книги / Теория химических реакторов. Введение в основные разделы курса

12.

f (τ) = eλτ sin τ (применяется правило 8):

sin ατ

α

(пример 7), отсюда

eλτ sin ατ

α

.

p2 + α2

( p −λ)2 + α2

Для косинуса (см. пример 7): eλτ cosατ

p −λ

.

( p −λ)2 + α2

13.

f (τ) = chτ cos τ (правило 8):

1

(e

τ

−τ

) ≡ f (τ) = cos τ

1

τ

−τ

1

τ

1

−τ

ch τ = 2

+e

2 (e

+e

) = 2 e

cos

τ+

2 e

cos τ.

Далее – см. пример 12.

f (τ) = sin τ и ϕ(τ) = et .

14. Найти свертку

( f ϕ)τ =

τ

τ

∫sin u eτ−u du = eτ ∫sin u e-u du

=

0 γ

d ϕ

0

γ = sin u

dϕ = eτ−u du

d γ = cos udu

ϕ = −e−u

−

∫

= eτ

−sin u e-u +

∫

cos u e−u du

=

= eτ −sin u e-u

(−e−u )(cos u du)

γ

d ϕ

γ = cos u

dϕ = e−u d

d γ = −sin u du

ϕ = −e−u

= e

τ

−u

+ cos u (−e

−u

)− ∫(

−e

−u

=

−sin u e

)(−sin u du)

= −sin u eτ−u −cosu eτ−u − ∫sin u eτ−udu ≡

исходный

2∫sin u eτ−u du = −sin u eτ−u

−cos u eτ−u

≡

61

			≡ ∫τ sin	u eτ−u du = −			1	(sin u eτ−u +cos u eτ−u du)										τ =
			0				2											0
= −	1				1	(sin		0 e	τ	+ cos 0 e		τ		= −	1	(sin τ + cos τ) +			1	τ	.
	2	sin	τ1+ cos τ1- −		2								)		2				2	e
						sin 0 = 0					cos 0 =1

Таким образом, sin τ eτ = 12 (eτ −sinτ −cosτ ). 15. Найти свертку f (τ) = e−ατ и ϕ(τ) = e−bτ,

e−aτ e−bτ = ∫τ e−au e−b(τ−u) du = e−bτ ∫τ e(b−a)u du = e−bτ e(b−a)u τ =
0	0	b − a 0

=b −1 a (e−aτ −e−bτ ).

16.Использование правила свертки:

1

Найти оригинал по изображению: ( p2 +1)( p −1).

	Изображение может быть записано в виде	1			1	.
		p2 +1			p −1

Первый из сомножителей, как изображение, имеет своим оригиналом sin τ (см. пример 7); второй сомножитель соответствует оригиналу

et (пример 3). По теореме о свертке имеем:

							1					1							τ
F ( p) φ( p)				=											f (τ) ϕ(τ)(= sin τ e					),
						p	2	+1
												p −1
ноsin τ eτ =	1	(eτ −sin τ−cos τ) . Следовательно,
	2
1								1				1		(e		τ		τ).
																	−sin τ−cos
			p2 +1				p −1						2
62

17. Формула Дюамеля:

	p		1		1
Найти оригинал по изображению:		= p				.
	( p + a)( p +b)		p + a
					p +b

Изображение

1

имеет

оригиналe−aτ ;

соответственно,

p

+ a

1

e−bτ

= ϕ(τ).

p +b

Пусть f (τ) = e−aτ : проверимlim e−aτ = e0

=1 ,

т.е соответствует усло-

τ→0

вию. Тогда:

p

1

1

e−0 e−bτ + ∫τ −ae−au e−b(τ−u) du =

p + a

p +b

0

−bτ

−bτ

τ

b−a

u

−bτ

−bτ

1

b−a

u

τ

= e

− ae

∫e(

)

du

=e

− ae

e(

)

=

0

b − a

0

−bτ

−bτ 1

b−a

τ

1

0

be−bτ − aeaτ

e

− ae

e(

)

−

e

=

.

b − a

b − a

b − a

18. Решим дифференциальное уравнение: y′+ ay = f (τ) (в про-

странстве оригиналов).

Переведем уравнение в пространство изображений, используя формулу дифференцирования (89):

pY ( p) − y (+0) +	aY ( p) =	φ( p) .	(91)
изображение y′	изображение y	изображение f (τ)

y (+0) – по сути, это начальное условие. Преимуществом операци-

онного метода решения дифференциальных уравнений является то, что начальные условия учитываются сразу при решении. Допустим, что в случае (91) y (+0) = 0 . ВыделимY ( p):

Y ( p)( p + a) = φ( p).	(92)
	63

	Отсюда		Y ( p) =	1	φ	( p) . Это умножение изображений:
				p + a
	e−aτ	1	и f (τ) φ( p).
		p + a

Обратимся к определению свертки (см. правило 9):

Решение уравнения y (τ) = e−aτ f (τ) , т.е. надо найти свертку двух функций (естественно, f (τ) должна существовать и должна

быть конкретной функцией).

Достаточно часто это умножение изображений получается в виде табулированной функции из таблиц преобразования. В этом случае решение y(τ) может быть найдено сразу. Иногда функцию y(τ) называют выходной функцией, а f(τ) – входной или возбуждением. В последнем случае y(τ) будет называться откликом системы, описываемой данным дифференциальным уравнением, на возбуждение f(τ).

19. Решим уравнение (70), представленное в пространстве оригиналов:

−	1 d2			C (z)	+	dC (z)	= −kC	n	(z).	(93)
	pe d z2					d z

Аналогично (91) с учетом (89) переведем это уравнение в пространство изображений (см. подраздел 6.1), принимая n = 1:

− Pe1 ( p2Ц( р) − р С(+0) −С(1) (+0))+( pЦ( р) −С(+0)) = −kЦ( p). (94)

Обозначим А = С(1)(+0), В = С(+0). В этом случае Ц(р) может быть выделена в виде:

Ц( p) =	p B + A − Pe B	.	(95)
	p2 − p Pe − k Pe

Это выражение может быть представлено в виде суммы двух дробей:

p B + A − Pe B	=	p B	+		A − Pe B	. (96)
		p2 − p Pe − k Pe		p2	− p Pe − k Pe
p2 − p Pe − k Pe

64

Разложим первую из них на элементарные дроби:

Знаменатель может быть представлен в виде произведения (р – р1)(р – р2), где р1 и р2 – корни квадратного уравнения:

	p2 − Pe p − Pe k = 0.							(97)
p =		Pe + D	;	p		=	Pe − D	,
					2
1	2					2

здесь D = Pe2 + 4 k Pe .

Таким образом, остается только подобрать коэффициенты С и Е таким образом, чтобы удовлетворялось равенство:

p B	=	C	+	E	=	C ( p − p2 ) + E ( p − p1 )	.	(98)
( p − p1 ) ( p − p2 )		( p − p1 )		( p − p2 )		( p − p1 )( p − p2 )

Поскольку знаменатели дробей левой и правой частей этого равенства одинаковы, должны быть одинаковы и числители (раскрываем скобки и собираем подобные члены):

p(C + E) −(C p2 + E p1 ) = p B.	(99)
Для удовлетворения этого равенства необходимо, чтобы
C + E = B; C p2 + E p1 = 0.	(100)

Два этих выражения, рассматриваемые совместно, представляют собой систему линейных уравнений с двумя неизвестными С и Е. Разрешая систему, получаем:

C =	B p1		; E =	−B p2		.	(101)
	p	− p		p − p	2
	1	2		1

При разложении второй дроби (96) следует учесть, что в равенстве (99) правая часть должна быть заменена на А – Ре·В. При этом, естественно, поменяются и соотношения (100).

Таким образом, исходное выражение (95) будет разложено на четыре элементарных дроби, каждая из которых может быть подверг-

65

нута обратному преобразованию Лапласа для нахождения полного выражения для оригинала. Проведя эти операции, получим:

				1
1				(−4Pe k − Pe2 )2		1		2	1
C(z) = exp		Pe z			B sin		(−4Pe k − Pe		)2	z	+
	2			Pe + 4k		2

		1
	exp	2	Pe z			1	1
							(−4Pe k − Pe2 )2
+ 4					B cos			z	k +
	Pe + 4k					2

			1					Pe			1						2	1
	+ exp					Pe z				B cos			(−4Pe k − Pe					)2		z –
								Pe + 4k
			2								2
										1
	1						(−4Pe k − Pe2 )2							1					2	1
− 2exp			Pe z								A sin				(−4Pe	k −	Pe			)2	z	. (102)
							Pe(Pe + 4k)							2
	2

20. Решим уравнение: z(2)–χ2z = 0 (первый член представляет собой вторую производную). Величина z является функцией какого-то параметра, например ρ.

Воспользовавшись соотношениями (89), переведем это уравнение в комплексный вид:

p2 F( p) − p z(+0) − z(1) (+0) − χ2 F( p) = 0.

(103)

Обозначим А = z(+0); В = z(1)(+0), тогда в следующем виде:

F( p) = pA + B

p2 − χ2

F(p) может быть выделена

. (104)

После разложения на элементарные дроби и обратного преобразования Лапласа может быть получено частное решение уравнения:

z(ρ) = A

exp(χρ)

+

B

exp(χρ)

+ A

exp(−χρ)

−

B

exp(−χρ)

.

(105)

χ

χ

2

2

2

2

66

6.3.Передаточные функции идеальных

икомбинированных реакторов

Для реактора, описываемого уравнением (93), при n = 1 передаточной функцией является выражение (95). Рассмотрим передаточные функции идеальных реакторов.

1) Реактор идеального перемешивания. Вернемся к уравнению баланса (60):

dC V0 = C1Vсек −CVсек.

d τ

С1 – входная концентрация, С – выходная. Проводя преобразование Лапласа с учетом формулы (89) и считая, что C(+0) = 0 (в первый момент из реактора индикатор не выходит), получим:

	C p	)	p V0	+C p	)	Vсек				= C1 p			)	Vсек .								(106)
	(			(								(
							C p							V			Vсек
									)									V
C p	( pV0 +Vсек )		= C1 p	Vсек				(			=			сек		=			0			≡
							C					pV +V							Vсек
( )			(	)				(		)							p +
														0	сек					V
							1 p												0

(в соответствии с (63) V0 = τ , следовательно, учитывая (76)):

Vcек

C(p)

1

1

≡

=W ( p) =

τ

=

.

C

p

+1

p

+1

(

)

τ

τ

1 p

τ

Передаточная функция:

W ( p) =	1			.	(107)
	p		+1
		τ
					67

2) Реактор идеального вытеснения.

Определим передаточную функцию при δ-импульсе на входе в реактор.

Концентрация на входеC1 = δ (τ) , концентрация на выходе, согласно соотношению (66), не изменяется, но появляется с задержкой

по времени τ = V0 ; таким образом, на выходе концентрация мо-

Vсек

жет быть записана в виде выражения C = δ(τ− τ); δ(τ) 1. По тео-

реме запаздывания (подраздел 6.2, свойство 7):

Следовательно, по определению:

W ( p) = e−pτ 1 = e−pτ. 1

δ(τ− τ) e−pτ 1.

(108)

Учитывая правила комбинирования (80), (82), (84), можно вычислить переходные функции для различных схем включения нескольких реакторов. В частности, последовательный каскад m реакторов идеального перемешивания при разных объемах аппаратов:

(

)

m

(

)i

1

i=1

W

p

= ПW

p

=

.

(109)

(

τ

1 p +1)(

τ

2 p +1)

(

τ

m p +1)

Последовательное включение реакторов идеального перемешивания и идеального вытеснения:

W ( p) =W ( p)	W ( p)		=W ( p)	W ( p) =		e−τ1t			. (110)
							p +1
1		2	2	1	τ
					2

По этим же правилам могут быть рассчитаны передаточные функции более сложных, комбинированных реакторов (рис. 2).

Эксперимент по установлению структуры потока в реакторе может быть организован не только с инертным индикатором, но и путем изменения входной концентрации реагента. Эти изменения также могут быть организованы в форме δ-функции, σ-функции или в форме гармонических колебаний. В этом случае передаточная

68

функция рассчитывается с учетом кинетики процесса (см. (95)). Результат таких исследований может точнее отражать структуру потоков в реакторе, поскольку в этом случае полностью учитываются все его параметры, в том числе и молекулярная диффузия.

Приведем без вывода передаточные функции некоторых моделей, представленных на рис. 15, 16.

	Рис. 15. Каскад реакторов идеального перемешивания
	W ( p) =						1		.	(111)
		1					( p + k )	m
			+	τ
				m

Рис. 16. Комбинированная модель перемешивания

69

В модели на рис. 16 представлены три зоны вытеснения с соответствующими долямиb1, b2, b3 , зона смешения с долей m и две за-

стойные зоны с соответствующими долями d1, d2. Суммирование ведется по двум отдельным контурам.

V V

V

1 3

exp

−

сек

b1

( p + k )τi

2

W ( p) = ∑ Vсек

V1

+

2

1+

mVсек

i

( p + k )

i=1

τ

(112)

V4

V V

V

V

+

1 3

exp

−

сек

b1 ( p + k )τi

−

сек

b3

( p + k )τi .

2

V3

Vсек

V1

Рис. 17. Комбинированная модель с байпасом

	exp		−kδ− k (ε − τL )
W ( p) =						.	(113)
		τ			( p + k ) +1
		η

ε – фазовый сдвиг системы в единицах τ; ή – коэффициент перемешивания (для идеального перемешивания ή = 1, τL – запаздывание.

70