книги / Механика сплошных сред (теоретические основы обработки давлением композитных материалов с задачами и решениями, примерами и упражнениями)

1.2. КИНЕМАТИКА

По формулам Дж. Стокса (1.2.137) найдем компоненты тензора скоростей деформаций:

Ξ111 = ξ11 (1+ b1Bc ) − v2b1 ∂∂EBc ; 2

2

Ξ121 = ξ11 (1+b1Bc ) +b1 v1

∂Bc

+

1

(ψ −ψ+ ) ∂

B2c ;

2

∂E2

∂E2

Ξ112 = ξ11(1+b2 Bc ) −v2

∂b2

Bc +b2

∂Bc

;

∂E2

∂E2

Ξ122 = ξ11(1+b2 Bc ) + v1

∂b2

Bc +b2

∂Bc

;

∂E2

∂E2

1

+

∂2b

∂b

∂B

∂2 B

+

(ψ −ψ

)

2 Bc + 2

2

c

+b2

c

,

(1.2.180)

2

∂E22

∂E2 ∂E2

∂E22

где

2

b2

ψ

+

−ψ

−

∂b2

∂Bc

2

Bc

∂

=

2

+b2

∂

;

∂E2 ∂E2

∂E22

ψf −ψ+

∂E22

∂2 B

0,1875π2

(sin E

+sin 3E

).

∂E

c = −

(E − E )2

2

т

т

2

п

c

На стыке слоев функция тока основного решения принимает значение ψ = ψст, где

ψст = (ψ f + ψ+ )b1Bc . (1.2.181)

1+ b1Bc

Вдальнейшем для решения задач о совместном течении двух слоев, образую-

щих сплошную двухслойную среду, понадобится приращение вектора скорости на межслойной границе Sмс в интервале Eп ≤ E2 ≤ Eс:

111

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

'V V1 V 2.

(1.2.182)

Легко показать, что такой разрыв вектора скорости осуществляется за счет тангенциальной к межслойной границе Sмс составляющей вектора скорости, так как нормальная к этой границе составляющая векторов скорости обоих слоев равна нулю.

Условие непрерывности нормальной к поверхности Sмс стыка слоев составляющей вектора скорости

		V1p V 2 p	(1.2.183)
		всегда является дополнительным кинема-
		тическим граничным условием в постанов-
		ке задач о движении композитных сред.
		Поле скоростей (1.2.179), построенное
		на функциях тока (1.2.176), независимо от
		вида основного решения «автоматически»
	Рис. 29. К построению плоского КВ9поля удовлетворяет условию (1.2.183).
	скоростей при прокатке двухслойной (а) и	Расчет основных параметров двухслой-
	трехслойной (б) полос
		ного течения покажем на примере прокат-

ки биметаллической заготовки. В качестве основного используем решение с функцией тока (П3.54), текущей высотой проката (П3.59) и полем скоростей (П3.58) (рис. 29). Используя формулу Дж. Стокса (1.2.137) и (П3.58), легко найдем компоненты тензора скоростей деформаций основного решения:

h0

c

[

[

V

h0 E1

§

cc

2

c

2hc2

f 2

·

.

[11

[22

V0

21

2

¨

h f

h f

¸

(1.2.184)

h2

h f ;

12

0

2h

h

©

¹

Сначала рассмотрим прокатку несимметричного пакета (рис. 29, а), для ко-

	торой по формуле (П3.54) на уровнях E1			h	; E1			h	определим значения
				2				2
	\ V0	h0	; \	V0		h0	,	(1.2.185)
		2				2

112

1.2. КИНЕМАТИКА

на уровне E1 = − h20 + h01 при h = h0 и на уровне E1 = − h21 + h11 при h = h1 – соответствующие значения функции тока

						ψ		=V			h − 2h1			; ψ		=V			h (h − 2h1 )				.
							s					0	0		f				0	1		1		(1.2.186)
									0				2				0			2h1
		По формулам (1.2.178) с помощью (1.2.185) и (1.2.186) найдем коэффициен-
ты стыковки слоев
							b =			h h1			−1;	b =					h1b			.
										0		1						1		1				(1.2.187)
										h h1						h1	− h (1+b B )
								1						2
										1		0				1		1		1	c
		Отсюда ясно, что при равенстве деформации обоих слоев, когда
	h1	=	h2	=	h
	0		0		0	коэффициенты b1 = b2 = 0 и все кинематические параметры со-
	1		2
	h		h		h
1		1			1

впадают с кинематическими параметрами основного решения.

С помощью (1.2.187), учитывая, что в области E2 ≤ Eп функция (1.2.177) равна единице, а ее первая производная по E2 равна нулю, по формулам (1.2.179) определим значение компонент вектора скорости до входа в зону возмущенного движения. Так как в основном решении (П3.58) при E2 = Eн величина v1 = 0,

то из (1.2.179) имеем V11 =V12 = 0, а остальные компоненты в этой области, учи-

тывая, что v

= v , имеют вид: V1

=V

h0h11

;

V 2

=V

h0 (h1 − h11 )

. Аналогичным

2

0

1

0 h h1

1

0 h (h − h1 )

1

0

1

0

0

образом в области E2 ≥ Eс

также имеем V1

=V 2

= 0

и Vf1

=Vf2 = vf , где

1

1

v

f

=V

h0

– скорость выхода обоих слоев из валков (скорость прокатки). Не-

h

0

1

трудно убедиться в том, что отношение скорости выхода слоев из очага деформации к их скоростям входа в этот очаг равно коэффициенту вытяжки* (при выполнении условия постоянства объема – отношению площадей поперечного сечения заготовки и изделия) каждого из слоев соответственно, что, естественно, связано с условием постоянства потоков обоих слоев.

Построение поля скоростей двухслойного течения на функциях тока (1.2.176) является универсальным с нескольких точек зрения. Во-первых, в нем может

*В некоторых изданиях вместо термина «коэффициент вытяжки» используют неправильный

термин «вытяжка», так как последний является операцией листовой штамповки (рис. 26).

113

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

быть использовано любое основное решение, удовлетворяющее кинематическим граничным условиям; во-вторых, это же поле можно использовать для исследования трехслойного двухкомпонентного (биметаллического) симметричного течения (рис. 29, б), положив ψ– = 0; в-третьих, его можно использовать с различным чередованием зон проскальзывания–сцепления (П–С, С–П, П–С– П и т. п.). В частности, для того чтобы поле (1.2.179), моделирующее схему П– С, переделать на схему С–П, достаточно поменять местами координатное положение точек Eп и Eс (рис. 28, б). Кроме того, применение в (1.2.176) вместо функции тока ψ основного решения, записанного в декартовых прямоугольных координатах Ei, функции тока ψρ основного решения, записанного в цилиндрических координатах Eρ, Ez

ψ1

= ψ

ρ

+b (ψ

ρ

−ψ+ )B ; ψ2

= ψ

ρ

+b (ψ

ρ

−ψ+ )B ,

(1.2.188)

ρ

1

ρ c

ρ

2

ρ c

позволяет использовать рассматриваемый метод стыковки двух слоев для моделирования осесимметричных течений. При этом в формуле для вычисления величины Eт, определяющей функцию сцепления (1.2.177), вместо E2 необходимо подставить Ez. Компоненты вектора скорости находим по формулам (1.2.128):

Vρ1 = vρ (1+b1Bc ) +b1

ψρ −ψρ+ ∂B

c ; Vz1

= vz (1+ b1Bc );

Eρ

∂Ez

Vρ2 = vz (1

+b2 Bc ) +

ψρ −ψρ−

∂b

Bc +b2

∂B

2

c ;

Vz2

= vz (1+b1Bc ), (1.2.189)

Eρ

∂Ez

∂Ez

где

∂b

= b2

ψρ+ −ψρ− ∂B

.

2

c

∂Ez

2 ψf −ψρ+ ∂Ez

По формулам Дж. Стокса (1.2.137) найдем компоненты тензора скоростей деформаций:

	Ξ1	= ξ	(1+b B ) −b		ψρ −ψρ+	+ v		∂B		;
								c
					E2
	ρ	ρ	1 c 1				z	∂E	z
					ρ

Ξ1θ = ξθ (1+b1Bc ) +b1	ψρ −ψρ+ ∂B
			c	; Ξ1z = −(Ξ1ρ +Ξ1θ );
	2
	Eρ		∂Ez

114

1.2. КИНЕМАТИКА

Ξ1

∂B

ψρ −ψρ+ ∂2 B

= ξ

(1+b B ) +b

v

c

+

c

;

2E

ρz

ρz

1 c

1

ρ ∂E

z

∂E2

ρ

z

Ξ2

= ξ

(1+b B ) −

ψρ −ψρ+

+ v

∂b

B +b

∂B

;

2

c

E

ρ

ρ

2 c

2

z

∂E

z

c

2 ∂E

z

ρ

Ξθ2 = ξθ (1+b2 Bc )

+

ψρ −ψρ+

∂b

Bc +b2

∂B

; Ξ2z = −(Ξρ2 +Ξθ2 );

2

c

2

∂Ez

∂Ez

Eρ

Ξρ2z = ξρz (1+b2 Bc ) + vρ

∂b2

Bc +b2

∂Bc

+

∂Ez

∂Ez

ψρ

−ψρ+

∂2b

Bc +

∂b

∂B

∂2 B

+

22

2

2

c +

2c

,

(1.2.190)

2Eρ

∂Ez

∂Ez ∂Ez

∂Ez

где

∂

2b

=

ψρ+ −ψρ−

2b2

∂b ∂B

+b22

∂2 B

2

2

c

c .

ψf

−

∂Ez ∂Ez

∂Ez2

ψρ+

∂Ez2

На стыке слоев функция тока основного решения принимает значение ψ = ψст, которое вычисляется по формуле (1.2.181).

Расчет основных кинематических параметров двухслойного течения в условиях осесимметричной деформации покажем на примере движения биметаллического цилиндра в локально сходящемся канале с углом конуса ω (рис. 30). Результаты анализа такого течения могут быть использованы для исследования процессов прессования и волочения круглых биметаллических прутков.

Функцию тока ψρ основного решения представим в виде (1.2.126), (1.2.129):

			R2 E2
ψ		= − V	0 ρ	,	(1.2.191)
			2R2
	ρ	0
где текущий радиус заготовки
	R = R0 – ztgω				(1.2.192)

115

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Рис. 30. К построению КВ9поля скоростей при осесимметричном деформировании биметаллического прутка

зависит от вспомогательной координаты z с точностью до символики, совпадающей с (П3.57):

z	0,5(Ez	§	9cos E	*		1	cos3E	* ·
		D) EJ¨						¸.	(1.2.193)
						3
		©						¹

На оси симметрии = \Υ . При EΥ = 0 из (1.2.191) имеем \Υ =0. На поверхности симметричной области течения двухслойной среды Υ = \Υ . Также по формуле (1.2.191) при EΥ = R находим значение

	\Υ V0	R02	.	(1.2.194)
		2

Далее на уровне EΥ = r0 при R = R0 и на уровне EΥ = r1 при R = R1 определяем соответствующие значения функции тока

			r02		V0	R02r12
\	Υs	V		; \Υ			.	(1.2.195)
						2
		0	2		f
						2R1

По формулам (1.2.178), где все значения функции тока для осесимметричных течений нужно рассматривать с индексом Υ, с помощью (1.2.194) и (1.2.195), учитывая, что \Υ = 0, найдем коэффициенты стыковки слоев

116

													1.2. КИНЕМАТИКА
	b =	R2r2		− R2r2	;	b =	b (r2		− R2 )			.
		0	1	1 0			1	1		1			(1.2.196)
		R2	(r2 − R2 )				r2	+ R2b B
	1					2
		1	0	0			1		1	1	c

Так же как при плоской деформации, легко показать, что при равенстве об-

щего коэффициента вытяжки μ

=

R2

об

0

и коэффициента вытяжки внутренне-

R2

r2

1

го слоя μ

=

2

0

величины b

= b

= 0 и все кинематические параметры слоев

r2

1

2

1

совпадают с параметрами основного решения.

С помощью (1.2.196), учитывая, что в области Ez ≤ Eп функция (1.2.177) равна единице, а ее первая производная по Ez = E2 равна нулю, по формулам (1.2.189) определим компоненты вектора скорости в этой области. Следует отметить, что характер распределения скоростей в рассматриваемой области определяется видом основного решения. Здесь применяемое основное решение с функцией тока (1.2.191) и соответствующим полем скоростей

		R2 E2		∂	∂		R2
v	=V	0	ρ	R	z	; vz =V0	0	(1.2.197)
							R2
ρ	0 R3			∂z ∂Ez

приводит к тому, что в области поступательного движения среды, где Ez ≤ Eп, вследствие v = 0 имеем Vρ1 =Vρ2 = 0, а остальные компоненты вектора скорости, учитывая, что vz = V0, имеют вид

V

1

=V

R2

(R2

− r2 )

; V 2 =V

R2r2

0

1

1

0 1

.

(R2

− r2 )

0

0 R2

0

0 R2r2

1

0

0

1

0

Аналогичным образом в другой области поступательного движения среды, где

≥ E , также имеем V

1

=V

2

= 0 и V

1

=V

2

=V

, где v = V

R2

E

f

0

– скорость вы-

z

с

ρ

ρ

z

z

f

0 R2

1

хода обоих слоев из зоны возмущенного движения. Так же как при плоской деформации, в данном случае выполняется условие постоянства потоков обоих слоев.

Упражнение 1.2.21. Показать, что при совпадении коэффициентов вытяжки обоих слоев двухслойного течения (плоского или осесимметричного) с общим коэф-

фициентом вытяжки деформируемой заготовки величины V01 и V02 совпадают.

117

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Упражнение 1.2.22. По приведенному выше алгоритму анализа течения со схемой П–С выполнить анализ полей скоростей (1.2.179) и (1.2.189) двухслойного течения со схемой С–П кинематического взаимодействия

1.2.11. Двухмерное стационарное течение многослойной среды

Принцип стыковки слоев двухслойных течений, изложенный в предыдущем пункте, распространим на более общий случай течения N-слойного тела.

В области : с границей S, включающей граничные линии тока = + и

= –, рассмотрим течение многослойного тела M N M (рис. 31). На сты-

1

ке i-го и (i + 1)-го слоев, используя для определенности схему П–С их взаимодействия, расположим точки Eпi и Есi, через которые проведем изолинии Bc = const так, чтобы в точках Eпi величина Bc = 1, а в точках Есi – Bc = 0. В упрощенном варианте такие изолинии можно аппроксимировать ломаной Всi = const, получаемой фиксированием функции Всi = Всi (E2) в этих точках в каждом i-м слое, кроме последнего. Для i-го слоя (i = 1, ..., N) по аналогии с (1.2.176) запишем функцию тока

i	= r	i – 1	+ bi( r	i – 1	– f	)Вс	(1.2.198)
						i – 1	i

и вспомогательную функцию тока

r	i	= r	i – 1	+ ai( r	i – 1	– –)Вс .	(1.2.199)
						i

При этом r0 = ; f0 = +. Во всех слоях, кроме последнего, коэффициенты стыковки слоев вычисляем по формулам

Рис. 31. Схема взаимодействия слоев N9слойного тела

118

1.2. КИНЕМАТИКА

b =

ψfi

−ψsi

;

a =

bi (ψfi

−ψfi−1 )

.

(1.2.200)

ψ

−ψ

ψ

−ψ− +(ψ

−ψ− )b B

i

s

f

i

f

f

i−1

i

i−1

i

c

i

i

В последнем N-м слое

ψN = ψr

N

; bN = aN.

(1.2.201)

Так же как в случае двухслойного течения, коэффициенты bi и ai полностью определяются значениями ψri – 1 на стыке слоев у входа (Eпi) в зону их возмущенного движения (ψri = ψsi ) и от точек Eci до выхода из этой зоны (ψri = ψfi).

По формулам (1.2.105) для плоского течения или по формулам (1.2.128) для осесимметричного течения, используя (1.2.198) и (1.2.199), находим компоненты вектора скорости i-го слоя. В частности, для плоского течения

V i =

∂ψri−1

(1+b B ) +b (ψ

r

−ψ

f

)

∂Bci

; V i = −

∂ψri−1

(1+b B ),

(1.2.202)

1

∂E

i c

i

∂E

2

∂E

i

c

i

i−1

i−1

2

i

2

1

где

∂ψr

=

∂ψr

(1+bi Bc

) +(ψr

−ψ

−

∂a

Bc + ai

∂Bc

i

i

i−1

)

i

;

∂E2

∂E2

∂E2

∂E2

i

i−1

i

∂ψr

=

∂ψr

(1+ a B ).

i

i−1

(1.2.203)

∂E1

∂E1

i ci

Если во всей зоне возмущенного движения многослойного тела построена непрерывная функция Bс, то в формулах (1.2.190), (1.2.191), (1.2.194), (1.2.195) вместо Bci необходимо использовать эту функцию. В случае аппроксимации такой функции для каждого i-го слоя можно использовать функцию сцепления слоев в виде (1.2.177):

Вс	= 0,5 + 0,0625(9 sinЕт			i	+ sin3Ет ),		(1.2.204)
i						i
где
	Eтi	=	π(2E2 − Eпi − Eci )			.	(1.2.205)
			2(Eпi − Eci		)

119

1. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ КОМПОЗИТНЫХ СРЕД

Упражнение 1.2.23. По формулам Дж. Стокса (1.2.137) с помощью поля скоростей (1.2.202), (1.2.203) получить компоненты тензора скоростей деформаций плоского стационарного многослойного течения.

Упражнение 1.2.24. Используя функции тока (1.2.190), (1.2.191) и формулы (1.2.116), определить компоненты вектора скорости и тензора скоростей деформаций осесимметричного стационарного течения многослойных тел

Опыт построения полей скоростей плоских течений многослойных сред можно использовать при построении полей скоростей многослойных течений в трехмерном пространстве.

1.2.12.Объемное стационарное течение слоистых композитов

Воснове построения объемного стационарного течения многослойной среды используется общий принцип построения трехмерных полей скоростей (1.2.104). Изложенный ниже метод может быть использован для построения полей скоростей при моделировании процессов деформирования металлов для получения изделий с частичными одно- и двусторонней плакировками (тонкими слоистыми

Рис. 32. К построению КВ9полей скоростей при течении плакированных (а, б) и армированных (в, г) тел

Рис. 33. К построению объемного течения с по9 мощью двух плоских течений

покрытиями), а также изделий, армиро ванных одним или несколькими волокнами (рис. 32). При необходимости криволинейные образующие поперечных сечений основного слоя, плакировки или волокна аппроксимируются ломаными прямолинейными образующими.

Как отмечалось (1.2.104), построение одного объемного поля скоростей стационарного течения сводится для одного ik-го слоя к построению двух скалярных функций <i и Lk3 . Если при деформации прямоугольной заготовки (рис. 33) отсутствуют вертикальная депланация боковых поверхностей и горизонтальная депланация горизонтальных поверхностей, то функции <i и Lk3 могут быть представлены в виде <i(E1, E2) и Lk3 (E2, E3) соответственно. В этом случае функцию тока <i и сопутствующую ей функцию <ri в плоскости E1E2 представим в виде (1.2.198), (1.2.199), а по-

120