книги / Основы механики глубокого бурения

Лекция 5

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВРАЩЕНИЯ БУРИЛЬНОЙ КОЛОННЫ

На рис. 5.1 представлена расчетная схема для анализа враща­ тельного движения механической системы «долото-бурильная колонна» при проводке вертикальной скважины роторным спо­ собом в случае простейшей компоновки (бурильная колонна эк­ вивалентна прямолинейному стержню с постоянными парамет­ рами по его длине) [2, 3, 4, 5]. Координатная ось Ох направлена от устья скважины к ее забою.

На рис. 5.1 ф(^, f) - угол поворота текущего поперечного се­ чения БК с координатой х в момент времени t; / р - полярный момент инерции поперечного сечения колонны (круговое сечение с внешним диаметром D и внутренним диаметром d)\ G- модуль сдвига материала колонны; п0 - скорость вращения верхнего торца колонны (п0 = const); Мц{Р, пц) - момент сопротивления вращению долота со стороны забоя; Р - осевая нагрузка на доло­ то; пн - скорость вращения долота (при равномерном вращении БК пн = по); Я - глубина скважины (длина БК).

В правой нижней части рис. 5.1 показаны типичные зависи­ мости момента сопротивления вращению долота Мн со стороны забоя от скорости вращения долота пн при постоянной осевой нагрузке (каждая кривая Мн соответствует осевой нагрузке на долото Pit где i = 1, 2) от угловой скорости вращения долота. Указанные зависимости получают, как правило, в стендовых ус­ ловиях. Остановимся более подробно на моментной характери­ стике Мн. Важной чертой этой зависимости является экспери­ ментально установленный факт уменьшения момента сопротив­ ления вращению долота Мн по мере увеличения скорости его вращения при постоянной осевой нагрузке. Возрастание же осе­ вой нагрузки увеличивает момент сопротивления вращению.

Указанные свойства изменения Мн характерны для всех без исключения типов породоразрушающего инструмента. Так на рис. 5.2 показаны закономерности изменения момента сопро­ тивления вращению долота со стороны забоя Мн от скорости его вращения пн при постоянной осевой нагрузке при разбуривании

41

Рис. 5.1. Расчётная схема для изучения процесса вращения бурильной колонны

известняка согласно эмпирическим данным публикации [1]. На рис. 5.2, а показана зависимость для трёхшарошечного долота 4В-140С (это долото по своей конструкции относится к виду, изображённому на рис. 1.2), откуда можно установить, что при увеличении скорости вращения долота вплоть до значения 42 рад/с момент на долоте падает. На рис. 5.2, 6 изображена ана­ логичная зависимость для долота режущего типа ДФТ-140 (это долото по своей конструкции относится к виду, изображённому на рис. 1.3), где также наблюдается падение момента с увеличе­ нием скорости вращения породоразрушающего инструмента.

Выделим на расстоянии х от верхнего торца малый элемент стержня длиной А* и обозначим через fx величину момента со-

42

а

б

Рис. 5.2. Пример зависимостей момента сопротивления вращеншо долота со стороны забоя от скорости вращения

противления вращению бурильной колонны из-за ее трения о стенки скважины и взаимодействия с буровым раствором, при­ ходящейся на единицу длины колонны (рис. 5.3). Тогда на вы­ деленный элемент действует момент сопротивления вращению f?Ax. Составим уравнение равновесия элемента при его равно­ мерном вращении. В этом случае п(х) = щ при изменении х в пределах [О, Н]. Поскольку разность действующих в противопо­ ложных торцах крутящих моментов М(х + Ат) и М(х) должна уравновешиваться моментом fz Ах, то имеем, что

М(х + Ах) - М(х) « / тДт.

Поделив левую и правую части полученного равенства на длину элемента Ат и устремив его к нулю, найдем:

^ = / „

(5.1)

Подставив сюда значение М(.т) согласно выражению (2.7), по­ лучим:

	d\_ / т		(5.2)
	dx2	GJp

Уравнение (5.2) описывает изменение угла поворота текуще­ го поперечного сечения бурильной колонны в зависимости от его координаты х при равномерном вращении.

43

Граничные условия:

1. х = 0: фо = 0;

2 .1 = Я; GJr£ = ~М„(Р, т).

Первое граничное условие говорит о равенстве нулю относи­ тельного поворота верхнего сечения (этот факт очевиден), а вто­ рое - о равенстве момента в нижнем сечении стержня моменту сопротивления вращению долота со стороны забоя (знак «ми­ нус» указывает на противоположные направления действий этих моментов).

Пусть параметр fx постоянен по длине бурильной колонны. В этом случае записанная задача (5.3) легко решается, и для вели­ чины фо(я') получаем:

л(х)=^ а 1'** _(/,я + м,,(р-*>)4

(5,4)

Крутящий же момент, действующий в произвольном сече­ нии колонны, запишется согласно (2.7) после подстановки <р =

= Ф о (* ):

М(х) = fx•(х - Я ) - М „(Р, щ).

(5.5)

Подставив теперь в соотношение (5.4) значение х = Н, полу­ чим угол закручивания нижнего торца бурильной колонны (за­ бой) относительно верхнего (устье скважины):

Фо(Я ) = - ^ ( ^ + М н (Р,п.))-

(5.6)

Знак «минус» указывает на отставание угла закручивания нижнего торца по отношению к верхнему.

При х = 0 соотношение (5.5) дает значение крутящего момен­ та М (0), который необходим для вращения колонны в скважине. Его абсолютная величина Мт = |М(0)| равна:

Mm = f x H + M„(P,nо).

(5.7)

При отсутствии контакта породоразрушающего инструмента с забоем (бурильная колонна находится в подвешенном состоянии)

45

момент Мн(Р = 0 , п) = 0 , а тогда при известном значении М0 в верхнем сечении (ротор) и известной глубине скважины форму­ ла (5.7) позволяет оценить величину параметра /х:

=	(5-8)
Следует отметить ещё один нюанс, связанный с	изменением

момента Мн при страгивании породоразрушающего инструмента из состояния покоя (п = 0), когда инструмент контактирует с забоем при отличной от нуля осевой нагрузке. Как правило зависимость Мц(п) при Р = const выбирается таким образом, чтобы соблюдалось равенство Мн(п = 0) = 0. Это, видимо, связа­ но с тем, что при решении соответствующих задач гораздо при­ ятнее иметь дело с непрерывными функциями (тем более соот­ ветствующее число раз дифференцируемыми), чем имеющими разрыв в некоторой точке (в данном случае при п = 0). Однако такое допущение противоречит физике процесса, поскольку долото не может быть приведено во вращение из состояния покоя при его контакте с забоем сколь угодно малым момен­ том.

В качестве примера рассмотрим оценку величины момента страгивания трёхшарошечного долота, как наиболее распростра­ нённого породоразрушающего инструмента, из состояния по­ коя MQ.

На рис. 5.4 показано трёхшарошечное долото, на шарошках которого через Zi, Z2 и Z3 обозначено соответственно коли­ чество зубцов на каждом из периферийных венцов. Для оцен­ ки MQ воспользуемся расчётной схемой, представленной на рис. 5.5, где схематично изображён один из периферийных вен­ цов. В модели для простоты принято, что осевое усилие Р при­ ложено к периферийным зубцам (по Р/Ъ на каждую из шаро­ шек).

Рассмотрим периферийные венцы одной из шарошек в мо­ мент страгивания породоразрушающего инструмента из состоя­ ния покоя. В этот момент все усилие Р/Ъ сосредоточено в точке Q. Количество венцов Z, в шарошке и ее радиус нам известны, отсюда мы просто можем оценить угловое расстояние между со­ седними венцами.

Силу тяги N,- для г-го венца радиуса г,' можно просто оценить из условия равенства моментов относительно точки Q:

! т;-sin ^ cos

46

(5.9)

Оценим значение момента сопротивления M Q в момент страгивания из состояния покоя. Для этого возьмем долото, за­ висимость момента сопротивления которого представлена на рис. 5.2, а. Исходные данные для долота будут следующие: осе­ вая нагрузка Р = 50000 Н, диаметр долота do = 0,14 м, все ша­ рошки имеют одинаковое число периферийных зубцов: Z\ = Z2 = = Z3 = 20.

Тогда согласно выведенной выше формуле получаем:

Мс	_ п- 0.14-50000 f 4 :+ i +		i ) = 553 Нм.
	U o	20	20)

Данный результат отмечен точкой на оси ординат рис. 5.2, а. Прерывистой линией показан участок, экстраполирующий дан­ ную зависимость на малые частоты вращения вплоть до момента страгивания долота из состояния покоя.

Итак, теперь у нас имеются в наличии необходимые данные, чтобы рассмотреть состояние БК при её вращательном движе­ нии.

ЛИТЕРАТУРА

1.Одношарошечные долота/А.В. Зубарев, Г.И. Матвеев, Ю.В. Рыжиков и др. - М.: Недра, 1971.

2.Юнин Е.К. Низкочастотные колебания бурильного инструмента. - М.: Не­ дра, 1983.

3.Юнин Е.К. Устойчивость равномерного вращения бурильной колонны//Фундаментальный базис новых технологий нефтяной и газовой промыш­ ленности. Сб. статей, вып. 2. - ИПНГ РАН и Минобразования РФ. - М.: ГЕОС, 2002. - С. 296-302.

4.Юнин Е.К., Хегай В.К. Динамика глубокого бурения. - М.: Недра, 2004.

5.Юнин Е.К. Введение в динамику глубокого бурения. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.

Лекция 6

АНАЛИЗ ВРАЩЕНИЯ БУРИЛЬНОЙ КОЛОННЫ

В предыдущей лекции была отмечена весьма важная деталь математической модели вращения БК - падение момента сопро­ тивления вращению долота со стороны забоя с возрастанием скорости его вращения при постоянной осевой нагрузке. А те­ перь, исходя из элементарных соображений, покажем, как уменьшение момента сопротивления вращению долота со сторо­ ны разрушаемого забоя с возрастанием скорости вращения вы­ зывает формирование незатухающих крутильных колебаний бу­ рильной колонны, а следовательно, и долота, - крутильных ав­ токолебаний (этот вид колебаний возникает при подведении энергии к колеблющейся системе от источника неколебательного характера) [1, 2]. Для этого обратимся к рис. 6.1.

Пусть в некоторый момент времени скорость вращения до­ лота пн (которая при равномерном вращении бурильной колон­ ны равна ио) в силу некоторой причины (например, из-за изме­ нения осевой нагрузки или же подклинки) уменьшилась и стала равной nmin(рис. 6.1, поз. 1). В результате этого момент на долоте Мн возрос до значения Мтяхи от забоя к устью скважины начало распространяться крутильное волновое возмущение со скоростью X, уменьшающее угловую скорость вращения поперечных сече­

ний колонны на величину Ьп = щ - nmin. Через время ty = j- воз­

мущение достигнет верхнего сечения колонны. Отразившись от него [см. формулу (4.13)], волновое возмущение начнет распро­ страняться к забою в виде обратной волны, которая, встретив­ шись с прямой волной, гасит ее (рис. 6.1, поз. 2). В результате этого в верхней части колонны сечения начинают вращаться с угловой скоростью, соответствующей номинальному значению щ (ротор), а сечения нижней части, до которой обратная волна не

дошла, продолжают еще подкручиваться. В момент t2 = ^ об­

ратная волна полностью гасит прямую, колонна закручивается на максимальную величину, и в момент прихода обратной волны к

49

О

М„ И Ш м „ ш и

забою долото резко увеличивает угловую скорость вращения. Скорость вращения долота становится максимальной птях, мо­ мент Ми падает до минимального значения Mmln, колонна начи­ нает раскручиваться (переход потенциальной энергии закручива­ ния в кинетическую энергию вращения) и, аналогично сказанно­ му выше, от забоя к устью скважины начинает распространяться со скоростью X крутильное возмущение, увеличивающее угловую скорость вращения сечений (рис. 6.1, поз. 3). В момент времени

tz = ^ оно достигает верхнего торца. Отразившись от него,

вниз начинает распространяться обратная волна (рис. 6.1, поз. 4),

и в момент времени — достигает забоя, полностью погасив

50