книги / Моделирование систем управления
..pdfКак известно, критерий подобия представляет собой степенной ком
плекс
it = AaB^..JFy,
где а, р, у - показатели степени (положительные или отрицательные). Критерии подобия, состоящие из идеальных величин, называются иде
альными критериями. Фактические критерии модели и оригинала (ям, я0), определенные с учетом погрешностей модели и оригинала (Ç0, £м), различны
и отличаются от идеальных критериев п: |
|
|
я0ф = |
пМф ~ £,мп; |
ямф = ^ля0ф, |
где - погрешность в определении критериев подобия. |
||
Определим зависимость погрешности |
от погрешности в определении |
параметров модели и оригинала. Для этого выразим критерий подобия через фактические параметры модели и через фактические параметры оригинала.
яоф =[Л(1±00,)]“'[го(1±8оВ)Г... [F0(l±5oF)Y =
= я(1±5а,)а'(1±5оЛ)Р'.~ (1± 8 . ^ '. Аналогично можно получить
*мф = ^ ,± 8M/4)e'(l±SM/J)‘i'... (1±8M/.)Ï .
Разделив эти выражения и учитывая операции с малыми величинами, получим число ÇK, показывающее, во сколько раз критерий, определенный по фактическим параметрам модели, больше критерия, определенного по фактическим параметрам оригинала.
= 1 ± (5М/1 ± 50> ' ± (5мЛ ± 8оВ)Р '± ... ± (&hF ± 6oFУ ,
Ç „ = I ± CC'2 ;S ± P T 8 ± . . . ± Y T 8 ,
А В F
где£ 5 -су м м а погрешностей оригинала и модели.
Наихудший вариант (наименьшая точность) будет получаться, если принять, что все погрешности имеют одинаковый знак.
Анализ выражения для определения |
показывает, что надо стремить |
ся минимизировать погрешности в модели |
у тех величин, которые входят |
в критерий подобия с большим показателем степени.
Наличие погрешности приводит к тому, что при п = idem, т.е. при ин вариантности идеального критерия подобия, результаты фактически произ веденных в модели опытов получаются неоднозначными. Эта неоднознач ность связана не только с моделированием. Опыты на нескольких установках в оригинале или на одной установке, но в различных условиях, дают неодно значные зависимости.
Для получения подобия в характере ошибок необходимо потребовать, чтобы = £м. Практически такое требование почти никогда не соблюдается, и это приводит к тому, что как бы тщательно ни была выполнена модель, расхождение между получаемыми на ней результатами и результатами, по лучаемыми в оригинале, неизбежны. Необходимо стремиться не к тому, что
бы получить идеальное совпадение результатов, а к тому, чтобы правильно оценить их разброс.
3.7.2. Погрешности воспроизведения отдельных параметров, входящих в критерии подобия
Исходные параметры системы-оригинала и ее режимов могут быть по лучены на основании расчета или опыта. Как в том, так и в другом случае имеются расхождения с действительными данными.
В процессе измерений физических величин (в модели и в оригинале) могут иметь место три вида погрешностей:
1.Методические ошибки.
2.Инструментальные ошибки.
3.Ошибки оператора.
Эти три вида погрешностей приводят к ошибкам, имеющим состав ляющие: случайную и систематическую. Относительный вес каждой из этих составляющих зависит от применяемых приборов и условий эксперимента.
Полной характеристикой систематической погрешности является закон ее изменения
AV =AV(t{).
Случайные погрешности могут быть случайными величинами или слу чайными функциями (чаще всего функциями времени). Полной характери стикой случайной погрешности служит закон распределения. Простейшими характеристиками являются максимальное абсолютное значение |Д ^тах, ма тематическое ожидание E(AV), дисперсия Д Д Р), среднее квадратическое от клонение 6(ДГ) = ^D(AV) и корреляционная функция Лдк (tx, /2) •
3.7.3. Точность математического моделирования
Погрешности математического моделирования вызывают два фактора - неточность матёматических зависимостей и неточность численных значений различных величин.
Математическое моделирование - это, прежде всего, составление ма тематического описания различных материальных объектов с целью фикса ции основных свойств материального оригинала с помощью соответствую щих уравнений.
Точность расчетного моделирования связана с понятием аппроксима ции. Аппроксимация - замена значений различных величин и математических выражений приближенными, обычно более простыми.
Пусть fix) - точная функция, / а(дг) - аппроксимирующая (приближен ная) функция. Тогда погрешность аппроксимации Д /а = /а(х) -fix).
Математическое списание любого материального объекта всегда со провождается некоторой его идеализацией. Возникающая при этом погреш ность реализации равна погрешности первичной аппроксимации.
Пример. Операционный усилитель обычно принимают за безынерци онное звено и описывают конечным линейным уравнением
U=-kUo,
где k> О —постоянная. Более точное описание:
с /= - л а д ,
где/ - нелинейная функция.
Абсолютно безынерционных материальных объектов нет. Поэтому точно операционный усилитель описывается дифференциальным уравнением
T ^ + u = - f ( u 0),
где Т - малая постоянная времени.
Из приведенных трех уравнений все могут служить расчетной моделью определенного усилителя, только в первом случае погрешность первичной аппроксимации будет наибольшей, а в третьем случае - наименьшей.
В дальнейшем расчетная модель материального объекта, идеализиро ванного в той или иной мере, рассматривается как его точное математическое описание, которое при необходимости можно подвергнуть вторичной ап проксимации.
3.7.4.Приближенное соответствие
Пусть два объекта описываются уравнениями
Л О '|.* |,»'|л А у)= о .
(3.41)
F2(y2^2i,t2j,D 2j) =0,
не являющимися сходственными. Пусть при определенных ограничениях диапазона и характера изменения различных величин, фигурирующих в этих уравнениях, можно приближенно принять
р 2 (У2 • х 2/, h j , ° 2 j )«Fl ( у 2 »x 2i.h j .D 2 j ).
F\ tVi. .h j,D\j ) “ F2O ',,*1,-,h j, D,J ),
так как в обоих случаях разность A =F \- F 2достаточно мала.
Тогда за описание второго объекта вместо уравнения (3.42) можно
принять уравнение |
|
FI 0*2 >*2/ > >^2у ) = 0 » |
(3.43) |
сходное с (3.41), а за описание первого объекта вместо (3.41) - уравнение |
|
^2 (У1>*1/»*!,/» А /) = 0, |
(3-44) |
сходное с (3.42).
При этих условиях обеспечение подобия уравнений (3.41) и (3.43) или (3.42) и (3.44) означает приближенное подобие уравнений (3.41) и (3.42).
Приближенному подобию уравнений, описывающих материалы объек та, соответствует приближенное подобие этих объектов.
Пример. Пусть два объекта описываются уравнениями У\ = 3 /i(* i) = 3tg.ï,,
|
|
|
Уг - 4/г(*2)~4 |
~ |
, |
(3.46) |
||
|
|
|
|
|
|
1_*2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложив функции/! и/г в степенные ряды, получим |
|
|||||||
|
|
г |
1 |
2 |
2 |
5 |
|
|
|
|
fi |
=*1 + 3*1 + ^ * 1 +•••. |
|
||||
|
|
г |
1 |
2 |
1 |
5 |
|
|
|
|
/ 2 = * 2 + з * г + д * 2 + - - |
|
|||||
Сравнение этих рядов показывает, что если принять^*) « / 2(х), то мо |
||||||||
дуль абсолютной погрешности, получаемой при аппроксимации, |
|
|||||||
|
I4/ H / .-/2I* |
2 |
5 |
1 5 |
45 |
|
||
|
15 |
|
9 |
|
||||
|
|
|
|
— X |
----X |
|
|
|
В диапазоне - —< х < — значение |Д/| мало. |
|
|||||||
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
Приняв |
|
|
|
|
|
|
(3.47) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим ошибку аппроксимации |
|
|
|
|
|
|||
|
Ду2. = 4tg*2 - 4 / 2(хг) = ^ х 5 - |
^ 5 = ^ - |
|
|||||
После замены такого выражения (3.46) приближенным (3.47) можно |
||||||||
синтезировать подобие |
рассматриваемых |
процессов. Масштабы |
равны |
|||||
, |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
тх =1,т у = ~. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вследствие аппроксимации (3.46) выражением (3.47) прямое преобра |
|||||||
зование значенийХ\ ву\: |
|
3tg*i = ^ 1^, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
косвенное преобразование через х2и у2: |
|
|
|
|
||||
|
У<= Угту = 4/гI — |
К= 4 /2 f |
Н |
= 3/,(*,) = у|ие |
|
|||
дают разный результат у\щ* Н е |
|
|
|
|
|
|||
|
прямое преобразование х2в у2 |
|
|
|
|
|
||
и косвенное через х\ иу\ |
|
4/2(Х2) =у2пр |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
3tg(m,x2)=4tg*2= y 2ltoc |
|
||||
|
|
ту |
|
|
|
|
|
также дают разный результат у2пр * у2косПогрешность моделирования первого объекта как оригинала вторым
объектом как моделью, вызванная аппроксимацией описания оригинала,
АУ|. = У,т - Ущ = 3ft(*,)-3tgx, = - 3 ^ .
Погрешность моделирования второго объекта как оригинала первым объектом как моделью, вызванная аппроксимацией описания оригинала, со-
4
ставляет Ау2ш= у2т - у 2щ = 4tgx2 - 4 / 2(х2) = 4 — .
Если погрешность аппроксимации недопустима, то моделирование од ного объекта другим возможно только в форме соответственного моделиро-
у.з
вания на основании соотношений — = —, Дх|) =Дх2).
Уг 4
3.8.Примеры решения задач
Решение кубических уравнений методом интегральных аналогов
Дано кубическое уравнение |
|
х г + а2 х 2 + ахх + а0 = 0. |
(3.48) |
Уравнение в общем случае содержит четыре |
члена. Подстановка |
х - у - -а^2 позволяет привести уравнение к виду |
|
- у 3 =ау + Ь, |
(3.49) |
где |
|
а = -З а |о + а !э
Ь = а20(2а%0 - а х) +а0,
02
3 * Вещественные корни уравнения (3.48) находятся графически как абс
циссы точек пересечения кривой f x (у) = - у 3 и прямой / 2(у) = ау + b . Метод применим для решения всех возможных кубических уравне
ний. Каждое из них имеет, по крайней мере, один вещественный корень. Ес ли он найден, то кубическое уравнение приводится к квадратному, опреде ляющему два остальных корня.
Алгоритмрешения кубического уравнения
Необходимо подобрать такую универсальную модель кубического уравнения, которая будет подобна оригиналу при всех возможных зна чениях а и Ь.
1. Выберем в качестве модели оригинала (3.49) сходственное уравнение
в котором значения вещественных корней 01раничены пределами -С ... +С. Для решения этого уравнения при любых значениях ам и Ьм требуется всегда
один и тот же график функции / м(ум ) = ~Ум (Рис- 3.6).
Вещественные корни равны абсциссам точек пересечения кривой
/мО'м) = -Уи И прямой/мОм) = амУм + ьм- 2. Приводим уравнения (3.49) и (3.50) к безразмерной форме:
1 |
а |
Ь |
- 1 |
= — + - J , |
|
|
У |
У |
^•4 |
№ |
II |
|
Критерии подобия: |
|
|
|
тг(,)= — |
%т ~ — |
||
|
У |
2 |
„3 ’ |
|
|
У |
|
Л| |
2 ’ |
п 2 - |
2 * |
|
УьА |
|
Ум |
3. Масштабные уравнения:
я},) _ а
= 1.
£ = '
МУм
4.Вводим масштаб т = — .
Ум Тогда окончательный вид масштабируемых уравнений будет таким:
а
=1,
b
= 1.
5.Система двух уравнений содержит три неизвестных: bMj ту.
Задавшись |
определяем ам, Ьм: |
6.Масштаб ту при любых значениях а и b выбирают так, чтобы
рассчитанных (3.51) значениях ам и Ьм прямая пересекла параболу хотя бы в одной точке. Абсцисса этой точки является корнем уравнения (3.50). За тем находят корни уравнения (3.49) и исходного уравнения (3.48):
У=МуУм>
7.Если графоаналитическим методом получен только один корень хь
то, рассчитав р = а2 |
+ хi; |
|
а0 |
|
~ |
|
|
q =— - , используя теорему Виета и решив урав- |
|||||||
|
|
|
*1 |
|
|
|
|
нение х 2 + рх + q = 0, определяют остальные корни. |
|
|
|||||
Пример: Пусть дано уравнение JC3 + 9х2 + 2Ох +12 = 0 ,, тогда ^j- = 3, |
|||||||
а = -3 • З2 + 20 = -7; |
Z>= 3(2-32 -2 0 ) + 12 = 6. |
|
|
|
|||
Пусть ту = 3. Тогда ам = -7 /9 = -0,78, Ьм = 6/27 = 0,22. |
|||||||
Построив две зависимости / |
м ( Т=м"3'м) и / м ( |
^ =м“ |
)° ?7 8 >;м+ 0»22 |
||||
(см. рис. 3.6), определяем |
= |
- 1» |
У м 2 = |
°> 3 2 > |
У м 3 = ° > 6 9 > . |
||
|
У м , |
||||||
Tl = ^ Т м , - |
“3, у 2 = 0,96, |
у3 = 2,07, |
|
|
|||
х, = -3 - 3 = -6, *2 = -2,04, |
х3 = -0,93. |
|
|||||
Точные значения корней х\ =~6 ;х2 =-2; х3 = -1. |
|
|
|||||
Задание. Определить корни кубического уравнения. |
|
|
|||||
а) х 3 - 8х2 + 23л: - 28 = 0 |
( JC, |
= 4, JC23 = 2 ± уЗ) ; |
|
|
|||
б) х 3 - Ъ9х + 70 = 0 |
|
(х, =2, ЛГ2 =5, х3 = -7 ); |
|
|
|||
в ) х 3 + * 2 -3 4 х + 56 = 0 |
(Х) = 2, *2 = 4, х3 = -7 ). |
|
|
||||
Задача 1. Требуется определить количество жидкости |
вытекающее |
в единицу времени из проектируемого резервуара больших размеров через прямоугольное отверстие ширйной В. Установившееся струйное движение жидкости плотностью р происходит под напором h.
Для решения задачи следует воспользоваться физическим моделиро ванием. Струйное движение жидкости в основном определяется ее инерци онностью и весомостью, т.е. свойствами, характеризуемыми плотностью р и ускорением силы тяжести g. Таким образом, физические величины, опре деляющие процесс - это q} р , h, В, g. Их размерности в СИ:
[q]=LMT-\ \pi=L-'M , [h]=L, [B )=L.
Полная матрица размерностей |
|
- 3 |
ы |
~1 |
1 |
||
- 3 |
|
О |
[р] |
1 |
|
о |
W - |
|
|
о |
[ В ] |
|
|
- 2 |
ы |
Матрица независимых параметров р , Л, g |
|
||
- 3 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 = 2 . |
|
1 |
0 |
- 2 |
|
Определим критерий подобия: |
|
|
|
71, =- |
Я |
|
|
|
P;v'g * * 71 |
|
Построим определители, составленные из степеней для параметра q :
1 |
1 |
|
- 3 |
|
- 3 |
1 |
0 |
|
- 3 |
1 |
0 |
|
г*- |
о |
о |
= 2, |
1 |
1 |
- 3 |
= 5, |
1 |
0 |
0 |
= 3 |
|
1 |
0 |
|
- 2 |
|
1 |
0 |
- 2 |
|
1 |
1 |
- 3 |
|
xi = 1 |
; |
у\ = 5/2; |
z\ = 3/2. |
В |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
*2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
PXV |
2/*Z2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построим определители, составленные из степеней для параметра В:
1 |
0 |
0 |
|
|
|
- 3 |
|
1 |
0 |
|
- 3 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 = 0 , |
|
|
|
1 |
|
0 |
0 = 2 , |
1 |
0 |
0 = 0 |
|
1 |
0 |
- 2 |
|
|
|
1 |
|
0 |
- 2 |
|
1 |
0 |
0 |
*2= 0; |
у2= 1; |
z2 = 0. |
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, критерии подобия модели |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
'1м1 • |
|
|
|
Ям____ |
|
|
ьм2 : |
|
|
||
|
|
« /*3/2г 5/2 : |
|
|
|
||||||||
|
|
|
Рм£ |
К |
|
|
|
|
|
||||
Критерии подобия оригинала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
*о1=- |
|
Яо |
|
*о2 — |
|
|
|||||
|
|
.3/2^5/2 ’ |
|
|
|||||||||
Масштабные уравнения |
|
PoS |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Яоё3/2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
*01 _ |
=1, |
М = _ ? о _ = 1 |
|
||||||||
|
|
я, |
А |
|
|
С |
|
||||||
|
|
|
|
|
ям2 |
д |
|
|
|||||
|
|
м1 |
Pu |
|
*3'2 |
й5/2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
МА„ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем масштабы |
mh = |
, та = — , |
mD=■*-£-, |
тв = - ± , и получим |
|
|
|
К |
я * |
р р„ |
я„ |
«,5/2 _ i |
_ |
_ ^ |
|
|
|
----тИ - |
тВ ~ mh• |
|
|
|
|
Wp |
|
|
|
|
|
Из этих уравнений следует, что два масштаба можно выбрать произ вольно, третий определяется однозначно. Выбрав масштаб mAi строим резер вуар уменьшенных размеров с прямоугольным отверстием для стока жидко-
сти шириной Вм и достаточно большой высотой Нм> hM= — . Выбрав для mh
модели жидкость плотностью рм, рассчитываем
m |
- Ро |
, |
- 5/2 |
/Пр |
|
—m9 mh |
Рм
Поддерживая в модели постоянный напор Лм, экспериментально опре деляем qMи рассчитываем q =q0 = m flм.
Задача 2. Путем физического подобного моделирования требуется ус тановить, какую частоту малых свободных колебаний Сбудет иметь маятник длиной / и массой т. Движение маятника обусловлено действием силы тя жести g . Поэтому среди определяющих величин должно фигурировать уско рение силы тяжести g . Таким образом, определяющие величины - это со, /,
ю, g. |
|
Их размерности в СИ: [со]= Т~], |
[/]= £ , |
Составим полную матрицу размерностей |
|
О |
О -1 |
1 |
О |
А = |
О |
0 |
|
1 |
- 2 |
Матрица независимых размерностей |
|
- О О |
|
[т ]= Л /, [g]= LT"1.
vJ
L
Ьл
*
= - 1.
Независимые физические параметры: со, /, т.
Строим определители, составленные из степеней для параметра g :
1 |
0 |
- 2 |
|
0 |
0 |
- 1 |
|
0 |
0 |
- 1 |
1 |
0 |
0 |
= - 2 |
1 |
0 |
- 2 |
= - 1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
- 2 |
*i = 2 ,y i= 4 ,z ,= 0.
Определяем критерий подобия:
“ - g l/2r l/2-
Получить критерий подобия, содержащий массу т , невозможно. По этому необходимо заключить, что частота колебаний маятника не зависит от его массы. Критерии подобия оригинала и модели должны быть равны:
=- |
©« |
л |
©м |
_ |
= __ _м___ |
||
|
.1/21—1/2 » 1Ьм |
1/2ж-1/2 * |
£^
Но
Установив экспериментально для какого-либо маятника длиной /м значение шм, по заданному значению /0 можно рассчитать со0.
Задача 3. Для скорейшего достижения однородности расплава в пла вильной печи после внесения в него небольшой порции расплавленной со ставляющей применяется принудительное перемешивание потоком ней трального газа. Процесс перемешивания характеризуется шестью опреде ляющими величинами: временем перемешивания т , скоростью газа на выхо де из сопла в , массовым расходом газа т , , кинематической вязкостью рас
плава V, весом расплава G и характерным размером ванны /. Для разрабаты ваемого проекта ванны известны v0 >mtQiv0 ,GoilQ. Требуется установить вре
мя перемешивания т0. |
|
|
|
|
Размерности определяющих величин в СИ: |
|
|||
Н = г , [v]=LT'\ |
[т,]= М Г ~ \ [v]= I2r _l, [G ]=LM 7"2, |
[/]= ! . |
||
Как в предыдущих задачах, определим критерии подобия |
|
|||
|
ТВ |
|
G |
|
|
|
*2 = ь ’ |
Я 3 = - |
|
|
|
|
|
|
Критерии подобия оригинала |
|
|
|
|
-г |
_ |
"2. = 7 ^ . |
%Зо“ “ |
|
я 1 о - ;2 |
|
|||
|
*0 |
1о»о |
|
|
Критерии подобия модели |
|
|
|
|
л1м“ 2 |
» |
п2и ~ |
я3м |
|
*м |
|
|
|
|
По заданным /0,o0,v0,G0,m,0 рассчитаем я 2о,л 3о. |
выби |
рают так, чтобы было равенство соответствующих критериев. Реализуют вы бранные значения /M,BM,vM,GM,/wrMв модели и измеряют тм.
тт |
TMVM^O |
Далее находят т0 = |
^ ■ ° . |
Задача 4. Моделируется форма радиолокационной антенны из одно родного материала с удельным весом у, модулем Юнга Е и коэффициентом