книги / Сборник задач по аналитической геометрии

§45]

УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ, ПРЯМОЙ И СФЕРЫ

141

Выразим вектор M QM через радиус-векторы его конца и начала:

MQM = г -	то.
Отсюда и из (1) находим
(г - го) п =	0 .	(2)

Это есть уравнение плоскости а в векторной символике; ему удовлетворяет радиус-вектор г точки М в том и только в том случае, когда М лежит на плоскости а [г называется текущим радиус-вектором уравнения (2)].

1122 . Доказать, что уравнение т + D = 0 определяет плос­ кость, перпендикулярную к вектору п. Написать уравнение этой плоскости в координатах при условии, что п = {А, 5 , С).

1 123 . Даны единичный вектор п° и число р > 0. Доказать, что уравнение т ° — р = 0 определяет плоскость, перпендикулярную к вектору п°, и что р есть расстояние от начала координат до плоскости. Написать уравнение этой плоскости в координатах при условии, что вектор п° образует с координатными осями

углы а , /? и 7 -				расстояние d от точки Mi (п ) до плоскости
1124 . Вычислить
т ° —р =	0.	Выразить расстояние			d также в координатах при
условии, что		n =	{a?i; yw zi}, п° =		{cosa; cos/?; cos7 }.
1125 . Даны		две	точки Mi (п ) и М2 (гг). Составить уравнение
плоскости,	которая			проходит через	точку Mi перпендикулярно
к вектору	M i Мг-			Написать уравнение этой плоскости также в
координатах при условии, что п =					{хг, уг, zi}, г2 = {х2; у2; Zo}.

1126 . Составить уравнение плоскости, которая проходит через

точку	Мо(го) параллельно векторам		aj и аг. Написать урав­
нение	этой плоскости также в	координатах при условии, что
= {so; уо; Z0}, ai = {/1; mi; m },		a2 =	{h\ m2‘, n2}.

1127 . Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки M i (п ), М2 (гг) и Мз (г3). Написать уравнение этой плос­ кости также в координатах при условии, что n = {x i; 2/1; z i},

Г2 = {хг; Уг\ z2}, Гз = {х 3; уз\ z3}.

1128 . Составить уравнение плоскости, которая проходит че­

рез точку Мо (го)		перпендикулярно			к плоскостям	m i -I- Di = 0,
m 2 + D2 = 0.	Написать		уравнение		этой плоскости	также	в ко­
ординатах при	условии,		что го =	{хо; уо; zo}, r»i =		{A i;	C i},
П2 = { A2; B 2\C2}.
1129 . Доказать,		что уравнение		[(г - го) a] = 0 определяет пря­

мую, которая проходит через точку Мо(но) параллельно векто­ ру а, т.е. что этому уравнению удовлетворяет радиус-вектор г точки М (г ) в том и только в том случае, когда М лежит на указанной прямой.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим произвольную точку Л /(г). Пусть г удо­ влетворяет данному уравнению; по правилу вычитания векторов г - го = Л/оЛ/;

142 УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [Гл. 9

так как [(г — го) а] = 0, то [МрМ а] = 0; следовательно, вектор МрМ кол- линеарен вектору о. Значит, точка М действительно лежит на прямой, кото­ рая проходит через Мр в направлении вектора а. Обратно, пусть М лежит на этой прямой. Тогда МрМ коллинеарен а. Следовательно, [МрМ а] = 0; но МрМ = г — го; отсюда [(г — го) а] = 0. Итак, заданному уравнению удовлетво­ ряет радиус-вектор г точки М в том и только в том случае, когда М лежит на указанной прямой (г называется текущим радиус-вектором уравнения).

ИЗО. Доказать,	что	уравнение	[га] =	т определяет		прямую,
параллельную вектору		а.
1131 . Доказать,	что	параметрическое		уравнение	г =	го + a i,
где t — переменный	параметр, определяет прямую, которая про­
ходит через точку	Мо(го) (т.е.		при изменении t		точка М (г)

движется по указанной прямой). Написать в координатах канони­

ческие уравнения этой прямой при условии,	что го =	{яо; Уо] zo},
а = {/; т ; п}.	М\ (п )
1132. Прямая проходит через две точки		и Мг (гг).

Составить ее уравнения в виде, указанном в задачах 1129, ИЗО, 1131.

1133. Составить уравнение плоскости, проходящей через точ­ ку М\{г\) перпендикулярно к прямой г = Го — at. Написать уравнение этой плоскости также в координатах при условии, что

П = {z i; уг, ^ i}, а = {/; m; п }.
1134. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
М о(г0)	параллельно прямым [rai] = тщ, [газ] — гпз.
1135	. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
Мо (го) перпендикулярно к плоскостям		rni + Di = 0, т г + Б г = 0.
1136	. Прямая проходит через точку	Мо (го) перпендикулярно

к плоскости	m + D = 0.	Составить ее уравнение в параметри­
ческом виде.	Написать каноническое уравнение этой прямой в
координатах	при условии,	что Го = {я 0; у0; z0}, п = {Л ; В ; С }.

1137 . Прямая проходит через точку Мо (го) параллельно плос­

костям	TTLI + Di	= 0,	гпз + D2 =			0.	Составить	ее	уравне­
ние в параметрическом			виде.	Написать каноническое уравнение
этой прямой в координатах при					условии,		что го =	{яо; уо] го},
щ = {A-i] В\\ C i},		пг =	{ А2 ; Вч\ Сг}.
1138 . Вывести условие, при котором прямая г =								го + a t ле­
жит на	плоскости	m + D =		0.	Написать		это условие		также в
координатах при		условии, что			г0 =	{я 0; уо; z0], а		=	{/; тп\ п },
п — { А;	В ; С }.

1139 . Составить уравнение плоскости, проходящей через пря­
мую г = го + a\t	параллельно прямой [гаг] = т .
1140 . Вывести	условие, при котором две прямые г = n + a it
и г = Г2 + аг£ лежат в одной плоскости.

1 141 . Найти радиус-вектор точки пересечения прямой г = г о + а £ и плоскости m + D = 0. Вычислить также координаты х , у, z точ­

ки	пересечения при условии, что го = {яо; уо] ZQ), а = {/: тп\ п ),
п =	{А\ Б ; С }.

§46]		ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА						143
11 4 2 . Найти		радиус-вектор	проекции		Mi (п )	на		плоскость
т + D = 0.		Вычислить также		координаты х,		yt	z	этой про­
екции при условии, что Г\ = {x i; j/i; z i},					п —{А; В\ С}.
1	1 4 3 . Найти радиус-вектор проекции точки М\ (п ) на прямую
г =	го + at. Вычислить также координаты х, у, z этой проекции
при	условии, что Г1 = {s i; ух; Zi},			г0 = {х0; уо\ z0},			а -	{1\ т ; п).
1 144 . Вычислить расстояние			d	точки	Mi (п )	от	прямой г =

=го + at. Выразить расстояние d также в координатах при

условии, что п = {ал; уи z i}, г0 = {хо; уо; ZQ), а = {/; т\ п}.

1 145 . Вычислить кратчайшее расстояние d между скрещиваю­

щимися		прямыми г = г\ + a\t и		г = гг + а2£.	Выразить рассто­
яние	d	также в	координатах при	условии, что	= {x i; yi\ zi},
Г2 =	{хг\ Уг\ 22},		ai = {h\ mi; тн},	ог = {£2; т 2; п2}.

1 146 . Доказать, что уравнение ( г - г о ) 2 = R2 определяет сферу с центром С (го) и радиусом, равным R (т.е., что этому уравнению удовлетворяет радиус-вектор г точки М в том и только в том случае, когда М лежит на указанной сфере).

1147 . Найти радиус-векторы точек пересечения прямой г —at

и сферы	г 2 —R 2.	Вычислить также координаты точек пересече­
ния при	условии,	что о = {/; т ;	п}.
1148 . Найти радиус-векторы			точек пересечения прямой г =

= ro + at и сферы (г —го)2 = R2. Вычислить также координаты то­

чек пересечения при условии, что го = {хо; уо\ z0}, а =	{/; т\ п}.
1 1 4 9 . Точка M i (гх) лежит на сфере (г —го)2 = R2.	Составить

уравнение касательной плоскости к этой сфере в точке Mi. 1150 . Составить уравнение сферы, которая имеет центр С (ri)

и касается плоскости т + D =	0.	Написать		уравнение этой
сферы также в координатах при	условии,		что	= {х х; yi\ zi},
п = {А\ В; С }.
1151 . Составить уравнения плоскостей,			касательных к сфере
г 2 = R 2 и параллельных плоскости m		4- D = 0.		Написать урав­
нения этих плоскостей также в	координатах при условии, что
п = {А\ В ; С }.				го + at и сферы
1152 . Через точки пересечения	прямой		г =

( г —го)2 = R 2 проведены касательные плоскости к этой сфере. Со­ ставить их уравнения. Написать уравнения этих плоскостей также в координатах при условии, что го —{хо; уо\ ^о}> о = {/; тп; п).

	§ 46 . П оверхности второго порядка
Э ллипсоид ом назы вается поверхность,		которая в некоторой системе декар­
то в ы х п рям оугольн ы х координат определяется уравнением
У равн ен и е	(1) н азы вается каноническим	уравнением эллипсоида. Величины
а, Ь, с с у т ь	полуоси эллип со ид а (рис. 47).	Е сл и все они различны , эллипсоид

144

УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

[Гл. 9

называется трехосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид является поверхностью вращения. Если, например, а = 6, то осью

вращения будет Oz. При а — Ь< с эллипсоид вращения называется вытянутым, при о = Ь > с — сжатым. В случае, когда а = b = с, эллипсоид представляет собой сферу.

Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе де­ картовых прямоугольных координат определяются уравнениями

±__| 2___= 1			А»	(2)
.2 Т 12		.2
21	+ 2 1 - * 1		- - ]	(3)
о2	+ Ь2	с2

Гиперболоид, определяемый уравнением (2), называется однополостным (рис. 48); гиперболоид, определяемый уравнением (3),— двуполостным (рис. 49); уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями соответствующих

Рис. 47

гиперболоидов. Величины а, 6, с называются полуосями гиперболоида. В слу­ чае однополостного гиперболоида, заданного уравнением (2), только первые из них (а и 6) показаны на рис. 48. В случае двуполостного гиперболоида, заданно­

го уравнением (3), одна из них (именно, с) показана на рис. 49. Гиперболоиды, определяемые уравнениями (2) и (3), при а = 6 являются поверхностями вра­

щения.

Параболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе де­ картовых прямоугольных координат определяются уравнениями

где р и q— положительные числа, называемые параметрами параболоида. Па­ раболоид, определяемый уравнением (4), называется эллиптическим (рис. 50); параболоид, определяемый уравнением (5),— гиперболическим (рис. 51). Урав­ нения (4) и (5) называют каноническими уравнениями соответствующих пара­ болоидов. В случае, когда р = q, параболоид, определяемый уравнением (4), является поверхностью вращения (вокруг Ог).

§46]	ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА	145

Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое называется рав­ номерным сжатием (или равномерным растяжением).

Выберем какую-нибудь плоскость; обозначим ее буквой а. Зададим, кроме того, некоторое положительное число q. Пусть М — произвольная точка про­ странства, не лежащая на плоскости а, Мо— основание перпендикуляра, опу­ щенного на плоскость а из точки М. Переместим точку М по прямой ММо в новое положение М' так, чтобы имело место равенство

MQM1= <7•MQM

и чтобы после перемещения точка осталась с той же стороны от плоскости а , где она была первоначально (рис. 52). Точно так же мы поступим со всеми точ­ ками пространства, не лежащими на плоскости а; точки, которые расположены

146 УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [Гл. 9

на плоскости а , оставим на своих местах. Таким образом, все точки простран­ ства, за исключением тех, что лежат на плоскости о, переместятся; при этом расстояние от каждой точки до плоскости а изменится в некоторое определенное число раз, общее для всех точек. Описываемое

•Л/	сейчас перемещение точек пространства называ­
	ется его равномерным сжатием к плоскости а ;
	число д носит название коэффициента сжатия.
	Пусть дана некоторая поверхность F ; при
	равномерном сжатии пространства точки, кото­
	рые ее составляют, переместятся и в новых по­
Р и с . 52	ложениях составят поверхность F '. Будем гово­
	рить, что поверхность F ' получена из F в резуль­

тате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что многие поверхности второго порядка (все, кроме гиперболического параболоида) можно получить в результате равномерного сжатия из поверхностей вращения.

П рим ер. Доказать, что произвольный трехосный эллипсоид

может быть получен из сферы

х2 + у2 + z2 = а2

в результате двух последовательных равномерных сжатий пространства к ко­ ординатным плоскостям: к плоскости Оху с коэффициентом сжатия q\ = £ и

кплоскости Oxz с коэффициентом сжатия q2 =

До к а з а т е л ь с т в о . Пусть производится равномерное сжатие пространства

кплоскости Оху с коэффициентом qi = £ и пусть М '(х'; у1) z') — точка, в кото­

рую переходит при этом точка М(х\ у; z). Выразим координаты х ', у1, г' точки М' через координаты х, у, z точки М . Так как прямая М М ' перпендикулярна к плоскости Оху, то ж' = I у' = у. С другой стороны, так как расстояние от точки М‘ до плоскости Оху равно расстоянию от точки М до этой плоскости,

умноженному на число qi =	то z' = ^ z.
Таким образом, мы получаем искомые выражения:
х' =	X,	у' =у, z' = | Z	(6)
х = х',		у= у\	(7)

Предположим, что М (х; у; z )— произвольная точка сферы

х 2 + у 2 + z2 = о2.

Заменим здесь х, у, z их выражениями (7); получим

4 * ,2 = « 2.

с2

откуда

4 + 4+4	1.
от а2 а2

§46]

ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

147

Следовательно, точка М '(х'; у'; г') лежит на эллипсоиде вращения. Аналогич­ но, мы должны осуществить сжатие пространства к плоскости Oxz по формулам

тогда получим трехосный эллипсоид и именно тот, уравнение которого дано в условии задачи.

Отметим еще, что однополостный гиперболоид и гиперболический парабо­ лоид суть линейчатые поверхности, т. е. они состоят из прямых; эти прямые называются прямолинейными образующими указанных поверхностей.

Однополостный гиперболоид

имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются урав­ нениями:

где а и /3— некоторые числа, не равные одновременно нулю. Гиперболический параболоид

также имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями

Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая проходит через постоянную точку S и пересекает некоторую определенную ли­ нию L. Точка S называется вершиной конуса; линия L — направляющей.

Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность, ко­ торая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта пря­ мая имеет постоянное направление и пересекает некоторую определенную ли­

нию L (направляющую).
1153	. Установить, что плоскость х —2 = 0 пересекает эллипсоид
Й + 15	+ Т ==1 п0 ЭЛЛИПСУ> найти его полуоси и вершины.
1 154 . Установить, что плоскость		z + 1 = 0 пересекает однопо­
лостный гиперболоид § 2 “ 18 + Т		= ^ по гипеРб°ле1 найти ее
полуоси и вершины.

148 УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [Гл. 9

1155. Установить, что плоскость у + 6 = 0 пересекает

гипербо­

лический параболоид

— ~ = Qz по параболе; найти ее параметр

и вершину.

1156. Найти уравнения проекций сечения эллиптического па­

раболоида у2 + z2 = х плоскостью х + 2у -

z = 0 на координатные

плоскости.

1157. Установить, какая линия является сечением эллипсоида

У2 + ^

+ у = 1 плоскостью 2 т - З у + 4 г - 1 1 = 0, и найти ее центр.

1158. Установить, какая линия является сечением гиперболи­

ческого параболоида у

- у = у плоскостью Зх -

Зу + 4z + 2 = О,

и найти ее центр.

1159. Установить, какие линии определяются следующими урав­

нениями:

1)

у

+

^

=

2г:,

Зх -

у + 6z - 14 =

0;

2)

£

-

£

= 2*,

я — 2JI + 2 = 0;

3 )

£ + £ - £ = 1> 9 i - 6 y + 22 - 28 = 0,

и найти центр каждой из них.

1160. Установить, при каких значениях тп плоскость

х + m z -

- 1 = 0 пересекает двуполостный

гиперболоид х2 + у2 —z2 = —1:

а)

по эллипсу;

б)

по гиперболе.

1161. Установить, при каких значениях тп плоскость

х + тпу -

- 2

=

0

пересекает эллиптический

параболоид

у

+

у

=

У'

а)

по эллипсу;

б)

по параболе.

1162. Доказать, что эллиптический параболоид ^- +

у

=

2у

имеет

одну

общую

точку с плоскостью 2х -

2у —z — 10 =

0,

и

найти ее координаты.

2

2

2

1163. Доказать, что двуполостный гиперболоид

— §5 =

—1

имеет одну общую точку с плоскостью Ъх + 2z + 5 =

0,

и

найти

ее координаты.

2

2

2

1164. Доказать,

что

эллипсоид

f i

+

+

у

=

1

имеет

одну

общую точку с плоскостью 4т -

Зу + 12z -

54 =

0,

и

найти

ее

координаты.

1165. Определить, при каком значении

т плоскость

т — 2у —

- 2z + т = 0 касается эллипсоида

+ у

=

1.

1166. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к век­

тору

п = { 2; - 1; - 2} и касающейся эллиптического параболоида

§ 46) ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 149

1167. Провести касательные плоскости к эллипсоиду 4х2+16у2+ + &z2 = 1 параллельно плоскости х - 2у + 2z + 17 = 0; вычислить расстояние между найденными плоскостями.

1168 . Коэффициент равномерного сжатия пространства к плос­ кости Oyz равен 3/5. Составить уравнение поверхности, в кото­ рую при таком сжатии преобразуется сфера х2 + у2 + z2 = 25.

1169 . Составить уравнение поверхности, в которую преобра­

зуется эллипсоид ^ + 25 + fg = 1 при трех последовательных равномерных сжатиях пространства к координатным плоскостям, если коэффициент сжатия к плоскости Оху равен 3/4, к плоско­ сти Oxz равен 4/5 и к плоскости Oyz равен 3/4.

1170 . Определить коэффициенты q\ и <72 двух последователь­ ных равномерных сжатий пространства к координатным плоско­ стям Оху} Oxz, которые преобразуют сферу х2 + у2 + z2 = 25 в

эллипсоид |г + 16 + Т = 1- 1171. Составить уравнение поверхности, образованной враще­

нием эллипса р- + ^г = 1, х = 0 вокруг оси Оу.

Р е ш е н и е *). Пусть М (х; у; z) — произвольная точка пространства, С — основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось Оу (рис. 53). Вра­ щением этого перпендикуляра вокруг оси Оу точка М может быть переведе­ на в плоскость Оуг\ в этом расположении обозначим ее N {0; Y\ Z). Так как

СМ = CN и СМ = V x* + Z*, CN =	IZ |, то
\Z\ =	у /х 2 + *2 .	( 1)
Кроме того, очевидно, что
	Y = y.	(2)

*) Задача 1171 решена здесь как типовая.

150

УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

[Гл. 9

Точка М лежит на рассматриваемой поверхности вращения в том и только в том случае, когда N лежит на данном эллипсе, т. е. когда

Y l . Z i	= 1;	(3)
Ь2 + с2

принимая во внимание равенства (1) и (2), отсюда получаем уравнение для

координат точки М:

у2 . х2 + z2 _ ,

(4)

Из предыдущего ясно, что оно удовлетворяется в том и только в том случае, когда точка М лежит на рассматриваемой поверхности вращения. Следователь­ но, уравнение (4) и есть искомое уравнение этой поверхности.

1172. Составить уравнение поверхности, образованной враще­

нием эллипса ^3- + = 1, z —0 вокруг оси Ох.

1173. Составить уравнение поверхности, образованной враще­

нием гиперболы = у = 0 вокруг оси Oz.

1174. Доказать, что трехосный эллипсоид, определяемый урав­

нением % +	+ % = 1, может быть получен в результате вра-
а	° 2 °	2
щения эллипса ^- +		= 1, z = 0 вокруг оси Ох и последующего

равномерного сжатия пространства к плоскости Оху.

1175. Доказать, что однополостный гиперболоид, определяе­

мый уравнением = 1, может быть получен в результате

а° 2 с 2

вращения гиперболы ^ = 1, у = 0 вокруг оси Oz и последу­

ющего равномерного сжатия пространства к плоскости Oxz. 1176. Доказать, что двуполостный гиперболоид, определяемый

уравнением х2 V2 г 2 = - 1, может быть получен в результате

вращения гиперболы |у - |у = 1, у = 0 вокруг оси Oz и последу­

ющего равномерного сжатия пространства к плоскости Oxz. 1177. Доказать, что эллиптический параболоид, определяемый

X 2	V2	=	2z, может быть получен в результате вра­
уравнением — +

щения параболы х2 = 2pz, у —0 вокруг оси Oz и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Oxz.

1178. Составить уравнение поверхности, образованной движе­ нием параболы, при условии, что эта парабола все время остается в плоскости, перпендикулярной к оси Оу, причем ось параболы не меняет своего направления, а вершина скользит по другой параболе, заданной уравнениями у2 = - 2 qz, х = 0. Подвижная парабола в одном из своих положений дана уравнениями х 2 = 2pz, у = 0.