книги / Теория автоматического управления. Линейные системы управления
.pdfэлектромеханическая цепь, обеспечивающая преобразование элек тромагнитной энергии в механическую энергию вращения вала ротора; JR- приведенный к валу двигателя момент инерции электродвигателя и вращае мого механизма; М, Мс - соответственно электромагнитный момент электро двигателя и момент сопротивления на его валу; ш - скорость вращения вала двигателя.
Таблица 5.2
а) |
б) |
U,,
о
в) |
г) |
А/,
Ш ®
м «
Рис. 5.4. Функциональная схема (а) и схемы замещения (6-г) электродвигателя постоянного тока
Для описания динамических моделей электрических цепей электро* двигателя воспользуемся законами Кирхгофа, а для описания механической цепи - 2-м законом Ньютона. Тогда получим:
(5.9)
d(D
где Тэ, Тл - электромагнитные постоянные времени соответственно об
мотки якоря и обмотки возбуждения, Тэ = —L, Тъ =
Электромагнитные цепи двигателя взаимосвязаны. При подаче напря
жения U% по |
цепи якоря протекает ток |
/я, создающий электромагнитный |
момент, вращающий ротор, т. е. |
|
|
Л /= 0 * 0 |
4 ,, |
(5.10) |
где Сы - конструктивная постоянная двигателя.
5.3. Способы соединения звеньев. Правила преобразования структурных схем
Одним из основных вопросов теории управления является составление и преобразование структурных схем САУ.
Структурные схемы САУ, как уже отмечалось, графически отображают причинно-следственную связь их переменных. Мри непосредственном при менении прямого преобразования Лапласа к исходным дифференциальным уравнениям звеньев структура САУ может отображать собой далеко не оп тимальную в концепции “вход-выход” систему. Пользуясь определенными правилами, исходную структурную схему САУ можно упростить, сведя сс к структуре (конфигурации) с меньшим числом звеньев, но более сложных по структуре, или к конфигурации, содержащей только простейшие типовые звенья, но с общепринятой в конкретной предметной области структурой.
В теории управления техническими системами традиционно применя ется три основных типа соединения динамических звеньев: последователь ное, параллельное и с обратной связью. Кроме того, наличие нескольких входов у линейных динамических звеньев позволяет в ряде случаев метода ми структурных преобразований схем существенно упростить исследование динамической модели САУ при заданных входе и выходе. При этом ряд многих взаимосвязанных звеньев сводится к одному или относительно не большому числу взаимосвязанных звеньев. При анализе таких структурных схем гораздо отчетливее проявляется роль каждого звена в преобразовании входного воздействия САУ, чем эго было бы при рассмотрении дифферен циальных уравнений, описывающих САУ.
В основе преобразований структурных схем линейных САУ лежат присущие линейным системам свойства суперпозиции, коммутативности, ассоциативности и др. Основные правила преобразований структурных схем приведены в табл. 5.3.
Особую значимость в теории управления имеет 4-е структурное преоб разование (см. табл. 5.3). Поскольку в основе построения подавляющего большинства САУ используется введение обратных связей по регулируемой координате или возмущающему воздействию, преобразованную структур ную схему можно рассматривать как обобщенную структурную схему любой замкнутой системы. При этом Wx представляет собой передаточную функ цию разомкнутой САУ, a W2 - передаточную функцию звена обратной свя
зи. Знак “+” в знаменателе передаточной функции соответствует отрицатель
ной обратной связи, знак |
- положительной обратной связи по регулируе |
мой координате. |
|
В качестве примера найдем передаточные функции электродвигателя постоянного тока, регулируемого по цепи якоря (см. структурную схему,
рис. 5.5), для двух случаев: в координатах “напряжение якоря - скорость вращения" и “момент сопротивления на валу - скорость вращения".
|
|
Таблица 5,3 |
_________ Правила преобразования структурных схем |
||
Hiп/п Название структурного |
Исходная структурная |
Преобразованная струк |
преобразования |
схема |
турная с х е м а __ |
Перестановка звеньев |
|
■=- ИЪ — Wt |
Последовательное со |
|
|
единение звеньев |
|
|
Параллельное соединение звеньев
Встречно-параллельное соединение звеньев
Перенос линии свази до звена
Перенос линии связи за звено
Перенос сумматора до звена
Перенос сумматора за звено
т н |
г |
X |
Y |
- f |
WiWi jr |
W
W
" Г
1
W
Wx + Wx
X Y
WKWt * 1
t ►w i
* w i
2L |
W |
|
X |
|
|
|
W |
|
|
|
Y+Z |
Т г |
а_1_ |
2 |
X |
^ |
п |
W |
|
|
|
|
|
Y |
W |
|
|
|
В первом случае разомкнутая цепь двигателя содержит последователь но включенные апериодическое, безынерционное и интегрирующее звенья, а
в обратной связи - одно безынерционное звено с передаточной функцией СеФн. Применяя 2-е и 4-е правила преобразования структурных схем, полу
чим
К.
Щ р ) =-Тир{Т,р +1) + 1 (5.14) где Кл , Ти - соответственно коэффициент передачи двигателя и электро
1
механическая постоянная времени, Ка =
Q Ф СМФ
Во втором случае разомкнутая цепь двигателя содержит одно интегри рующее звено, а в обратной связи - последовательно включенные безынер ционное звено с передаточной функцией СсФн, апериодическое звено и бе зынерционное звено с передаточной функцией СыФи. Применяя 2-е и 4-е
правила преобразования структурных схем, получим
R3Kt(r^p + \) |
(5.15) |
W2(/>)= — д^ --— |
Тыр{Т3р + 1) + \
5.4. Представление САУ в виде сигнальных графов. Правило Мейсона при преобразовании структурных схем
Структура любой системы управления может быть представлена в виде сигнального графа (графа прохождения сигналов в САУ). Граф представляет собой некоторое множество определенным образом связанных элементов (вершин, или, иначе, узлов графа) и ребер (дуг, или, иначе, ветвей графа). Основные свойства сигнального графа:
1.Каждая вершина графа отображает одну из переменных (координат состояния) системы, а следовательно, элементы графа и элементы системы - понятия различные. Графическое изображение вершины графа - окружность или точка.
2.Каждое ребро (дуга) графа отображает, с одной стороны, направле ние прохождения сигнала, с другой - закон преобразования входной пере менной в выходную. Это означает, что каждому ребру графа может быть по ставлено в соответствие свое уравнение связи, например в виде передаточ ной функции. Графическое изображение ребра графа-линия со стрелкой.
3.Если к вершине графа подходит несколько ребер, то соответствую щая ей величина равна сумме выходных величин входящих ребер, что делает ненужным использование в графах суммирующих элементов.
4.Если из вершины графа исходит несколько ребер, то входная вели чина для этих ребер будет одной и той же, что делает ненужным использова ние в графах точек разветвления.
К сигнальным графам линейных САУ применимы те же правила структурных преобразований, что и к структурным схемам. Например, па
раллельное соединение звеньев САУ и их преобразование может быть ото бражено графами, представленными на рис. 5.6.
Щр)
Щр)+ ШрУ+ И'э(р)
%ш\
№(/
Рис. 5 6. Граф параллельно соединенных звеньев и его преобразование
Структурные преобразования сложных многосвязных линейных САУ, опирающиеся на аппарат структурных схем, являются весьма трудоемким процессом. Они требуют применения многочисленных рутинных промежу точных процедур объединения звеньев и установления их передаточных функций. Мейсоном был предложен альтернативный способ взаимосвязи между двумя произвольными переменными системы, опирающийся на тео рию графов.
Введем необходимые определения.
Путь - это ребро или последовательность ребер, которые могут быть проведены от одной вершины к другой.
Прямой путь между двумя заданными вершинами - непрерывная по
следовательность ребер одного направления, при прохождении которой ка ждая вершина встречается не более одного раза.
Контур - это замкнутый путь, который начинается и заканчивается в одной вершине, причем вдоль этого пути ни одна другая вершина не встре чается дважды.
Некасаюшиеся контуры - контуры, не имеющие ни одной общей вер шины.
В соответствие с правилом Мейсона передаточная функция (ребро) между двумя произвольными вершинами а и b определяется выражением
------- ’ |
<516) |
где к - число прямых путей между вершинами а и 6,
fVnpк(р ) - передаточная функция А-го прямого пути, равная произведе
нию передаточных функций, входящих в этот путь ребер,
Д(р) - определитель графа,
&к (р) - А-й минор определителя графа.
Определитель графа находится по формуле
А(р) = 1 - Х ^ / + 1 ^ Д К>- I 1ГК11ГК/1ГКЛ+..., |
(5.17) |
•t.J
где WKi - передаточные функции различных контуров, / - номер контура,
WKiWKJ - произведения передаточных функций некасающихся пар
контуров (комбинаций из двух некасающихся контуров),
WKiWK/WKk - произведения передаточных функций некасающйхся
троек контуров (комбинаций из трех некасающихся контуров) и т. д. Минор определителя графа Лк(р) равен определителю графа при уда
лении к-го пути (всех ребер и вершин, лежащих на А-м пути).
В качестве примера составления сигнального графа САУ приведем ма тематическую модель электродвигателя постоянного тока, регулируемого по цепи якоря, рассмотренную в разделах 5.2, 5.3. В качестве регулируемой ко ординаты примем угол ср поворота вала электродвигателя. Это означает, что выходная координата электродвигателя будет являться интегралом от угло вой скорости со двигателя и в структурной схеме электродвигателя (см. рис.
5.5) на ее выходе добавится пятое звено с передаточной функцией —.
Р
Сигнальный граф электродвигателя показан на рис. 5.7. Передаточные функции (ребра графа) имеют вид:
Щ р ) = |
|
2KFJ |
i,(p) |
Ка |
||
|
и , ( Р ) ~ Е л(р) Т,р + Г |
|||||
Щ Р ) = |
®(Р) |
1 |
|
|
<й(р) р |
|
Щ р ) - м е(р) |
J aP |
<°(р) |
к |
|||
|
С
Рис. 5.7. Сигнальный граф электродвигателя постоянного тока
Определим передаточную функцию (ребро графа) между двумя вер шинами А и В с помощью формулы Мейсона, полагая момент нагрузки на валу двигателя Мс= 0.
Сигнальный граф имеет один прямой путь между вершинами Л и В,
т. е. k =1, и один контур. Передаточные функции прямого пути и контура
W v M ’ W ilp W iip W iip W sip ),
^ А р )= ~ Щ р )Щ<<р ) Щ р ) ^ ( р ).
Определитель графа в соответствие с (5.17) и минор определителя гра фа имеют вид
А(/>) = 1 - ^ = 1 + w,(PW2(PWJ(PW4(P). А.(р) = 1•
Передаточная функция электродвигателя в соответствии с (5.16)
w |
= ^nPl(p)A,(p) _ |
wx( p W 2kpW*(pW5<j>) |
(5.18) |
|
А(Р) |
1+ Wi(p)W2(p)H/3(p)WA(p) |
|
|
|
В окончательном виде передаточная функция электродвигателя по управлению со стороны цепи якоря после подстановки в (5.18) передаточных функций звеньев будет иметь вид
К„ |
К . |
WAB(p)= |
(5.19) |
p[JaR,K2ap(T3p +1) +1] |
р[Тыр(Т,р +1) +1] |
Определим передаточную функцию между вершинами С и В, полагая
напряжение на якоре двигателя Ц, = 0.
Сигнальный граф имеет один прямой путь между вершинами С и В и
один контур. Передаточные функции прямого пути и контура |
|
|
K P^ P ) =- W 3(P W 5{P ), |
|
|
K I(P ) = - W1(P W 2(P W3(P W<(P ). |
|
|
Определитель графа и минор определителя графа имеют вид |
|
|
А(/>) = \ - w Kl =\ + ^ ( P W 2(P W , ( P W A(P ), AJ(P ) = 1. |
|
|
Передаточная функция электродвигателя |
|
|
^iO>)AiO>) |
Щ р ) Щ р ) |
(5.20) |
WCB(P) = |
i + w ^ p W i i p W i l p W ^ p Y |
|
А(р) |
|
В окончательном виде передаточная функция электродвигателя по мо менту сопротивления на валу после подстановки в (5.20) передаточных функций звеньев будет иметь вид
|
Л,/Гд2(7 > + 1) |
WCB{p) = |
(5.21) |
р[Тир(Т,р + \) + Ц |
Заметим, что полученные с помощью сигнального графа передаточные функции (5.19, 5.21) электродвигателя соответствуют передаточным функциям (5.14, 5.15), полученным на основе дифференциальных уравнений.