книги / Механика композитных материалов. 1983, т. 19, 3
.pdfЗначительный вклад в уменьшение начального модуля Е0 должно внести дробление волокна, что было подтверждено прямым подсчетом разрушенных волокон, вытравленных из матрицы в растворе КОН.
Изменение |
модуля |
упругости ВКМ |
можно |
оценить |
по формуле |
[7] |
|||||
|
|
|
|
1 + аг] Vf |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Е — Ещ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-лУ/ |
|
|
|
|
|
||
где а, |
г) |
— |
параметры, зависящие |
от эффективной |
длины |
волокна |
L |
||||
и его диаметра D, а также от упругих свойств Е/ и Ет. График данной |
|||||||||||
зависимости, построенный в координатах |
АЕ |
D |
|
рис. |
4. |
|
|||||
---- приведен на |
|
||||||||||
Если |
все |
падение |
начального модуля, |
достигающее, |
как |
это |
следует |
из рис. 3, 4%, отнести за счет дробления волокна, то эффективная длина волокна может быть оценена величиной параметра D /L ^ 0,02.
Выводы. 1. Исследование закономерностей развития микропластических деформаций ВКМ посредством анализа изменений дефектов мгновенного модуля нормальной упругости в процессе непрерывного нагружения образца показало, что традиционно принятое разделение кривой деформации а = ст(е) на участки упругой и упругопластической деформации является весьма упрощенным и не отражает всей слож ности процесса развития микронеоднородной пластической деформа ции в межволоконном объеме «мягкой» матрицы, ответственной за фор мирование конечных прочностных и пластических свойств ВКМ.
2.Установлена высокая чувствительность начального участка кри вой растяжения ВКМ к предыстории нагружения. Первое нагружение ВКМ отличается высоким темпом входа «мягкой» матрицы в микропластическое деформирование. Однако некоторая часть ее (мертвая зона) остается упругой при весьма высоких напряжениях, вплоть до момента разрушения материала.
3.Вход матрицы в пластическое деформирование начинается прак тически сразу вслед за приложением нагрузки, причем при первом нагружении образца ВКМ наиболее высокий темп вовлечения межво локонного пространства матрицы в неупругое деформирование наблю дается именно на начальной стадии нагружения, что объясняется на личием высоких остаточных напряжений, формирующихся в процессе изготовления ВКМ (в основном при охлаждении образца).
4.Одной-двух «перегрузок» образца достаточно, чтобы стабилизи ровать структурное состояние ВКМ и существенно уменьшить темп вовлечения объема матрицы в микронеоднородное пластическое дефор мирование при последующих нагружениях. Для исследованного ВКМ
зависимость изменения дефекта модуля АЕ от деформации е близка
к линейной, а кривая деформациипредставляется параболической за висимостью. Установлен темп вовлечения межволоконного объема мат рицы в локальное пластическое деформирование при первом и после дующих нагружениях ВКМ и показано, что даже при высоких напря жениях, близких к пределу прочности, еще не весь объем «мягкой» матрицы деформируется пластически.
5. На основе анализа кривой деформации ВКМ можно получить важную дополнительную информацию1 о свойствах «элементарной структуры» и происходящих в ней изменениях (разрушение волокна, разрыхление матрицы) в процессе работы ВКМ под нагрузкой.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Композиционные материалы. М., 1978. Т. 1—8.
2.Крейдер К. Г. Материалы с металлической матрицей. — В кн.: Композицион ные материалы с металлической матрицей. М., 1978, т. 4, с. 11—47.
3.Сверденко В. П., Матусевич А. С., Чутаев И. X. Деформация композиционных материалов при повторных и знакопеременных нагружениях. — В кн.: Волокнистые и дисперсно-упрочненные композиционные материалы. М., 1976, с. 80—83.
4.Лоули А., Козак М. Дж. Влияние поверхности раздела на характеристики композита в упруго-пластической области. — В кн.: Поверхности раздела в метал
лических композитах. М., 1978, т. 1, с. 231-265.
5. Неупругис свойства композиционных материалов. М., 1978. 295 с.
6. Ш оршоров М. X., Цирлин А. М., Устинов Л. М., Верховский Л. А., Куди нов В. В., Галкин Ю. А., Щепилина Е. А. Влияние прочности борных волокон на некоторые механические характеристики боралюминия. — Физика и химия обработки материалов, 1980, № 4, с. 138— 142.
7. Сендецки Дж. Упругие свойства композитов. — В кн.: Механика композици
онных материалов. М., |
1978, т. 2, с. 61— 101. |
|
Институт металлургии |
им. А. А. Байкова |
Поступило в редакцию 30.06.82 |
АН СССР, Москва |
|
|
Волгоградский политехнический институт
УДК 539.3:539.4.001
С.С. Никольский
ОКАПИЛЛЯРНЫХ И ТРЕЩИННЫХ МАТЕРИАЛАХ
4*. СООТНОШЕНИЯ УПРУГОСТИ И ТЕРМОУПРУГОСТИ д л я СРЕДЫ, УПРОЧНЕННОЙ ВОЛОКНАМИ ИЛИ ПЛЕНКАМИ
ПО ПРОИЗВОЛЬНОЙ СХЕМЕ
Вопрос о выражении эффективных упругих характеристик двухфаз ных композитов через упругие характеристики фаз разработан, как утверждается в [1], исчерпывающе для однонаправленных волокнис тых композитов. При переходе к композитам, упрочненным волокнами или, пленками по более сложным схемам армирования, возникают из вестные трудности, преодоление которых тем легче, чем проще допу щения о состояниях фаз, совмещенных в объеме композита. Подход, основанный на простейших допущениях такого рода, излагается в дан ной статье.
Тензоры, характеризующие схему армирования. Скалярная функция ф(и) = ф ( 0 , ф) от направления в трехмерном пространстве порождает абсолютно симметричные трехмерные тензоры произвольного ранга общего вида [2]
я 2л
П г> . п = |
I |
UiUj |
. . . u n Q ) { w ) d Q { \ x ) = |
I |
j* U i U j . . . и п Ф ( 0 , < p ) s i n 0 d 0 d c p , |
|||
|
(4л) |
|
|
|
О |
О |
|
|
где i, / ,..., п —1, 2, 3; |
|
|
|
|
(О |
|||
^i = sin0coscp, |
H2 = sin 0 sin ф, |
w3 = cos0 — состав |
||||||
ляющие орта |
и |
в |
прямоугольных |
координатах |
Oz\Z2z3; dQ(и) |
или |
||
sin Qdddcp |
— малый |
телесный угол, |
охватывающий |
направление и. |
На |
зависимости вида (1) «опираются, по существу, все статистические теории пластичности или прочности, в которых усредняются пласти
ческие сдвиги или локальные разрушения |
по |
разным направлениям» |
[2, с. 188]. Значение тензоров вида (1) |
как |
статистических характе |
ристик множества разноориентированных объектов, по-видимому, еще шире. Так, при описании процессов переноса в капиллярной или тре щинной пористой среде мы воспользовались [3] тензором вида (1) второго ранга
я |
|
|
~2 |
2я |
|
Н ц — | |
J ЫгМ)Ф(0, q))sin0d0d<p. |
(2) |
оо
В-данной статье нам потребуется, кроме Я,;, тензор вида (1) четвер
того ранга
Л
~2 2л
K i j h i = J | UiUjUhUiO(Qy у ) s in Q dQ dy . |
(3) |
о о
Здесь под Ф(и) мы будем подразумевать плотность распределения включений (волокон или пленок) по направлению в несколько ином смысле, чем ранее [4], а именно, за меру распространенности включе ний, ориентированных в определенном направлении, мы возьмем не их
* Сообщение 3 см. [3].
длину (для капилляров) или площадь (для трещин), а объем:
ф {и ) = ^ |
[и’ ^ (и)] |
|
|
V*dQ(u) |
|
где V* — общий объем всех включений, dV*[u, dil (u) ] — объем |
вклю |
|
чений, ориентированных вблизи |
направления и в пределах |
dQ (и). |
Если распределение волокон или пленок по толщине не зависит от их ориентации, то такое определение функции Ф(и) совпадает с прежним [4]. Ввиду наличия у функции Ф(и) центра симметрии областью инте
грирования в |
(2), (3) |
служит телесный угол 2я (а не 4я); при этом при |
||
нимается, как |
и ранее |
[4], что орт и удовлетворяет |
условию и г ^ О и |
|
|
|
я |
|
|
|
|
*2 |
2я |
|
|
|
J* |
J* Ф(0, ср) sin 0dOdcp= 1. |
(5) |
|
|
о |
о |
|
Схема армирования задается функцией Ф(и), однозначно преобразуе мой в совокупности структурных параметров Hij и Кцы\ знание только этих параметров, а не функции Ф(и), необходимо для описания (в рам ках изложенных ниже допущений) упругих свойств композита. Факти чески нужен лишь тензор Кцьи так как Нц есть его свертка: Ни = Кцнк (здесь и всюду далее используется соглашение о суммировании). Свер тывая Hij, получаем 1 согласно (5). Таким образом, Нц = Кнкк=\, и
с учетом абсолютной симметрии Hij и Kijki |
эти тензоры имеют не более |
5 и 14 линейно-независимых составляющих |
соответственно. Если же Ф |
зависит только от 0 (т. е. распределение симметрично [4] относи тельно оси Oz3), то непосредственно вычислением интегралов по ф можно показать, что линейно-независимы лишь одна составляющая Hij и две составляющих Kijki, например,
#зз = 2я {ф (0) cos2 0 sin 0d0;
KI I I I = - J - J ®(0)sin50d0; |
7(зззз = 2я J Ф(0)соэ4 0 sin 0d0, |
(6) |
о |
0 |
|
а остальные составляющие либо линейно выражаются через Я 33 и /Спи, Кзззз* либо равны нулю:
Яп = Я 22= 4 - ( 1 - Я 33); Я 12 = Я 13 = Я 23= 0;
^2222— К\ 111i К\\22— ^ К\\\\\ |
К \ Ш ~ К2233 = —;----- ~ К Ц П -----7 Я 3 3 ЗЗ *, |
||
3 |
4 |
3 |
4 |
(7)
К\\\2~ К\\\г — К\222 — К\ЪЪЗ = К 222З = К 2ЗЗЗ =К\123 — К\223= К\233 = 0.
Вид тензоров Hi} и Kijki для некоторых типичных случаев. Если включения равномерно распределены по направлениям в заданной об
ласти Q ^ 2n (т. е. ® = const>0 |
в |
Q и |
Ф = 0 вне |
Q), то |
согласно |
(5) |
|
Ф = -^- |
в Q. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
Я ^ = 77 I |
К ц и = |
— Jui«j«ftMQ(u). |
|
(8) |
||
Ьсли |
У (О) |
|
|
Q (Й) |
£> = 2я. |
В этом |
слу |
в частности распределение |
изотропно, то |
чае мы приходим к следующим, записываемым через символы Кронекера, выражениям (см. также [2, с. 191]):
гг |
1 |
1 |
+ |
• |
(9) |
|
$ij\ |
+ |
|||
|
|
15 |
|
|
|
Если все включения ориентированы в одном фиксированном направ
лении, задаваемом ортом U0) с составляющими |
и2{1)у и3(1), то |
Q->- |
|
-+dQ (U0)) (область равномерного распределения |
стягивается в |
луч, |
|
направленный по и<1)), |
и формулы (8) дают |
|
|
= |
Kijki = Ui^Uj^uk^u^). |
(10) |
В частности, если все включения ориентированы параллельно оси Ог3,
то |
Я 33= Яэззз = 1, а |
остальные |
составляющие |
равны нулю (см. также |
|
[2, |
с. |
192]). |
|
|
|
|
Если |
включения |
равномерно |
распределены |
по направлениям, обра |
зующим с осью Oz3 фиксированный угол 00), то ненулевые составля
ющие равны |
(доказательство, |
основанное на (6), (7), |
опускаем): |
|||
|
Я и = Я 22 = -^- Sin2 00), |
tf33 = cos2 00); |
|
|||
/(шi = Я2222= — sin4 0(1); |
Кзззз = cos4 00); |
/Ci122= "g~ sin4 00); |
||||
|
^1133 = ^ 2233=-^- sin2 0(1) cos2 00). |
|
||||
В частности, |
если 00) = я/2 (включения |
равномерно |
распределены по |
|||
направлениям, параллельным |
плоскости |
Oz\Z2), |
то Я и = Я 22= 1/2, Кии = |
|||
= /(2222= 3/8, |
ATi 122= 1/8, а |
остальные составляющие равны нулю. |
||||
Если доли v0),. . . , v(7l) |
общего объема включений, |
в сумме равные |
1, подчиняются п различным распределениям, описываемым функци
ями |
ф0)(и), . . . , Ф<п) (и) |
соответственно, |
и каждая из этих функций в |
||||
отдельности |
подчиняется |
условию |
вида |
(5), то общее распределение |
|||
описывается |
функцией Ф (и) =\>0)ф0) (и) + ... + \,(?,)Ф(/,)(и), откуда |
сле |
|||||
дует, |
что |
Я г-;-=л>0)Я^0) + |
. . . +\0п)Я^-0г); |
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
Kijhi=v{l)Kijki(l)+ . . . |
+ v(n)/(ijM(n), |
( Н ) |
|||
|
|
|
|||||
где Я^-0), Kijki(l), •••, Я^-(п), Kijhi{n) |
— |
тензоры, образуемые из ф0)(и ),... |
|||||
. . . , Ф (п)(и) |
по правилам |
(2), (3). |
В |
частности, если v0),. . . , v^n) — |
доли |
общего объема включений, ориентированные соответственно по фикси рованным направлениям ц0),. . . , u<n), то, применяя (И) к выражениям вида ( 10), получаем общие формулы для дискретных распределений:
Hij = v^)ui^ u j^-\- . . . +v<ri)Mi(n)'Wj(n);
Km =v(')UiMujMuki{)uiil)+ . . . + ^ п>м*(">и,(п)нЛ<п)и*<п). ' |
( 1 2 ) |
v } |
Например, если по 1/3 общего объема включений ориентировано па
раллельно каждой |
из трех координатных осей, то |
формулы ( 12) дают |
Я |1 = Я 22:=Я 33==/Ст |
1= К.2222= /Сзззз= у и равенство |
нулю остальных со |
ставляющих.
Квазиизотропные распределения. Каждому тензору вида (1) соот ветствует [2] множество порождающих его схем армирования или функций вида Ф(и). Так, в последнем примере мы получили тензор
Hiji совпадающий с тензором Нц=-^-дц изотропного распределения;
следовательно, материал, где включения (поры) ориентированы с рав ными вероятностями в трех взаимно перпендикулярных направлениях, будет изотропным по извилистости [3]. Такое распределение, как удов
летворяющее условию Я ?) = -^-67/, мы назовем квазиизотропным распре-
делением второго ранга (по наивысшему рангу тензора вида ( 1), сов падающего с тензором истинно изотропного распределения). Квазиизо тропным распределением нулевого ранга будет любое анизотропное, а любого ранга — только изотропное распределение. Пользуясь форму
лами (12), легко показать, что квазиизотропным распределением чет вертого ранга, т. е. удовлетворяющим всем условиям (9), является в частности дискретное распределение, где по 2/15 общего объема вклю чений ориентировано параллельно каждому из трех взаимно перпен дикулярных ребер куба и по 3/20 общего объема включений — парал лельно каждой из четырех пространственных диагоналей этого куба; материал с таким распределением будет изотропным не только по из вилистости, но и (при допущениях, изложенных ниже) по упругим свойствам.
Обозначения и допущения. Пусть имеется композит, состоящий из двух изотропных упругих фаз — упрочнителя (материала арматуры) и матрицы (материала связующего). Упрочнитель присутствует в виде включений тонких волокон или пленок и занимает долю объема ком позита, равную р. Величины, относящиеся к упрочнителю и. матрице, будем отмечать индексами * и 0 соответственно. Аналогичные по смыслу формулы, относящиеся к волокнам и пленкам, будем разделять сло вом «или» и отмечать соответственно буквами «в» и «п», добавляе мыми к номерам формул. Примем следующие допущения.
1. |
Композит однороден по р, Ф(и) и температуре Т. |
|
2. |
При температуре |
Т0 существует такое состояние композита, когда |
напряжения в матрице |
и во всех включениях отсутствуют. Матрица |
и каждое отдельное включение, находящиеся в этом состоянии, счита ются недеформированными.
3. Напряжения a*ij(u) отдельного включения, ориентированного по и, деформации е*/п(и) этого включения и температура Т связаны урав
нением состояния данного включения |
|
о*и (u) = [Г б ifikl+ р ( б г-л6д + 6u6jh) ] е*м (и) - |
(ЗГ + 2р*)а ф6ц(Т —Т0), |
|
(13) |
а напряжения Oij° матрицы, деформации етП0 |
матрицы и температура |
Т связаны уравнением состояния матрицы |
|
Oij°= [X°6zj6mn + Ц° (Simftjn + 6in6jm) ] Smn°~~ (3A,°+ 2|I0) a 062j (T — TQ) ,
(14)
где Г , p*, a* и A0, p°, a0 — постоянные Ламе и коэффициент линейного термического расширения для упрочнителя и матрицы соответственно. Уравнения (13), (14) написаны для произвольной системы координат
OZ1Z2Z3.
4. В напряженном материале поля тензоров напряжений и дефор маций однородны в пределах объемов, занимаемых матрицей и каж дым отдельным включением. Поля тензоров Oij° и emn° однородны во всем объеме Vго, занимаемом матрицей.
5. Силы, действующие через поверхность раздела фаз (для во локна — поверхность ориентированного по и бесконечного цилиндра, для пленки — поверхность ориентированной по и бесконечной плас тины), уравновешены:
|
гю'ц(и) = rhOhj° |
(15в) |
|
UiO*ij (u) = UkOlij0, |
(15п) |
где г|, г2, г3 — составляющие любого орта г, |
перпендикулярного к и. |
|
6. |
Относительные удлинения включения |
и маГрицы в направлениях, |
соответствующих макроскопической протяженности данного включения (вдоль оси волокна или во всех направлениях, параллельных плоско сти пленки), одинаковы:
U kU iE *kl(u ) = U m U nE m n ° |
(16в) |
или |
|
Гhf/6*/П (и ) = ГтГпбтп0. |
(16п) |
Совокупность условий (15) и (16) образует, как показано ниже, систему шести линейных уравнений, однозначно связывающих состоя ния отдельного включения и матрицы. Представим их во вспомогатель ной системе координат O iii2i 3(u), ось Oz3 которой направлена по оси отдельного волокна или по нормали к плоскости отдельной пленки, т. е. по и. Составляющие a:\j(u) и е*/{/(и) в системе 0£\£2ёз(и) запишем как
a*ij и е*/,/; знаком - будем отмечать составляющие также и других тензоров и векторов в системе Oi\Z2zз(и). С учетом того, что по усло вию выбора этой системы й\ = й2= Гъ= Ъ и что одна из составляющих t\ или г2 произвольна, получаем из (15), (16)
сг^ 11 = cTi 1°; |
a*22==cr220; |
е*зз==£зз°; |
<^'12 = CTI2°; CT^IS = ai3°; 0*23 = ^23° |
|
|
|
( 17в) |
или |
|
|
|
В'Н1 1 = 8 ц 0; |
6*22 = 822°; |
СГ*зз — 0>33°*, |
6*12 — 612°’, 0*13 = 013°’, 0*23 = 023°- |
|
|
|
( 17п) |
Существуют теории армирования, построенные на иных допущениях (например, на допущении равенства тензоров деформаций волокна и матрицы [1]). Наши допущения 5 и 6 близки (но не тождественны) допущениям, принятым в [5]; можно показать, что на основе первых четырех из шести равенств (17в) получаются те же результаты, что
ив теории армирования однонаправленных волокнистых композитов
[5].Допущение 4 позволяет для усреднения деформаций и напряже ний по объему композита производить их интегрирование только по объему включений V* — в отличие от метода [6], где в качестве эле ментов интегрирования рассматриваются армированные структурные элементы (в случае волокон — цилиндры), содержащие пропорцио нальные объемные доли упрочнителя и связующего.
Деформации и напряжения в отдельном включении. Рассматривая
записанные |
для координат |
O iii223(u) уравнения состояния |
(13), |
(14) |
|
и уравнения |
связи (17) как |
единую систему линейных |
уравнений, |
вы |
|
ражаем деформации включения, ориентированного по |
0 £3, |
через |
де |
формации матрицы (последние временно служат в соответствии с допу
щением 4 независимыми переменными состояния |
композита) и темпе |
|
ратуру: |
( у * - у ° ) ( Г - Г 0) |
|
|
||
e*1i = ( l + a)eii0 + &(eii° + e22°+ 633°)+C633°+ |
Y |
2 (^Г + Ц*) |
|
(у* |
У°) (Т —Тр) |
8*22= (1 + Я )б 22° + ^ (б11° + 622° + 633°) +С8330 +
2 ( Г + ^ :)
( 18в)
6*12= (l+a)ei2°;
е*зз=езз°; 8*13= (1 + я ) е ,3°;
6*23= (1 + Д )б 23°
или
АА
е * ц = |
е п ° ; |
|
6*12= 612°; (18п) |
|
6*22— В22°; |
|
е * 1з = (1+ а ) е А,з°; |
||
6*33 = |
е (е,!° •+ 622°+езз°) + ( ! + / ) 6330+. |
(у*- у ° )(Т - Т о ) |
6*23= (1 + Я )б 23°. |
|
Г + 2ц* |
||||
|
|
|
Здесь а, b, с, е, /, Y*. Y0 — введенные для краткости обозначения сле дующих функций от параметров X*, р'\ а*, Х°, р°, а 0:
|
а = ------- ------; |
|
. |
Л У ~ Л У |
|
с = - |
Ь*(И°-Ц*) |
Х°—Х* |
|||||||||
|
|
о = , |
------— ; |
2ц *(Г + ц*) |
е= - |
|
|
||||||||||
|
|
И- |
|
|
|
2р,,'(А," + р'1') |
|
X* + 2р/ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(19) |
|
|
/ = Г |
+ 2 ^ ) ,; |
Ya= ( 3 r + 2p *)af; |
Y°= ( 3 ^ + 2 ^ ) ^ |
|
|
||||||||||
Используя |
символ |
Кронекера, |
представим |
(18) |
в |
обобщенном |
виде: |
||||||||||
|
а |
|
1Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6*ap = |
— (1 + fl) (баубрб + баббру) + Ь (бар — базбрз) 6Y6 + СбарбузббЗ "" |
|||||||||||||||
|
— (а + с)базбрзбузббз 1 6уб°+ о/Т* |
|
#Т'(бар — базбрз) (Г — Г0) |
|
(20в) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
J |
Z (А -г (Я |
) |
|
|
|
|
|
|
||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
Г |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е*ар= |
— (баубрб + баббру) + — й (баубрзббз + баббрзбуз + брубазббЗ + |
|||||||||||||||
-f-брббазбуз) +£базбрзбуб+ U~ 2а) базб(Ззбт3ббЗ J 8V6°+ |
у * - ? 0 |
|
|
||||||||||||||
|
_^2 |
* базбрз ( Т — ТQ) . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(20п) |
Перейдем к произвольной системе Ог^^з- Если |
кратко записать |
||||||||||||||||
(20) |
как |
e*ap = ^apveeYe0+ Aap(7, - 7 ,o )> то |
по |
правилам преобразования |
|||||||||||||
для системы OZ1Z2Z3 будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
€>* hi (и) — lhah$lmyln6§CL$y№mvP |
|
lkah$ha$ (Т |
Т Q) t |
|
(21) |
|||||||||
где //ta= cos (ZkyZa). Используя формулу |
(21), |
соотношения вида |
lhz = Uk |
||||||||||||||
[по |
условию |
выбора системы Oziz2z3(u)] |
|
и //ia//p6ap = 6t/ (по свойствам |
|||||||||||||
преобразования прямоугольных координат), получаем из (20) |
г*/</(и) |
||||||||||||||||
как функции от е™.п° и Т: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
e*/a(u) = £ — (1 +я) ($km8in+ 6/in6/m) + b (6/t/— UhUi) 6mn+ c6/<jaman— |
||||||||||||||||
|
- |
|
|
|
|
|
1 |
|
Y*-V° |
- ( 6 / a ~ ukut) ( T - T 0) |
|
( 2 2 B ) |
|||||
|
(a + ^UMUmUn J 6mn°+ 0 |
^ |
|
||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
2 ( Г + ц*) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e hi[(u) = |
^“^(б/^/пб/п+ 6/m6/m) + "2“ CL(8ктЩип ~\г ЬкпЩит~\~ §lmUhlln -{- |
|||||||||||||||
+ bi„uhum) |
+ euitu,8mn + |
|
|
|
1 |
|
|
Y* — V° |
|
|
|||||||
( / - 2 a ) UhUiUmUn J emn°+-- |
|
UhU i(T - T Q). |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r + 2 |
Ji* |
|
(22n) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
(22) |
в |
(13), |
получаем |
a\j(u) |
как |
функции от gmn° |
и Т: |
|||||||||
|
О |
i j ( u ) = |
{ X ° 6 ij8 m n "Ь H°(6im6jn + 6 , n6jm ) — 2 р * [frUjUjdmn + |
|
|
||||||||||||
или |
+ (а + с)ищит ип]}ет„°- Lfy°8{j+ -- |
К ~гц |
щи} \J (Т ~ Т 0) |
(23в) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о ij( u ) — {к |
[ ( 1 + #) SijSmn ~hf8ijU mUn] + Ц* [6tm6jn + 6in6j7n + tt (§ imUjUn -\- |
||||||||||||||||
+ 6inUjUm + 6jmtliUn + 6jn UiUjn) + 2GUilljbmn + 2 (/ — 2a) UiUjUmUn] } 6mn° + |
|||||||||||||||||
|
+ ^ |
+ 2 |
. [ V |
iy* - V ° ) |
- |
(* V + V v * ) M |
(T —T0). |
(23n) |
Усреднение деформаций и напряжений по объему. Пусть гм И Oij —
средние по объему V=V°+V* (эффективные) деформации и напря жения композита, определяемые [7] как
гм = - у { J |
|
|
Je V H / * ) |
; |
0 i j = y - ( } |
ацЧУ° + 1 |
а*цйУ*} . |
||||||||
Вводя объемную |
долю |
упрочнителя |
p=V */V , |
используя |
допущение 4 |
||||||||||
и представляя согласно |
(4) d V* как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dV*[u,dQ ( и ) ] = |
1 / * Ф ( и ) rfQ |
( и ) , |
|
|
|
|
|
|
||||
заменяем интегралы по V* интегралами по телесному углу в области |
|||||||||||||||
2я, охватывающей все направления включений. Тогда |
|
|
|
|
|||||||||||
|
г м = ( 1 -р )гм °+ р |
J |
e*Ai(u)<D(u)dQ(u); |
|
|
|
(24) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
(2л) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O i j = |
(1 |
- p ) O i j ° + p |
J |
о * i j ( и ) Ф ( и ) d Q |
( и ) . |
|
|
|
(25) |
|||||
|
|
|
|
|
|
(2л) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
(22) |
в |
(24) |
и используя определения |
|
(2), |
(3), получаем |
||||||||
гм как функции от гтп° и Т: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ем — {~ 2"( ^ |
|
(6lim6ln + SknSlm) + Р [Ь (6ft1 ~ Н м ) бт пбгСбмН тп — |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
) |
Р (у* — |
|
|
|
(Т— Т0) |
(26в) |
||||
— (а + с )Khimn\ Г еШп°Н |
Q7T*TL— |
) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
-T[i |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш — “|~(6/im6/n ~\r$hn$lm) + Р £ ~ |
Я (fthmHln + 8knHlm + $lmHhn + 8inHhm) + |
||||||||||||||
+ eHhibmn+ (/ — 2d)Кмтп ] |
} |
|
|
|
H M (T — TQ) . |
(26п) |
|||||||||
Так же, подставляя |
(14) |
и (23) |
в (25), получаем |
Oij |
как функции от |
||||||||||
Етп0 и Т: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oij = {k °8 ij8 m n + |
\X0 ( 8 im8 j n + |
8in 6 jm ) — 2p\di [ b H ij 8 mn + |
|
|
|||||||||||
+ (а + с) Kijmn]}zmn°— [ v°6ij + ^ |
+ ц* |
^ ij ] |
(Т —Г0) |
(27в) |
|||||||||||
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O i j = { ( X ° — 2 p e iJL * )S ij8 m n + {\l° — pa\L*) ( 8 im 8 jn + |
8 in 8 jm ) + |
p f k * 8 i j H mn + |
|||||||||||||
+ Р р ' [ c i( 8 i m H j n -f~ 8 i n H j m + |
8 jm H in + |
ftjnH im ) + |
2 e H i j 8 m n + |
|
|||||||||||
+ 2{f—2a)Kijmn]}emn°— [ |
|
|
|
(b~ff<j) ] |
( T - T 0). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(27n) |
Практический интерес представляют соотношения, где в качестве |
|||||||||||||||
независимых |
переменных |
состояния |
использовались |
бы |
не |
е 7Пп° |
и Г, |
||||||||
а гы и Т или Oij и |
Т. Из |
(26) следует, что, если |
р |
достаточно |
мало, |
||||||||||
то можно принять emn= emn°; тогда |
(27) |
будет уравнением |
состояния |
||||||||||||
композита, выражающим |
зависимость о^ (гтп,Т ) . Если |
же |
допущение |
Emn= Emn° неприемлемо, то надо решить систему шести линейных урав
нений |
(26) |
или |
(27) |
относительно гтп° и полученное решение вида |
|
Emu0(ем, Т) |
или Emn°(oij,T) |
подставить в остальные системы уравнений |
|||
(14), |
(22), |
(23), |
(26), |
(27). |
Таким образом можно представить любую |
из величин Emn°y Oij°, e*/t/(u), o*ij(u), гм, а,-.,- как линейную функцию от эффективных деформаций (или напряжений) и температуры.
Рассмотрим простейший пример. Пусть требуется найти эффективные упругие константы для композита, обладающего изотропным или квазпнзотропным не ниже четвертого ранга распределением включений. Подставляя в (26), (27) выражения (9), приходим к выражениям общего (как для волоком, так и для пленок) вида:
|
|
|
|
|
|
|
|
Ец=Л6цет т 0+ В е ц 0-\-С6ц(Т—Т0)\ |
|
|
(28) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Oii = P&tjEmm°+ 2Q *ii0- M t i( T - T o ) . |
|
|
(29) |
|||||
где |
Л, |
В , |
С, |
Я, |
Q, |
R |
— |
сокращенные |
обозначения следующих |
функций [см. |
(19)] |
||||
от |
р, |
X*, р*, |
a*, |
р°, |
ос0: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Л = ---- р(\0Ь — а + 4с)\ |
|
1 |
|
_ |
Р( Y*-Y°) |
|
||||||
|
|
|
В = 1 Н------р{ \3и—2с) ; |
3(A* + H*) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
||
|
|
|
|
2 * |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Р4*(у*-у°) |
(30u) |
|
|
|
|
---- —-рр*(а + 5& + с); |
Q= |i°— — P\i*(a + c)\ |
=Y°H------------------------- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(V: + p*) |
|
|
|
|
|
|
1 |
р (З е -2 а + 1)\ |
|
2 |
|
|
Р(У*~У°) |
|
|||
|
|
|
|
Л = — |
В = 1+ — р(За + [); С |
3(А* + 2р*) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
||
|
|
1 |
|
' |
^ |
U |
- 2 a- m |
|
|
1 |
|
|
4p\i * (у * —у0) |
||
P ^ +- p m |
b Q = 1Ы0-Ь — Я^(2/-9а); |
R=y |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ЗОп) |
Решая |
(28) |
относительно |
е,j°, получаем |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
|
1 |
|
С |
|
|
(31) |
|
|
|
|
|
е ц ° = ------------------- 6„e/,h+— е, j --------— — 6 ц (Т - Т 0). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
В (ЗА +В) |
|
В |
|
3А + В |
|
|
|
|
Подставляя |
(31) |
в |
(29), получаем |
|
-[ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
B P -2 A Q |
|
2Q |
R + |
C(3P+2Q) |
] в,,(Г-Г„). |
(32) |
||||
|
|
Оц = -------------------- 6i jSkk Н---------- |
3Ал-В |
||||||||||||
|
|
|
|
|
В(ЗА + В) |
|
В |
|
|
|
|
||||
Последнее выражение |
можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a(j = X6, je*/t+ 2 p e ij - (3^+2p)a6t j(7,- 7 ,0), |
|
(33) |
где к, р — эффективные постоянные Ламе; сс — эффективный коэффициент терми ческого расширения для композита с изотропным или квазпнзотропным распределе нием включений. Сопоставляя (32) и (33), получаем
B P -2A Q |
Q |
R (3A +B) |
к = ---------------- ; |
р = — |
ос= ——------------\-С. |
В(ЗА + В) |
В |
3P + 2Q |
Если р достаточно мало и |
то Л~0, |
1, С^О и |
Х~Р, |
p~Q, |
R |
ос — |
||
|
|
3P+2Q |
Обобщение для случаев с несколькими упрочняющими фазами. Ис пользуя допущение 4 и уравнения (26), (27), мы можем составлять посредством сложения уравнения состояния композитов с произволь ным числом упрочняющих фаз, а также с волокнами и пленками одно временно. Действительно, при допущении 4 линейное уравнение состоя ния многофазного композита вида e/t/= t*/,,(emn°, Т) или ао = аг^(е,?т0, Т) будет иметь коэффициенты, каждый из которых зависит от свойств и способа распределения только одной упрочняющей фазы. Общий вид таких коэффииисптов дай в (26), (27). Таким образом, чтобы обобщить уравнения состояния композита (26), (27) для случаев с волокнами или пленками нескольких фаз, достаточно пометить входящие в правые