книги / Сборник задач по подземной гидравлике

В этом случае	внешние			фильтрационные			сопротивления
будут
	pLi		Р2	__	И^2	khB ’		(IV. 17)
	khB	’		~	khB ’
где Li — расстояние от		контура			питания	до	первой	цепочки
скважин; L2 — расстояние			между первой			и второй цепочками;
L3 — между второй	и третьей.				определяются		по	формулам
Внутренние сопротивления

p; =

A ---

Р2

'<£

и

	P	In	ЛrC
	2л/г/т1
	P	In-	Oo	(IV. 18)
			ПГQO
	2лkhn2
	P	In-	<*3
	2nkhtin		ПГся

Расчет схемы проводится по законам Ома и Кирхгофа; при этом составляются алгебраические линейные уравнения по

числу	неизвестных	(либо		Q '1, Q^, Q'3,	либо рсь рс2,		Рсз)-
Суммарный дебит круговой батареи скважин определяется
тоже	по формуле (IV. 16),		в	которой внешнее		сопротивление
		Р =		Р		(IV. 19)
			2лkh
а внутреннее имеет вид (IV.15).						фильтрационных
Для этого случая		схема		эквивалентных
сопротивлений будет той же, что и для					прямолинейной		це­
почки.	случае нескольких круговых батарей				(например,		трех)
В

схема представлена на рис. 16. При этом внешние фильтраци­ онные сопротивления рассчитываются по формулам

Pi =	Р
	2nkh
	— — In— ,

2nkh Ro

Рз =	2nkh
где R |, R2> RZ— радиусы	батарей. Внутренние 'сопротивления
определяются по формулам	(IV. 18).

§4. Связь плоской задачи теории фильтрации

стеорией функций комплексного переменного

При исследовании плоского фильтрационного потока, под­ чиняющегося закону Дарси, можно использовать теорию функ­ ций комплексного переменного. Совместим плоскость комплекс­ ного переменного z = x + iy с основной плоскостью течения.

Для каждого плоского фильтрационного потока можно най­ ти характеристическую функцию течения, или 'комплексный потенциал F(z), который является функцией комплексного пе­ ременного г. В функции F(z) можно отделить действительную часть от мнимой

			F(z) =	0 ( x 1y) + i^(xi y)1					(IV.21)
где	Ф(х, у) — потенциал			скорости;		ф(л:, у ) — функция				тока.
Эти	функции	связаны между			собой	уравнениями			Коши — Ри­
мана				дФ	дф
				дх	ду					(IV.22)
				дФ	дф
				ду	дх
и подчиняются уравнению Лапласа
		J ! 5 . + ± 5		. = 0	* *	■	***	о		(IV. 23)
		дх-	ду2		* дх2		ду1
	Уравнение	Ф(х,	у ) = с	определяет			собой	семейство		экви-

нотенциалей, совпадающих с изобарами, так как Ф = — ру а

ф (х,	у) = с — семейство		I1
			линий
тока.	Эквипотенциали		и линии
тока	взаимно	ортогональны
(рис.	17).		фильтра­
Проекции скорости

ции на координатные оси нахо­ дятся по формулам

	дФ		дФ
w = ---------		У	ду ’
х	х
	дх
			(IV.24)
а модуль скорости фильтрации
= V wl +	wl -		(IV.25)

Время движения частицы жидкости вдоль линии тока 5 можно определить по формуле

' — <w - » >

где z = x—iy — сопряженное с г комплексное переменное.

Если какой-либо сложный плоский фильтрационный поток можно представить как результат наложения нескольких про­ стейших потоков, то характеристическая функция сложного потока равна по принципу суперпозиции алгебраической сумме характеристических функций простейших потоков.

З а д а ч а 38

Определить дебит батареи из четырех скважин, располо­ женных вдали от контура питания, и одной скважины, находя­

щейся	в	центре		(рис. 18),			ес­		Г
ли известно, что все скважины
находятся в одинаковых						усло­
виях;	радиус		батареи			R i=
= 200 м, расстояние до конту­
ра питания RK= 10 км, радиус
скважины гс= 0,1 м,					мощность
пласта	h = 10		м,	потенциал на
контуре		питания		Фк = 40		см2/с,
потенциал			на		скважинах
Фс= 30 см2/с.			Будем		исходить
Решение.
из формулы			для потенциала
при работе группы скважин
Ф = Д -2 < 7 ,1 пг, + С.						(IV.27)
	271
Учитывая, что скважины расположены вдали от контура пи­
тания,		в точке,		помещенной на контуре питания, получим
					<PK=		- i - ^ l n t f K+		C.	(IV.28)
							2Л
Помещая			точку М на				забой	первой	скважины и учитывая,
что <71 = <72= <7з= <?4, будем иметь
<DC =	-2 -(q In rc + q In r2 x+						q In r3	q In r4г+		q5In r6,) + C . (IV.29)
	2n
Вычитая			из	(IV.28)		(IV.29)		и заменяя		(см. рис. 18)
		г2 1 — г41 — У 2 R±,						г31 — 2Rv		гЪ1 — Rly

®«-^“ ir(lnt		+ 2lnvfer+ ln^r) +
+ Jb_\n 3 L	= j -	In.	+ _£^ln 3 L	(IV.30)
2lt	2л	4Rfr	2л Яг
		l'c

Помещая точку M на забой центральной скважины, опре­ делим ФС5:

фс5 = 1 Г~ (<7 1:n r15 + q 1n r25 + q 1n г 3 5 + q 1n r4 5 + q51п гс) + С.

2.Л

									(IV.31>
Вычитая из (IV.28)		(IV.31)		и учитывая, что
Г15 =			Г2 5 — Г3 5 — Г4 5= ^1>
получим
ф _ ф	0 5	= _£_41п- ^ + -^ _ 1 п - ^ -
к			2л		Яг		2л		гс
Подставив в (IV.30) и (IV.31) исходные данные
10 = -У— In-			(101)4			+	_SL in -12L .
2л		4-2з. 10«.0,1					2л		200
10 =	- i ±		l n	^	+	^ l n		. 104
		2л	200			2л			0,1
и решив полученную систему				уравнений				относительно q и q$y
найдем
q =	2,28		см2/с,		=	1,95		см2/с,
Q = qh =		2,28* 103			см3/с =		197		м3/сут,
Q5 = QJ1=		1,95* 103			см3/с =		168		м3/сут.
		З а д а ч а				39
Круговой нефтяной		пласт		радиусом			/?к=15 км, мощностыа
Л = 8м эксплуатируется пятью				скважинами					радиусом гс= 7,5 см,

из которых четыре расположены в вершинах квадрата со сто­

роной d=150 м, а	пятая — в		центре		(см. рис. 18). Контурное
давление рк= 10,78	МПа	(ПО	кгс/см2),			скважины	работают с
одинаковым забойным давлением				рс= 8,82 МПа			(90	кгс/см2).
Коэффициент проницаемости пласта &= 0,6 Д, динамический
коэффициент вязкости нефти р,= 1,1 мПа-с.								Q5/Q 1-
Определить дебиты скважин и				отношение дебитов
Ответ: Qj = 161	м3/сут;	Q5=130		м3/сут; Q5/Q 1 =			0,812.
	З а д а ч а			40
Найти значения потенциалов на скважинах, расположенных,
симметрично на расстоянии			2а = 300		м	относительно		центра

кругового контура питания радиуса /?к = 5						км,	если известно,
что дебит одцрй составляет 200 т/сут,					а другой — 300 т/сут,					по­
тенциал	на контуре	питания	Фк = 50		см2/с,	радиус		скважины
гс = 0,1	м, мощность	пласта	Л= 10 м, плотность					нефти		р=
= 850 кг/м3.				питания		одинаково			удален
Указание. Считать, что контур
от каждой из интерферирующих скважин.
Ответ: ФС1=43,5 см2/с; Фс2 = 41,8 см2/с.
		З а д а ч а		41
Определить, при каком постоянном забойном давлении ра­
ботала	скв. 1 с радиусом гс = 0,1			м в круговом			пласте		радиуса

7?к=Ю км, если при введении скв. 2 с таким же радиусом, рас­

положенной на расстоянии 2а =150		м от первой		и работающей
■с забойным	давлением рс2= 6,82 МПа		(70 кгс/см2), скв. 1		была
полностью	заглушена. Давление	на	контуре	питания	рк =
= 9,8 МПа	(100 кгс/см2).

Решение. Считая скважины достаточно удаленными от кон­ тура питания и применяя принцип суперпозиции, запишем вы­

ражение			для		потенциала		результирующего течения в произ­
вольной точке М (рис. 19).
					Фк	Фл, =	2я		Як +	я*	1 п -^
										2я	ГО
вой	Помещая точку М на контур пер­
		скважины,				получим
Ф1( — Ф			С1	=	2л	Як	д2	1 п -^
к						г.	2я		2а
помещая ее на контур второй сква­
жины, найдем
ф		_ ф				Як	Зл~ 1п-^-
	к		с-	=-5М п-2к- +
					2л	2а	2я		гс
на,	Так как скв.					1 полностью		заглуше­
		то ее дебит <7i = 0 и уравнения приобретают вид
						ф , -Фсг =			-* М ПА -
									2я	2а
						Фк —ФС2			д~ In	як
									2я
■отсюда,			исключая дебит				q2,	определим			потенциал Фс1
						фк — Фс1			11-SL
									=	2<У
						Фк	Фсг		jn	Як

гС

/?к

' « 1 7

Ф с1 = ф к — (ф к — ф сг)

й -Ь -

ГС

Переходя от потенциалов к давлениям, окончательно найдем

lg	3 L		lg-	104
				150
Pci Рк (Рк Рсг) ‘	2о	= 9 ,8 -2 ,9 4 -
				104
	- ь		lg’
ч				0,1
	ГС

= 9 , 8 - 2 , 9 4 - ^ =8,72 МПа.

’5

З а д а ч а 42

Совершенная скважина расположена в водяном пласте вблизи прямолинейного контура питания. Разность статическо­ го и динамического уровней Д Я =8 м, коэффициент проницае­ мости & = 2Д, динамический коэффициент вязкости р=1 сП, ра­ диус скважины гс= 10 см и мощность пласта h = 12 м. Найти дебит скважины при двух значениях расстояния от контура пи­ тания до скважины: 1) а=100 м, 2) а = 200 м. Представить графически расположение изобар для случая 1) при условии, что статический уровень Нк = 40 м.

Решение. Дебит скважины вблизи прямолинейного контура питания определяется по формуле

Q = 2nkhpgAH

В случае 1)

Q =	2 3,14-2-1,02-10—12- 12* 103.9,88		=	1,58	10_3	м3/с =	136	м3/сут.
	Ю—з-2,3 lg-	2-104
		10
	В случае 2)
Q =	2-3,14-2.1,02-Ю -12-12.103-9,8.8		=	1,45	Ю~3	м3/с =	125	м3/сут.
	10-з.2,3 lg-	4.104
		10

Используя метод отображения источников и стоков, полу­ чим результирующий потенциал в точке

Ф = Ф1 + Фа= -^ -1 п г 1- ^ - 1 п г а + С = -^-1п-Ь. + Фи.

2п

2л

2л

Го

Переходя от потенциала к давлению и заменяя

	г\= Xй+ (у — a)2,		rl = хг + (у + а)2,
	получим закон распределения давления
	Р = Рк + Рк	Рс	In	х2+ (у — а)2
	2 In	2а		х2+ (У + а)2
	откуда найдем уравнение изобары
	х2 + (у —а)2			с2,
	X2+ (у + а)3
	или			4а2с2
	.+ / V _ e I ± £ Y = = _ £
	V*	1— С2 У		( 1 - С2)2

т. е. изобары представляют собой окружности с радиусом R —

2ас	/Л	1+ с2 .
= ------ -	и центрами в точках с координатами (0,	a j— — ).

Для построения изобар найдем давления на контуре пита­ ния и на забое скважины

Р« = РёНк = 103-9,8-40 = 0,392 МПа,

Pc = Р ё(HR — &Н) = 103-9,8-32 = 0,314 МПа,

и представим уравнение изобары в виде

I	*2 +	(у — а)2	= Igc* =		Р — Рк
8	** +	(* + «)•			С1
'где
Рк	Рс	0,078		=	0,0118 МПа.
Ci		21g	200
			0,1

Построим изобары с давлениями 0,323 МПа (3,3 кгс/см2); 0,333 (3,4); 0,343 (3,5); 0,353 (3,6); 0,363 (3,7); 0,372 (3,8); 0,377 (3,85); 0,382 (3,9); 0,387 (3,95). Для этих давлений опре­ делим с2, с, R (табл. 1) и координаты центров изобар (рис. 20).

Таблица I

р, МПа <кгс/см2)

0,323 (3,3)

0,333 (3,4)

0,343 (3,5)

0,353 (3,6)

0,363 (3,7)

0,372 (3,8)

0,377 (3,85) 0,382(3,9) 0,387(3,95)

—р	ОО
0,392	о
	о
	1				а	+
					см
1	е.
	<о	~ | г			11	1
	10		Ч °
					а<	с3
5,79		6,18-Ю5	785	1,27.10—3	0,255	100
4,96		9,12 -104	302	3 ,3 1 1 0 -з	0,663	100
4, 14		1.38.10*	117,5	0,852-10-2	1,85	100
3,30		2,0-Юз	44,72	0,0224	4,48	100
2,48		3,02-102	17,38	0,0575	11,55	101
1,65		44,7	6,69	0,1495	30,6	104
1,24		17,4	4,17	0,240	51	112
0,828		6,74	2,60	0,385	90,4	134,5
0,413		2,58	1,606	0,621	203	226

З а д а ч а 43

Назовем эффектом взаимодействия Е отношение суммарного дебита всех интерферирующих скважин к суммарному дебиту того же числа скважин без учета их взаимодействия.

Найти	изменение эффекта взаимодействия	в зависимости
•от числа	скважин, эксплуатирующих залежь	радиусом /?к =

= 5000 м; радиус скважины гс=10 см; скважины работают при Постоянной депрессии.

Сопоставить следующие случаи:

а) две скважины находятся на расстоянии d=100 м;

б)	три скважины расположены в вершинах равносторонне­
го треугольника со стороной d=--100 м;
в)	четыре скважины — в вершинах квадрата со стороной

d = 100 м (рис. 21).

Решение. Считая, что скважины		расположены равномерно
по окружности, концентричной с	контуром питания, использу-»
ем формулу дебита одной скважины круговой батареи
2nkh (рк— рс)__________
я?	Л	я ?"у|
тЛ ^-'гс	\	Rlm )

которую можно упростить в условиях рассматриваемой задачи, так как (Rt/R,<) C l, и представить в виде

2nkh (рк — Рс)

Q = Rкт

|Х In

mR” ~ l гс

Рис. 21

Дебит одиночной скважины в круговом пласте определя­ ется по формуле Дюпюи

2nkh (рк — рс)

Q,ОДИН

ц In------

Гс

Эффект взаимодействия равен

£ =	mQ	In- Як	lg	Я„
	mQ,ОДИН	Я"
			lg
		In-
		гс	тЩ11rc

В случае а)

Яг = — = 50 м, т = 2,

5000
lg- 0,1	4,699
25.10е	= 0,735;
	6,398

lg

б)	радиус	батареи		из	трех скважин		(т = 3),		расстояние
между которыми d, равен R\ = d/\/r3; в этом случае
	£ а =	lg-Як			4,699		4,699	= 0,580.
					125-10»		8,097
	lg				lg 10*.0,1
в)	радиус	батареи		из	четырех	скважин, расположенных				в
вершинах квадрата			со		. . .			п	d 1/2	=
				стороной		а, составляет		/ ? ! = —^—
= 70,7 м.
	£ .	Гс			4,699		4,699	0,487.
					625-1012		=
							9,647
		lg	П'с	lg 4-70,73.0,1
		4Я?1

По полученным данным, и учитывая, что при т=\ £i = l, достроим график изменения эффекта взаимодействия Ет в за­ висимости от числа скважин т (рис. 22).

	З а д а ч а	44
В	круговом пласте радиуса	/?к = 200	м работает	эксцент­
рично	расположенная скважина радиусом		гс=10 см	(рис. 23).

Найти изменение дебита в зависимости от расположения сква­ жины (эксцентриситета б) по отношению к дебиту скважины, расположенной в центре.

Решение. Дебит эксцентрично расположенной скважины оп­ ределяется по формуле

2nkh (рк — рс)

Фэксц