книги / Уравнения математической физики методы решения задач
..pdfО x+a(t-r) / x+a(t-r)
“(*.<)= j| | |
F {4 ,№ + |
j i i e . r t e |
dr+ |
J |
jF(£,r)/<*tfr = |
|
|
_x-a(t-r) |
|
О |
|
T*x-a(l-T) |
|
г* |
0 |
х+я(/-г) |
t х+аЦ-т) |
|||
|
|
|
dr+ J |
\ m |
m d r . |
|
0 |
x -a(t-r) |
|
0 |
T*x-a(t-r) |
Далее, используя свойство нечетности функции и сделав замену в первом интеграле, получим:
т*х+а(1-т) |
t x+a(t~T) |
«(*.0= J J f(^,r)d^dr+ |
J | f{^,r)d^dT |
О в(к )-* |
т*х-а(/-т) |
Отсюда, объединяя полученные ответы, решение задачи принимает вид
t x+a(t-r) |
|
|
|
|
f |
f(^,r)d^dT, x>0,t < — , |
|||
t\x-a{t-r) |
|
a |
|
|
u(x,t) = |
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
~a a{t-r)+x |
|
|
|
|
J |
I f{^^)d ^d r + |
J |
J |
f(^,r]d^dr,x > 0 ,t> —. |
0 a(t-r)-x |
t_x_ a(t-r}-x |
° |
||
Задача 3.6. Решить задачу |
|
|
|
|
|
ult = a2uxx, |
x > 0, / > 0, |
“L o = F (>1
И,_о = И<1„0 = ° Решение. Граничный режим вызовет волну, распространяющуюся от гра
ницы х = 0 в положительном направлении оси х со скоростью а . Поэто му решение будем искать в виде u(x,t) = f( x - at). Из начального и крае вого условий вытекает
и|/=о= ^0О = 0’ *> 0, |
(3.4.6) |
и, |,=0 = -«/'(*) = °> х>0 . |
(3.4.7) |
Глава 4. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
4.1. Принцип суперпозиции
При решении различных краевых задач для уравнений в частных производных (в частности для решения задачи Коши) бывает полезно сводить задачу к совокупности более простых задач, часть условий кото рых становятся однородными, используя множество операторов входя щих в уравнения или краевые условия. Рассмотрим абстрактную идею
принципа суперпозиции. Пусть дана задача |
|
|
Lu = f{x,t), |
x e D c z R " , t > 0, |
(4 11) |
Pku = (pk(x), |
x € Lk (k = 1,л). |
|
где L:C 2(D )-±C(D ) - линейный оператор, Pk :Mk —> C(Lk) - линейный
функционал, М к cC (Z A), Lk cd D (&= 1,п). Из линейности L, Рк вы текает, что решение ы(х) задачи (4.1) представимо в виде
« М = £ « * М . |
(4-1-2) |
|
где ик - решения задач |
*=о |
|
|
|
|
fZw0 = /(x), |
х е Д |
|
(Д и0 =0, |
к = \,п, |
|
Luj =0, |
х е D, |
|
■PjUj = (pj (х), |
x e L j , |
[j = 1,и) |
PkUj= 0, |
k - \ , n j ^ k . |
|
Предлагаем непосредственно проверить равенство (4.1.2). Каждая из по лученных п +1 задач часто бывает проще исходной тем, что в ней необ ходимо оставить либо только уравнение, либо одно из краевых условий. Аналогично можно разбить в случае необходимости задачу (4.1.2) на сис тему из т < п задач, каждая из которых содержит неоднородность в ка кой-либо части граничных условий. Например, и = v1+ v2 + v3, где vk
есть решения задач
fZv, = /(*), |
x e D , |
|
[P/tv1=0, |
k = \,n, |
|
Zv2 =0, |
x e |
D, |
- Pkv2 =<pk(x), |
x e L k,k = \,m, |
|
Pkv2 =0, |
к = m + \,n, |
|
Zv3 =0, |
x e D, |
|
■Pkv2 = 0, |
k = \,m, |
|
^ v3 = ^ л (4 |
x e Lk,k = m + \,n. |
|
Задача 4.1. Решить смешанную задачу |
|
|
и„ = а2ихх + f{x,t), |
I > 0, х > 0, |
|
М о = М > |
|
|
H/=O = P W ’ м/ Ц |
= ^ ( 4 |
Решение. Согласно принципу суперпозиции |
и=и\ +и2 + и3, где ик - ре |
|||
шения задач, |
|
|
|
|
М и = ^ М |
ы |
V о |
х>0, |
|
_ |
= 0, |
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
II |
|
|
|
|
Ы = о = <р(х), |
M L |
=■- v (x \ |
||
М и = а2 М |
ы |
|
t >0. |
Ю*IIО = 0,
Ы, =о - Ы | „ ■0=°’
<
- 2(-з)^ . <> о, х > 0, - ("3 С-0 = м{<),
= (“з),|,в.0 = ° Решения задач ик, к = \,т найдены в 3.2 (см. задачи 3.3 - 3.5).
Если не удается разбить исходную задачу на несколько вспомога тельных задач описанным выше способом, бывает полезно освободиться от неоднородностей, входящих в часть граничных условий. Пусть для оп ределенности требуется сделать однородными первые т<п граничных
условий в задаче (4.1.1). Ищем и(х) в виде |
т |
u ( x ) = ^ w k(JC), где w^(x) |
|
удовлетворяют условиям |
к=1 |
|
|
pkwk(x) = <Pk{x\ x ^ pk |
(4.1.3). |
Как правило, такое выражение функции неоднозначно, но не представля ет технических трудностей в конкретных ситуациях. Предположим, что wk(х) найдены. Подставляя (4.1.3) в уравнения и граничные условия, по
лучаем
т
Lu = Lv + Y , Lwk = /(* )’
Л=1
т
P jU = P jV + ] Г P jW j = PjV + <
М
Таким образом, сводим исходную задачу к новой краевой задаче для функции v:
Lv = F(x), |
х е Д |
|
|
|
PjV = 0, |
j = l,m, |
|
|
|
PjV = Фj (x), |
x e L j, |
j |
= m + l,n, |
|
m |
m |
|
/ |
_________________ч |
где F = / - ^ Lwk, Фу = <Pj ~ ^ |
Pwk |
\J = m + \,n). Эта задача пред- |
||
k=l |
k=i |
|
|
почтительнее тем, что в ней первые т граничных условий однородные. Рассмотрим частный случай краевой задачи для волнового уравне
ния. |
|
|
|
Lu = f(x,t), |
t> 0, |
0 < х < /, |
(4-1.4) |
(ссих + 0и]х=о = n{t), |
{уих + ди\х=1 = v(r), |
(4.1.5) |
|
Ч=о = <piA |
|f=0 = у/{х). |
(4.1.6) |
Один из возможных вариантов (стремимся к тому, чтобы функция имела
более |
простой |
вид) |
c(t) = |
A(t) = О, B(t) = v(f). |
Получим |
||
co(x,t)=v(t)x + //(/). Подставим функцию |
и |
в виде |
u = v + co |
в исходное |
|||
уравнение и начальные условия |
|
|
|
|
|
||
|
Vtt +(Оц —Q (ухх + &хх )+ |
|
|
|
|
||
|
vlt + v"{f)x + pi"{t) = a2vxx + |
|
|
|
|
||
|
Ч-о + 4= o = 0 => vLo = "4 = o = |
W |
|
||||
Ответ: с помощью замены u(x,t) = co(x,t)+ |
+ /u(t) задача сводится к |
||||||
задаче |
|
|
|
|
|
|
|
|
v, = a2vxx + f{x,t)-v"{t)x - //(x), t > 0, 0 < x < l, |
|
|||||
|
• т|д=0 = v |
j =/ = 0, |
|
|
|
|
|
4=o= -4°)* ■ 4°)>v/L =4*)- y'(°)x - 4 °)
Задача 4.2. Освободиться от неоднородности в граничных условиях: ut = а2ихх -2 u + t x - t 2(l + x),t>0,Q<x<2,
<{их ~5и]х=0 = 5.5/2, и\х_2 =22cost,
Решение: и = v + w, где wудовлетворяет граничным условиям, ищем со гласно (4.1.7)
|я(г)-5С (/) = 5,5/2
[4Л(0 + 2B(t)+ C(t) = 22 cos t.
Удобно положить A(t) =0. Тогда из первого уравнения системы получим
B(t) = 5.5t2 + 5C(t) и подставим во второе, откуда |
|
|
1 lC(t) +1 It2 = 22 cos/ => C(t) = 2cost - 12, |
|
|
|
Л |
|
B(t)= lOcosH- — , |
|
|
( |
t 2 ^ |
(4.1.10) |
w\(x,t) = |
lOcosM-— x +2 cos/ - t ‘ |
|
|
2 |
|
Подставляем и = v + w в начальные условия и в исходное уравнение:
г) |
ut = ихх + 6u + 2t{\.-3t)-6x + 2cosx-cos2x, |
Л |
n |
О |
< x < —, t> 0 |
||
|
|
|
2 |
“*L o = >■ |
= t |
|
4=0 = *• Иногда бывает возможно освободиться от неоднородности как в гранич
ных условиях, так и в уравнении. В частности, если в задаче (4.1.4)- (4.1.6), где f{x,t) = f(x), /i{t) = ju, v(t)=v, т.е. когда неоднородности не зависят от /.
Задача 4.3. Свести задачу к задаче с однородными граничными условия ми и однородным уравнением.
utt = а 2ихх + f(x), t> 0, 0 <х<1, |
(4.1.11) |
BL > = /'- u L , = v ’ |
(4.1.12) |
|
|
"l,.o=«’W. "/|„0 = И 4 |
(4.1.13) |
Решение: u{x,t) ищем в виде u{x,t)~ v(x,t)+ w(x) >где A x) удовлетвори ет (4.1.11), (4.1.12), т.е. является решением задачи
| 0 = a V |
+ /(x), |
(4.1.14) |
||
(w(o) = ji |
w(/) = v. |
|||
|
||||
Интегрируя уравнение, имеем |
|
|
||
1 |
Я |
|
+ ИФ )Х + >К°) • |
|
Ml) = — у |
|
|||
а |
0 0 |
|
||
Из граничных условий задачи (4.14) |
|
|||
|
I У |
|
||
АО = |
2 I |
|
+ w'(°y + M = V> |
|
а |
00 |
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
Отсюда |
la |
оо |
1 |
|
|
|
|
WI |
|
v-M |
|
|
l y |
xy |
|
|
|
X + M + — |
7 |
J J / f e t o |
- / |
• |
(4.1.15) |
||
W = |
l |
|
00 |
00 |
|
|
||
|
|
a / |
|
|
||||
Тогда, очевидно, v удовлетворяет однородному уравнению |
|
|||||||
|
v„ = a 2Vxx + {a2wxx ~ wit)+ / М |
= a2wxx ~ /(* )+ /(*)• |
Ответ: решение u(x,t) представлено в виде w(x/) = v(x,f)+ w(x), где w(x) определяется неравенством (4.1.15), a v(x,/) есть решение задачи
|
v„ = a 2vxr, |
^ > 0, |
0 <х<1, |
||
|
vl „ o = vL./ |
= 0 > |
|
|
|
|
|
|
|
v,|„0 = rW - |
|
Задача 4.4. Привести исходную задачу |
к задаче с однородным уравне |
||||
нием и однородными граничными условиями. |
|||||
|
и( = 4иж - 24х, t > 0, |
0 < х <1, |
|||
|
^ U |
=1 '(«л+«)|х=1 = 2’ |
|||
|
«и>=*(1+* 2)- |
|
|
||
Решение. Ищем |
м(х,/) в виде u{x,t)=v(x,t)+w{x), где w удовлетворяет |
||||
неоднородному уравнению и граничным условиям, т. е. задаче |
|||||
J0 = 4w"-24x, |
|
|
|
|
|
{w'(o) = 1, |
w'(l) + w(l) = 2, |
|
|
|
|
w(x) = x3 + C]X + C2, |
|
|
|
|
|
w'(0)= (зх2 + C,] |
= 1 => C, = 1, |
|
|
||
w'(l) = w(l) = (зх2 + C, + x3 +C,x + C2j |
_ =2=>C2 = -4, |
отсюда w(x) = x3 + x - 4.
Ответ: заменяя u(x/) = v(x,t)+ x3 + x - 4, сводим исходную задачу к следующей задаче с однородными условиями:
vt = ^vxx» *> 0, 0 < х < 1,
v* L o = (v* +vL i =0- vl,-o= 4.