книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений
..pdfC » = y w ( * = 1.2). |
(5.79) |
Величины rj/t даны на рис. 36 отдельно для симмет ричных (а) и обратносимметричных колебаний (б).
Для расчета складок целесообразно применить так называемый полуаиалитический вариант МКЭ.
ГЛАВА 6
КОНСТРУКЦИИ, РАСПОЛОЖЕННЫЕ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
6.1.Расчетная схема задачи
Вусловиях плоской задачи упругое основание и расположенное на нем сооружение заменяют общей дискретной системой конечных элементов той или иной
конфигурации. Эти элементы соединены между собой в узлах. Распределенные объемные силы и распределен ная масса каждого элемента заменяются силами и мас сами, сосредоточенными в узлах. Наиболее удачно для этой задачи использование треугольных конечных эле ментов; прямоугольные элементы применяются тоже. Примеры разделения сооружений и упругого основания показаны на рис. 37.
Во всех точках нанесенной на профиль сетки пред полагаются стержни, которые препятствуют смещениям. В качестве основного конечного элемента принимается
треугольник (см. п. 3.1), изображенный на рис. 38.. Принимается, что перемещения вершин треугольника являются линейными функциями координат:
Щ= сц + а д + а д ; uk = ax + azxh + сад;
а ^ с ^ + а д |
+ а д ; |
(6l) |
vt = а4 + а д -f а д ; |
+ |
' |
V) = а4+ а д + а д , |
|
где и*, и* и t»„ i>*. t/j— соответственно горизонтальные и верти кальныеперемещенияузлов; <Х|—ос—численныекоэффициенты, опре деляемые из единичных состояний; ж<, хн, Xf, Уи Ун, yj — координаты соответствующих точек.
Для определения сц рассматриваются шесть единич ных состояний. Например, пусть И£=1, а все остальные перемещения узлов треугольника равны нулю; это бу дет первое единичное состояние. Шесть коэффициентов Of, соответствующих этому единичному состоянию, оп ределяются из следующей системы уравнений:
<*1+ а д + а д = 1 |
о |
«1+ а д + а д = о |
о |
% + а д -f а д — о |
о |
и, = |
1 |
«4 + а д + а д = ° |
1 |
« 4 + а д + а д = ° |
0 |
a 4 - f а д + а д = 0 |
;о |
Решая эти уравнения для и*=1, получим = а4= а6= ав = 0;
е* = «г___________Ук—У1___________
(*а — (Vi — Ус) — (*/— *с) (у а — у д
__ Ук — У1 .
(6.2)
в„ = ав = 0; Vw = а з + а6 = а = ^ |
• |
|
со |
где © — удвоенная площадь треугольника ifc/. |
|
Спомощью вычисленных относительных деформаций
ех , 8 у и у*1/ найдем напряжения по формулам:
( l + | i ) ( l - 2|i) [це, + (1 — У) e j = |
|
|
(1 |
|
|
'(1 + ц) (1 — 2jx) |
(6.3) |
|
(l + H )(I - 2fi) y±=JLL. rxy =■2(1 + H-) |
||
|
По найденным напряжениям и деформациям опреде лим реакции в связях для вершин треугольника. На пример, горизонтальная реакция в вершине i от смеще ния точки i в горизонтальном направлении на единицу, т. е. от «»= 1,
K lU( = N («*«*+ V 5*+ ххиУху)=
2 0 1 (1 + Р )(1 -2 р ) 1 |
^ |
<а2 |
+ 2(1 + р) |
|
: (XI~ /* )1] = С |
(х, - |
х„)г + (1 — I»)(у,—у / ]• (6.4) |
Для остальных главных реакций формулы будут по лучены из (6.4) круговой перестановкой индексов. По
бочная реакция /гиЛ |
и другие вычисляются |
по сле |
||||
дующим формулам: |
|
|
|
|
|
|
k |
__ _М Г |
Ей- |
(Ук —У1) (*/ — хк) |
, |
||
ulvi |
2 1(1 -f р)(1 —2р) |
(0 |
© |
|
||
|
|
|
|
|
|
(6.5) |
Наконец, |
реакции |
в других |
узлах от |
щ = 1 получа |
||
ются в таком виде: |
|
|
|
|
|
|
Kiuj = С [ 1~ 2* (xj — xh) (xh — xt) -f (1 — p) (yt — |
||||||
|
— Уи)(Ук~ |
|
|
|
(66) |
|
K iVl = C |
(Xj - |
xh) (yt - |
|
yh) + [i (xt — |
|
— xh)(yj — yk)].
Для удобства использования Машинного счета за пись всех операций составим в матричной форме: [5] —
матрица |
деформации одного конечного элемента; |
|||
[£ ]т — транспонированная матрица деформации; |
[D] — |
|||
матрица |
упругости; [К]а — матрица |
жесткости |
одного |
|
элемента; |
[Р] — матрица |
внешней |
нагрузки. Подсчет |
|
матриц выполняется по формуле |
|
|
||
|
1Я]э = |
[3]ЧШ В]. |
|
(6.7) |
Для каждого узла составляется уравнение равенства нулю реакций, возникающих в добавленных связях:
Ш { 6} -{ Р } = 0. |
|
(6.8) |
Здесь {6} —матрица перемещений щ и щ; |
[/С] — матрица реакций. |
|
Решив систему уравнений (6.8), |
получим |
значения |
перемещений щ и Vi для всех узлов, и по |
формулам |
(6.3) можно вычислить все напряжения.
Этот расчет позволяет определить предельную несу щую способность элементов, которые образуют всю си стему. Это можно выполнить благодаря тому, что в формулах для единичных реакций участвует модуль упругости узла сетки. При переходе за предел упруго сти модуль снижается, что может быть учтено при со ставлении программы счета.
Рассмотренные формулы относятся к случаю плос кой задачи теории упругости, их можно, однако, рас пространить на более общий случай, когда в состав си стемы входят стержневые элементы в виде стоек и ри гелей рам. В этом случае при составлении матрицы жесткости и матрицы реакций необходимо учесть осо бенности, относящиеся к рамным системам. В узлы ос новной системы кроме связей, препятствующих линей ным смещениям, добавляются еще заделки, исключа ющие повороты узлов. При составлении основных уравнений равновесия для каждого узла используются три уравнения равновесия, т. е. равенство нулю суммы проекций всех реактивных сил, приложенных к узлу, на оси X и У, а также равенство нулю реактивных момен тов, возникающих в заделке. В этом смысле наиболее удачными элементами, на которые делится заданная система, расположенная на упругом основании, являют ся треугольные элементы для плрской задачи и тетра эдры для пространственной задачи.
Чтобы определить предельную несущую способность основания, целесообразно использовать метод последо вательных приближений, и для описания физических свойств упругопластического основания принимается билинейная диаграмма, связывающая напряжения и де формации. В этом случае пластический участок диаг раммы отличается от упругого тем, что модуль дефор мации на нем становится значительно меньше упругого модуля, в предельном случае пластический участок диаграммы становится горизонтальным и соответствует модулю, равному нулю. Билинейная диаграмма удобна в том смысле, что можно получить решение задачи в общем виде и использовать его для обоих участков ди аграммы. Однако для каждого участка следует прини мать разные модули упругости. Границу пластической области в упругопластическом основании можно опре делить из условий контакта и эквивалентности переме щений на границе между пластической и упругой обла стью. Чтобы определить оптимальное соотношение между жесткостями упругопластического основания и сооружения, следует использовать условие одновремен ного исчерпания несущей способности сооружения и ос нования.
6.2.Свойства моделей основания
Железобетонные сооружения обычно имеют фунда менты в виде сплошных железобетонных плит, располо женных на естественных основаниях. Распределение усилий в конструкциях сооружения и общая их осадка существенно зависят от свойств основания и сил взаимо действия, возникающих между фундаментом и основа нием. Установлено, что гипотеза пропорциональности между реакциями основания и осадкой (так называе мая гипотеза Винклера) не соответствует действитель ной картине распределения реакций оснований. В 1936 г. появилось знаменитое решение Б. Н. Жемочкина [6], в котором основание рассматривалось как упругое изотропное полупространство. Эта модель ос нования позволила установить совершенно новые неиз вестные до этого времени свойства основания, которые вызывали концентрацию реакций к краю фундамента и таким путем увеличивали нагрузку, передающуюся от фундамента на крайние колонны подсилосного помеще-
ния. Эта модель усовершенствована в 1937 г. А. П. Си ницыным при расчете фундаментов новосибирского эле ватора, который был расположен, как теперь принято называть, на двухслойном основании. Верхний слой основания толщиной около 15 м состоял из песка сред ней крупности и располагался на плотном скальном ос новании, которое можно было рассматривать как упру гое изотропное полупространство. Так появилась комбинированная модель, верхний слой которой (огра ниченной толщины) подчиняется гипотезе Винклера и расположен на упругом полупространстве. В этой мо дели эффект концентрации реакции к краю фундамента был меньше и это позволило точнее учесть реальные свойства основания, соответствующие данной строи тельной площадке. Эта расчетная модель была вклю чена в «Инструкцию по определению реакций упругого основания», выпущенную Промзернопроектом в 1938 г. В пп. 8 и 9 Инструкции сказано: «При наличии сыпу чих грунтов учитывается влияние сдвигов, происходя щих на границе фундамента, на распределение реакций основания; сдвиги объясняются тем, что сооружение как бы вдавливается в грунт и слои грунта, находящие ся непосредственно под подошвой фундамента, отделя ются от остальной массы, образуя упругую прокладку между сооружением и основанием. Влияние упругой прокладки учитывается в расчетной схеме тем, что фик тивные нерастяжимые стерженьки заменяются растя жимыми пружинами». Сопоставление указанных выше двух моделей основания свидетельствует о том, что рас пределение усилий в конструкциях силосных корпусов, расположенных на сплошных фундаментных плитах, су щественно зависит от слоистого строения основания, которое определяется инженерно-геологическим профи лем данной строительной площадки. Дальнейшее усо вершенствование модели основания' приводит к учету влияния упругого слоя переменной толщины, располо женного на упругом полупространстве [6]. Для этой
модели получается перераспределение реакций основа ния с увеличением концентрации со стороны меньшей толщины слоя и уменьшением концентраций со стороны большей толщины слоя. Этот случай характерен тем, что центр жесткости основания не совпадает с центром тяжести сооружения. Отдельные виды грунтов имеют нелинейные свойства, в результате этого расчет фунда*
ментов на нелинейном основании выполняется методом последовательных приближений и распределение реак ций основания изменяется в зависимости от графика, характеризующего нелинейные свойства основания. Для выпуклой кривой нелинейности основания концентрация реакций снижается к краю фундамента. При вогнутой
кривой — концентрация реакций к краю |
фундамента |
увеличивается. |
достигают |
Если реакции по подошве фундамента |
больших значений, то деформации основания выходят за предел упругости и для основания принимается мо дель упругопластического слоя. В таком слое происхо дит перераспределение реакций. Такая модель еще мало изучена. Таким образом, от того, в какой мере правиль но выбрана модель основания, зависит распределение реакций по площади фундаментной плиты и силы, ко
торые передаются вышерасположенным |
конструк |
циям. |
основания |
Анализ свойств разных моделей упругого |
показывает, что критерием правильно выбранной моде ли является ее полное соответствие с действительными характеристиками инженерно-геологического разреза строительной площадки. По глубине, как правило, этот разрез имеет многослойное строение, которое в рассмот ренных моделях путем усреднения заменялось однослой ным или двухслойным основанием, и поэтому получен ное распределение усилий в сооружении не точно соот ветствовало истинному. Чтобы получить оптимальную модель основания, строго соответствующую многослой ному инженерно-геологическому разрезу, необходимо решить несколько контактных задач как между фунда ментом и основанием, так и между отдельными слоями, из которых состоит основание. Рассмотренные выше методы позволяют сделать такой расчет, однако объем вычислений получается настолько велик, что практиче ское его выполнение стало возможным только благода ря использованию ЭВМ. Для выполнения расчетов на ЭВМ наиболее удачен метод деформаций, в котором за неизвестные принимаются перемещения, и для их опре деления составляются уравнения равновесия реакций и внешних сил в тех точках, где были добавлены связи. Сооружение и основание заменяют системой дискрет ных элементрв той или иной конфигурации, соединенных между собой в отдельных точках (рис. 39).
После решения системы уравнений (6.8) получим значения перемещений щ и Vi для всех узлов, и по формулам (6.3) можно вычислить все напряжения. Рассмотренный порядок расчета позволяет определить также предельную несущую способность элементов, ко торые образуют всю систему. Это можно выполнить,
благодаря тому, что в формулах для единич ных реакций участвует модуль упругости узла сетки. При переходе за предел упругости мо дуль снижается и это может быть учтено при составлении программы счета. Рассмотренные формулы относятся к случаю плоской задачи теории упругости, одна ко их можно распростра нить на более общий случай, когда в состав рассматриваемой систе мы входят стержневые элементы в виде стен и
ригелей рам. В этом случае при составлении матрицы жесткости и матрицы реакций необходимо учесть осо бенности, относящиеся к рамным^ системам.
В узлах основной системы, кроме связей, препятст вующих линейным смещениям, добавляются еще за делки, исключающие повороты узлов. При составлении основных уравнений равновесия для каждого узла ис пользуются три уравнения равновесия, т. е. равенство н.улю суммы проекций всех реактивных сил, приложен ных к узлу, на оси X и У, а также равенство нулю реактивных моментов, возникающих в заделке.
6.3. Высокая фундаментная балка
Рассмотрим совместную работу высокой фундамент ной балки и упругого основания. Чтобы решить эту за дачу, используем расчетную схему (рис. 40). Изучим сначала независимо деформированное состояние балки, затем упругого основания и, решив контактную задачу,
учтем их совместную работу. Существенный практиче ский интерес представляет определение несущей способ ности балки за пределом упругости, так как у высокой балки распределение напряжений в ее поперечном сече нии не будет линейным, и поэтому за пределом упруго сти потекут волокна только части поперечного сечения
|
Р |
|
|
|
|
|
Лт я |
|
|
Р/2..Р/2 |
|
А а W га |
V |
ч |
Г ~ т II |
||
|
У у |
X |
|||
/ |
/ \ |
NV |
\ |
|
|
f / / |
\ |
\ |
Vу |
|
|
4 4 |
\ |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
и пластический момент должен быть определен допол нительно. Сначала используем метод конечных элемен
тов |
для |
определения |
пре |
|||||
дельного момента, |
возника |
|||||||
ющего |
в |
высокой |
балке. |
|||||
Эта |
вспомогательная зада |
|||||||
ча |
может |
быть |
|
исследова |
||||
на |
при |
рассмотрении |
бал |
|||||
ки, |
нагруженной |
в |
середи |
|||||
не |
пролета |
сосредоточен |
||||||
ной |
силой |
|
(рис. |
41); |
для |
|||
расчета |
балка |
разбита |
на |
|||||
32 элемента |
и |
использова |
на симметрия системы. Вычисления выполнены соглас но блок-схеме применительно к общей схеме, описан ной в п. 6.1. Перемещения вычислены на ЭВМ «М-220а» по программе, составленной канд. техн. на ук В. В. Самариным на языке АЛГОЛ-60. После реше ния получены величины вертикальных и горизонтальных смещений узлов сетки. По этим смещениям вычислены напряжения ах, av и %ху, эпюры которых показаны на рис. 42. Из рассмотрения эпюр напряжений ах вытека
ет, что |
в пластическое |
состояние |
перейдет верхняя и |
нижняя |
часть сечения |
толщиной |
0,25 Л. Средняя же |
часть балки толщиной rk h будет оставаться в упругой стадии, поэтому предельный момент
(6.9)
где а — численный коэффициент, учитывающий наличие упругого яд ра; для прямоугольного сечения а = 5 /6 = 0 ,8 3 .
Пластические области в основании определим, ре шая вторую вспомогательную задачу о распределении реакций основания.
Значения вертикальных перемещений и* и горизон тальных перемещений щ узла i:
vs = + ------ |
03 46409328; о4 = + ------- |
03 11348957; |
по