угол изгиба наконечника а = 30°, площадь внутреннего сечения 5 = 1 6 см2, а скорость струи воды и = 20 м/с (рис. 6.4).

Решение. Полагаем, что на наконечник со стороны рук пожар­ ного наложена связь, которую будем считать жесткой заделкой. По­ этому наконечник будем считать неподвижным и сначала рассмот­ рим течение в нем воды (рис. 6.5).

Рис. 6.4

Теорему (6.18) приме­ ним для столбика воды, подходящей к изгибу нако­ нечника. Высоту столбика примем равной ut, где t — промежуток времени, в те­

чение	которого	вся	жид­
кость	столбика	перейдет
в горизонтальное		колено
наконечника. Масса			стол-

бика М= pSut, где р — плотность воды. Количество движения столбика воды до и после перетекания найдем по формуле (6.6),

Q o = Q = Л /о = р S v 2 1.

( 6 . 2 0 )

Обозначим через S импульс внешних сил, действующих на столбик в промежутке време­ ни от 0 до и Тогда (6.18) для промежутка време­

ни [0, t] запишется в виде
Q - Q o = S .	(6.21)

Вектор»? легко найти графически (рис. 6.6), однако нам нужна его проекция на ось х, которую найдем из (6.21) с учетом (6.20),

При равномерном течении воды реакция стенок R постоянна, поэтому

Sx = Xt,

(6.23)

где X — проекция реакции R на ось х. Из (6.22) и (6.23)

X = рЛт2 (1 - cos а).

(6.24)

Ha стенки наконечника со стороны воды будет действовать го­ ризонтальная сила, равная (-Х). В горизонтальном направлении на наконечник действует также сила X с— составляющая реакции рук пожарного. Тогда из уравнения равновесия наконечника с учетом (6.24) получим

5 ^ = 0; Х с - Х = 0,

Х с = р£и2 (1 —cosa).

Сила горизонтального давления наконечника на руки пожарно­ го Х'с обратна по направлению:

Х'с = —pSu2(l —cosa).

При р = 1000 кг/м3, S = 0,0016 м2, о = 20 м/с, a = 30° получим ответ:

Х'с = -8 5 ,8 Н.

Составляющая силы давления на руки направлена против оси х.

6.3.2.Пример. Игрок в американский футбол ударяется

обетонную стену

Gus Ferrotte, бывший разыгрывающий Washington Redskins, за­ считал на свой счет тачдаун в матче против New York Giants в 1997 г. и затем в возбуждении от момента ударил головой стоя­ щую рядом бетонную стену. На голове атлета была каска, тем не ме­ нее он повредил свою шею и стал объектом для шуток. Он заявил телерепортерам: «Я мог бы ударить головой любого футбольного

игрока после тачдауна и с моей шеей ничего бы не случилось». Есть ли какие-либо отличия между ударом головой футбольного игрока и ударом головой о бетонную стену?

Решение. Предположим, что Газ представляет собой объект массы гп\, и футболист, которого он бьет головой, имеет массу т2- Эти массы имеют примерно одинаковое значение. Предполагаем, что перед столкновением атлет имел скорость о 0, а другой футбо­ лист находился в покое, считая также, что после столкновения они движутся вместе со скоростью о. Так как ударные силы для системы в целом являются внутренними силами, то при ударе количество движения системы сохраняется. Если принять, что гп\ =тг, то о \ = о 0/2. По теореме (6.18), примененной для бегущего игрока, суммарный импульс сил будет равен -miU0/2.

Если же игрок ударяет голо­ вой стену, то после удара ско­ рость его будет равна 0, и изме­ нение количества движения за время удара равно —nijOo. 0 со­ ответствии с (6.18) ударный Им­ пульс будет равен этому значе­ нию.

Таким образом, при ударе игрока о неподвижную стену Им­ пульс ударных сил по абсоЯНггной величине увеличивайся в 2 раза.

Приведенный пример носит оценочный характер, так как я Нем полагается, что вся масса игрока сосредоточена в голове.

6.4.Контрольные вопросы

1.Постройте векторный многоугольник для количества д в о е ­ ния системы в соответствии с формулой (6.1).

2.Чему равно изменение количества движения системы, если геометрическая сумма внешних сил равна нулю?

3.Дайте определение импульса силы за конечный промежуток времени.