книги / Устойчивость и колебания трехслойных оболочек
..pdfВводя новую функцию х» связанную с ф зависимостью
i = |
- R |
z |
ds |
(5.28) |
получим |
|
|
|
|
, = / ! _ « |
J L |
) |
х: |
|
\V ds2 ) Л
|
|
|
|
|
01 + |
02 |
А2 |
d |
/ 02 |
1 |
1 ' |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
01 ‘ |
Р |
ds |
1 ds2 |
' |
Я2 ,M ’. |
|
|
||||
|
|
*аа— |
/ |
02 |
1 |
1 \ |
|
A2 |
|
02 |
^ |
x ; |
|
(5.29) |
||
|
|
| |
|
3 |
|
|
| |
|
||||||||
|
|
|
|
U«2 |
1 R? 1 0 |
1 |
|
0S2 , |
|
|
|
|||||
|
M n = ~ D |
|
|
|
|
1Ю |
|
02 |
' |
|
|
|
||||
|
|
' R 2 y |
|
|
|
I s 2",|x; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
\ds2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Qt = |
- D |
- |
|
|
|
|
|
|
Ш |
., |
02 ' |
|
|
||
|
|
|
|
|
> ( * - ’ P |
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
|
ds l, ds2 1 |
|
|
052 i |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = |
- - в |
; |
0 = |
01 + 208+ |
03; |
|
|
|
|
. |
|
(5.30) |
|||
|
|
|
12 |
|
|
1 |
1 |
8 Т ® |
|
|
|
|
вв, |
|
|
|
Теперь уравнение (5. 14) запишется в виде |
|
|
|
|
||||||||||||
|
djc2 Т |
|
0S2 \dS2 |
|
|
|
|
р |
0S2 ) |
^ |
(5.31) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Уравнение совместности. Второе уравнение получим, исклю |
||||||||||||||||
чая из первых трех и шестого соотношения |
|
(5. 9) |
перемещение |
|||||||||||||
U2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д2*22 |
I п д 2 |
( д 2 |
|
|
|
|
д2 |
[ |
02 |
|
|
|
|
|
д^22 |
|
0 * 2 |
“Г ^ 0 S 2 |
[ ds2 |
|
|
|
|
dxds \ |
dS2 |
* |
R? ) eVf\-R ds^dx2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5. 32) |
Это уравнение совместности деформаций. Упростим его, полагая равной нулю деформацию сдвига е i2 и линейную относительную окружную деформацию £22- Имеем
д2*22 | п |
д2 / |
_]__М |
еа = 0 . |
(5. 33) |
||
0 * 2 |
~Г |
|
d s 2 |
0S2 _ Г /?2 ) |
||
Выражая х2г через %из (5. 29), найдем |
|
|
||||
<32 |
/1 |
Ш |
|
|
(5.34) |
|
0*2 |
[ |
р |
|
|
|
|
Вычисляя хц согласно |
(5.19), получим |
|
||||
M11= E k e 1 |
Eh2 |
А2 _d2_\ |
(5.35) |
|||
2 |
|
р |
ds2 / X, |
|||
|
|
|
|
101
отсюда
Nu |
д2 г 1 |
А2 |
d2 |
(5 .3 6 ) |
Eh 1 2 |
12 дх2 V |
P |
ds2 |
|
Подставляя (5. 36) в уравнение (5. 34), найдем
£А^ |
д2 |
f l - |
/?А |
ь12 |
d2 |
|
ds2 " |
— |
|
ds2 * ~ г £ ) * |
(5-37> |
||
dx2 |
V |
|
|
Разрешающее уравнение. Исключая из уравнений (5.31) в (5. 37) Nu, придем к разрешающему уравнению относительно х
ds* |
\ds2 |
' Я2 ) |
{ |
р |
ds2) |
~ |
|
|
1 Я дх* \ |
2 |
ds2 12 J |
\ |
p |
ds2 / * |
d2_ |
Pi |
(5.38) |
ds2 |
но
2 ds2
поэтому (5. 38) приводится к следующему виду:
f l j i . |
/ d2 1 |
M V i |
*** |
ds* \ ds2 |
l 1 |
p |
|
, £A |
d4 /.i |
A2 * Ч ¥ - |
|
|
dx4 \ |
P ds2 j |
^ |
£ ) * +
1 d2
(5.39)
/? ds2 P'
где функция р, определяемая |
поверхностными |
|
нагрузками на |
||||||||||
оболочку, находится из (5.16). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Уравнение |
устойчивости |
найдем, |
|
принимая |
в |
качестве по |
|||||||
верхностной нагрузки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ат-о |
д2и2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
_ |
^ 2 \ |
I |
» = jVn —— |
|
|
|
|
|
|
|
|
Я |
д х ) ~ |
|||
|
дх2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.40) |
Подставляя (5.40) |
в уравнение |
(5.39), |
получим |
|
|
||||||||
|
Э2 |
1 |
\2 |
д4 |
£A |
d4 |
|
|
|
|
|
||
|
ds2 |
' Я2 |
|
ds4 |
Я2 |
dx4 |
o |
- |
f |
a * |
- |
||
- [ |
д* / д2 |
|
9 |
|
о |
|
|
|
Я2?)+, |
||||
дх2ds2 \ ds2 |
|
+ 2JV' |
ds3dx \ ds2 |
||||||||||
№и |
|
|
|
|
|
12■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds2 |
‘ |
^2 |
|
|
f |
£ |
) I[“ |
a |
|
(5' 41) |
|
|
|
|
|
s r ) ] ( , - |
|
Перейдем к рассмотрению частных задач.
102
2.УСТОЙЧИВОСТЬ УДЛИНЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ
ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ |
|
|
Полагая в уравнении (5.41) |
|
|
№п = —N ; JV »= 0; |
№к= 0 |
(5.42) |
и |
|
|
. , тих . |
ns |
/с лл\ |
Х=5Со sin —j— sin — , |
(5.43) |
(R — радиус; / — длина оболочки; т — число продольных полу волн; п — число окружных волн), найдем критическое равномер ное удельное сжимающее усилие трехслойной круговой цилинд рической оболочки
N |
Рп2 |
1 |
Я? |
(П2_ 1)2 |
ПЧ\2 |
ц2т 2Я4 |
(5.44) |
Я2 |
|
л2 |
(л2+1) |
т2л* |
X2 (л2 + 1) л2 |
||
|
|
|
1 + * ^ г
где, как и ранее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
n2h2 . |
„ |
12Я2 |
, |
I |
||
|
k = |
----- |
и2----------- ; |
Х = — . |
||||
|
|
Щ |
|
|
Я4Д20 |
|
£ |
|
Проводя минимизацию |
этого |
выражения по |
||||||
п2№/т2п4, найдем |
|
|
|
|
|
|
П2 |
|
|
/ |
|
|
|
|
|
||
N |
в_ Eh2 л2— 1 |
/ |
1 + ^ Я 2 |
|||||
|
|
3 |
R |
л2 + 1 |
I / |
- |
||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ к |
Отсюда для однослойной оболочки имеем |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Eh2 л2- |
1 |
|
|
|
|
|
|
~ |
VbR |
п2 + 1 ‘ |
|
При п = 2 из (5.47) найдем
М— УЪ Eh2
5 R
Это известный результат Саутуэлла [30].
Для трехслойной оболочки имеем формулу
(5.45)
переменной
(5.46)
(5.47)
(5.48)
д г _ / 3 в |
Eh2 |
/ я2+ т |
(5.49) |
|
5 |
/? |
я2 + 4& |
||
|
103
3.УСТОЙЧИВОСТЬ при р а в н о м е р н о м в н еш н ем
ПОПЕРЕЧНОМ ДАВЛЕНИИ
В докритическом безмоментном состоянии под действием равномерного поперечного давления в оболочке возникают только усилия N22°, равные
N l2= - q R . |
(5.50) |
Остальные усилия равны нулю
N u = N 12=0. |
.(5.51) |
Принимая .в (5.41) функцию % в виде (2т, п — соответственно число продольных и окружных волн; xo=const)
. пиlx . |
ns |
(5. 52) |
X= Хо sin —— stn —— , |
||
1 |
к |
|
получим выражения для критического внешнего равномерного поперечного давления трехслойной круговой цилиндрической оболочки
Ш 2
Ря2 |
1 + |
Я2 |
Л2— 1 |
|
______m4v& |
(5.53) |
Я |
1 + "it2”kn2 |
Я2 |
Ц |
п4(л2— 1) |
||
/?3 |
|
|||||
где |
я2/г2 |
|
12Я2 |
|
|
|
|
|
|
\ = — |
(5.54) |
||
|
' № |
|
/г2я4в |
|
||
|
|
|
R |
|
||
Из (5. 53) следует, что минимум достигается при т = II, формула |
||||||
для q приобретает вид |
|
|
|
|
|
|
Ря2 |
1 + - Я2 Л2— 1 |
|
яб |
(5. 55) |
||
ч = - |
|
кп2 |
Я2 |
Х4 |
л4 (л2— 1) |
|
/?3 |
1+ |
|
||||
|
Я2 |
|
|
|
|
Минимизируя это выражение при целоисчисленных значениях параметра волнообразования п, найдем величину критического давления q*.
Для весьма длинных оболочек второе слагаемое при п ф 1 пренебрежимо мало, поэтому
Ря2 я2+ §kn2 л2— 1
(5.56)
R3 я2+ kri1 я2 ’
откуда следует, что минимальное значение критического давле ния достигается при п = 2, а значение
3D |
я2 + № |
|
я*~- R8 |
я2 + ik |
(5.57) |
|
|
104
Из (5. 55) в случае однородной оболочки имеем
Р Я 2 |
Г Л2 — 1 |
яб |
(5. 58) |
|
Ч~~ /?з |
[ Я 2 |
Х4 л 4 ( л 2 — 1) |
||
|
и для весьма длинной оболочки эта формула переходит в извест ную формулу Грасгофа — Бресса— Леви — Брайана [23]
<7*= |
ЗР |
(5. 59) |
|
/?® |
|||
|
4. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ ВСЕСТОРОННЕМ ВНЕШНЕМ РАВНОМЕРНОМ ДАВЛЕНИИ
В этом случае докритическое безмоментное состояние харак теризуется усилиями
№ п = - З В - ‘, |
N n = ~ q H ; |
JV ia= 0. |
(5.60) |
|||||
Принимая, как и ранее, функцию х в форме |
|
|
||||||
|
|
|
. тлх . |
ns |
|
|
(5.61) |
|
|
Х=Хо sin — |
sin — |
|
|
||||
(т — число продольных |
полуволн, п — число окружных |
волн; |
||||||
Х о = const) и вводя ее в уравнение |
(5.41), найдем выражение для |
|||||||
критического внешнего |
всестороннего |
|
равномерного давления |
|||||
трехслойной круговой |
цилиндрической оболочки |
|
||||||
|
|
|
Ькп2 |
|
|
|
|
|
РЯ2 |
|
1 + ■я 2 |
(Я2- l)2 |
|
||||
Я |
|
|
кп2 |
_т2_ |
л2- |
1\ |
|
|
/г» |
|
1 + |
|
|||||
|
|
"я2" |
2X2 + |
|
|
Я4 |
|
|
|
|
|
Я 2 |
) |
|
|||
|
|
|
/й4я4 |
|
|
|
(5. 62) |
|
|
|
|
/И2 |
Л2— 1\ |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ix ? + |
я2 |
j |
|
|
|
из которого следует, |
что |
минимального |
|
значения q достигает |
||||
при /72=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ькп2 |
|
|
|
|
|
|
Ря2 |
1 + - |
|
(Л 2 — I ) 2 |
|
|
|||
|
Я 2 |
|
|
|||||
<7= /?з |
|
&л2 |
|
|
|
|
|
!+■“я2"
яб |
(5. 63) |
|
105
Здесь, как и прежде,
:ЛЗД. |
12Я2 |
(5.64} |
|
РЯ2 ’ ^ |
Я«А20 ’ |
||
Я |
Для достаточно длинных оболочек эта формула переходит в со ответствующую формулу предыдущего раздела, и для бесконеч-. но длинной оболочки критическое значение внешнего равномер-1 ного всестороннего давления совпадает с критическим значени ем внешнего равномерного поперечного давления
q * = M L |
_я2_+_4^ , |
(5.65) |
Я3 |
я2+ 4А |
' |
5.УСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ
Пусть по торцам цилиндрической оболочки приложены кру тящие моменты Л1,ф. В докритическом безмоментном состоянии удельные усилия в оболочке равны
№и = №22= 0 ; |
№а = ^ - . |
(5.66) |
|
2 Я /?2 |
|
Принимая функцию %в виде |
|
|
X = sin T Z L ja sin |
+ ь cos |
(5. 67) |
(a, b, T] — параметры, n — число окружных волн) |
и подставляя |
ее в уравнение устойчивости (5.41), приходим к следующим двум уравнениям:
|
|
|
л4(л2— 1)2 |
• |
Eh / |
лк) |
тя \< /. |
. А2 |
|
\ |
ш |
)' |
Я8 |
|
1 |
Я2 1 |
я ± |
1 ) \ |
РЯ2 »8) + |
|
+ 2N a - |
л 3 (л2— 1) / _ Л 1 + ИЯj j |
|
|
|||||
|
Я5 |
1 |
|
|
' , + - * L „ .) = o. (5 .68) |
||||
|
|
|
|
|
. |
ря2 |
1 |
Из этого уравнения следует, что минимум Nu достигается при
т = 1 .
Вводя обозначения
|
|
k-— |
А2Я 2 _ |
X |
I . |
, _, _______ яЯ |
(5.69) |
|||
|
|
Р/2 |
’ |
Я |
’ |
~ Я ’ |
In ' |
|||
приведем |
уравнения |
(5 .68) |
к |
виду |
|
|
||||
|
|
1 4- — |
|
|
|
о |
|
X2 |
|
|
2ЛГ°2 |
2f20 |
|
1- $2^ |
|
— £2( - Ч ± 5 )3 |
|
||||
^ |
{2 |
|
|
|
(5.70) |
|||||
Eh |
12 |
|
k |
|
X2 |
„ |
|
v |
Х2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 + |
р- |
|
|
|
|
|
|
|
106
Суммируя и вычитая эти уравнения друг из друга, найдем
|
и |
/ Х2 |
\ |
Х2 |
*11 № 1 + ~¥ |
|
К 1 1 |
(5.71) |
|
Eh '_ 24 |
' к |
X2 „ „ |
' 2 |
„ Х2 |
1 + |
р |
|
£2) |
1 —£2-------- |
> 5!<’2- |
^ Я2 |
12Ф| еч ■*4,
Ьк |
Х2 |
Х2 |
|
е2------- |
+ 31)2) |
|
|
|
1 — |
S2 (£2 |
|
1+ -? |
Я2 |
я2 |
(5.72) |
к |
|
-О |
|
X2 „ |
Х2 |
|
h2-^2) |
1-6* |
|
|
1 + ~¥ rf6*' |
|
Я? |
|
С помощью равенства (5.72) |
|
выражение (5.71) |
приводится к |
виду |
|
|
|
N n = 2 E k |
Щ Ц (ч2 + S2) |
(5.73) |
"2 ( ' - 62£ )
Кроме того, (5. 72) позволяет определить т) при заданном значе нии |, т. е. п, и подстановкой в (5.73) найти минимум N\£
|
|
i + |
i * |
/ 1 _ |
|
|
П4— 2_ w |
— |
— |
g - 1 --------- |
= 0 . |
(5.74) |
|
3 |
3 ■ |
36 |
k |
X2 |
|
|
|
|
1 + li- |
\ |
|
|
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
TV?2 |
2Eh* |
|
|
|
(5.75) |
|
|
|
|
|
||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
/ /2 |
\5/4 Щ (t|2 + |
g2) |
|
(5.76) |
|
|
W |
. |
|
X* |
|
|
|
|
|
|
|||
Для однородной оболочки формула (5. 76) |
остается прежней, |
|||||
тогда как уравнение (5. 74) приобретает вид |
|
|
||||
|
|
|
|
„ Х2 \ 2 |
|
|
•П«— — rft2— - £ « — — |
|
Х2 |
- о . |
(5.77) |
||
3 |
3 |
36 |
|
|
|
|
|
|
|
— 52 |
|
|
|
|
|
|
я2 |
|
|
|
с помощью которого может быть найдено минимальное |
значе |
|||||
ние S . |
|
|
|
|
|
|
107
Г л а в а 6
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ НЕПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПРИ МАЛЫХ И КОНЕЧНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
В этой главе получены нелинейные уравнения равновесия „ устойчивости непологих трехслойных оболочек, состоящих Й различных изотропных несущих слоев и жесткого трансверсал* но изотропного заполнителя. В следующей главе эти уравнени будут использованы для оценки границ применимости уравнени локальной потери устойчивости и полубезмоментной теории. Та же, как и в гл. 5, здесь для заполнителя приняты кинематиче-' кие гипотезы прямых линий, для несущих слоев — гипотез Кирхгоффа — Лява. Как и ранее, используем общий для все трех слоев коэффициент Пуассона, определяемый по формул
где Еп, Vfc ( k = l , 2, 3) — модуль Юнга и коэффициент Пуассон первого, второго несущего слоя и заполнителя соответственна hk (k—i , 2, 3) —толщина первого, второго несущего слоя и за полнителя соответственно. Помимо введенных ранее обозначс ний положим А[, А2 и &ц, &22— параметры Ламе и главные крц визны поверхности, эквипотенциальной к срединной поверхност заполнителя.
1. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
Так как и гипотезы прямых линий и гипотезы Кирхгоффа - Лява предполагают несжимаемость материала слоев в попереч ном направлении, то функция прогиба точек оболочки не зави: сит от нормальной координаты г:
w = w (x ь х2). |
(6. 11 |
Обозначая через ф полный угол поворота нормали заполнит теля, на основании гипотез прямых линий для тангенциальны; перемещений точек заполнителя получим формулу
И* =U-i -(- Zifi ( — с < |
2 < с ) , |
( 6. 2 |
Ui — тангенциальные перемещения |
точек |
исходной поверх |
ности.
-Тангенциальные перемещения граничных поверхностей за
полнителя |
|
|
ull = a l -\-ctyi (z = c ); и;2= и г — |
(z — — c). |
(6.3 |
108
Теперь, используя гипотезы Кирхгоффа — Лява, для танген циальных перемещений точек несущих слоев найдем выражения:
для первого несущего слоя ( c ^ z ^ c + h i )
И/=«г + |
<%+ (г — с) [(и, + Сфг) k'u — Н' |
V ,,] ; |
(6.4) |
||||
для второго несущего слоя |
(—h2— c < z < — с) |
|
|
||||
и*= иi — |
- f (z + с) [(ut — ci|>,) k'u — |
|
. |
(6.5) |
|||
В этих формулах |
|
|
|
|
|
|
|
kj |
- A i -----; |
Ц i |
=■ A‘ ~ |
; H { ' = - A . - , |
|||
1 + скц |
|||||||
1— cku |
|
.1+ ckn |
1 — cku |
||||
причем ku и Aj — соответственно |
главные |
кривизны |
и пара |
||||
метры Ламе срединной поверхности заполнителя. |
|
|
|||||
Линейная деформация поперечного сдвига ец через переме |
|||||||
щения вычисляется по формулам |
|
|
|
|
|||
e ta— M/,z |
0 kuz) 1k[lUi |
Н i ^Wj |
(г= |
1 , 2). |
( 6. 6) |
||
Для заполнителя найдем согласно (1.2) |
|
|
|
||||
eZ _ |
— Ьцщ + ЛгУ,- |
й1 |
|
|
(6.7) |
||
|
1 + |
|
1 + кц2 |
|
|||
|
|
|
|
||||
Вводя вмессо ф новые перемещения |
|
|
|
|
|||
|
а 1=Ф/ — |
+ |
|
|
|
(6. 8) |
являющиеся углами поворота нормали в заполнителе, дополни тельными к углам поворота, имеющим место при отсутствии сдвига, запишем тангенциальные перемещения точек пакета в форме:
при (c ^ z ^ .c + h \ )
uZi = |
ut + -~\ Zk. U |
c a i -{ - z (k ilui — At Vi); |
|
|
1+ cku |
|
|
при (— c ^ z ^ c ) |
|
|
|
|
Ui— Ut-^-zicit-^ktjUi — At W [)m, |
(6.9) |
|
при (—h2— |
— c) |
|
|
и = щ — ~ + zk“ |
сщ - f z (kuUt— ATlw t) . |
|
l — ckn
Так как
zck)t 1 ,
эти формулы можно получить в виде:
109
при ( c ^ z ^ c + h i ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
иг = щ |
+ |
[1 + ( z - с) klt] car{-z(kiiU i - |
Л Г У *); |
|||||||||
при (— c ^ z s ^ c ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
u l= U i-{-z(ai-{-kiiU i — At У / ); |
(6. 10J |
|||||||||
при (—с—/гг ^ z^ —c) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
и ] = щ - [ \ |
+ (z + |
c)A„]ra/+ |
z |
( М г - ^ Г У ,- ) - ) |
||||||||
|
Деформация сплошного тела в общем виде вычисляются по |
||||||||||||
формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ef1 = e? + i - [ ( ef1)2 + ( ^ |
+ 4 ) 4 ( Y |
|
*?»— S)2] ; |
||||||||||
• J 2 = d a + Y |
\ Ш 2 + ( - ^ |
4 з + » 2 ) + ( e b - m f j ; |
|||||||||||
£ |
= |
|
[ Ш * |
+ ( ^ |
з + “*)2+ |
( т |
4 з _ |
шГ/ |
|||||
^ f2= ef2+ - ~ e il |
(е*2— ® з)+ ^ “ в22(е*2+ |
«4) + |
|
||||||||||
|
+ |
т |
( |
т |
* |
“ “0 |
( т |
4з+ш?) ; |
(6 .1 1 |
||||
|
|
||||||||||||
S23 = |
в|з + |
^22 |
|
^23 — |
“>1j + |
^33 |
^23 + |
“ 1j “Ь |
|
||||
|
—(- (^21 — |
шз ) |
|
^13 - ) - “ 2j |
; |
|
|
|
|
||||
Sl3 = |
£?3 - f - £ 3 3 |
|
^31 — |
®2j + |
^11 |
|
“b |
“ 2^ + |
|
||||
|
-f- |
^23— |
j |
(^12 + “з)* |
|
|
|
|
При вычислении деформаций в случае оболочки будем пред полагать, что осевые деформации еи, углы сдвига ец и поворо ты « а малы по сравнению с единицей, однако порядок малостг. углов поворота ниже порядка малости осевых и сдвигающих деформаций. При вычислении осевых и сдвигающих деформа* ций в \2 удобно использовать формулы (6. 10), тогда как при вы числении сдвигов е,-3 и углов поворота (о целесообразнее поль зоваться точными выражениями для тангенциальных перемете ний (6.9), которые для несущих слоев дают тождества
е 1з = 0 .