книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике
..pdfтяжки в направлении формования постоянно; поверх ностное натяжение стекломассы не учитывается; уси лие вытяжки, вызванное собственной массой вытяги ваемой трубы, пренебрежимо мало; состояние фор мования является стационарным; вязкость стекла в процессе формования зависит от расстояния до конца сопла стеклодувной трубки и в сечении вытягиваемой трубы она постоянна: р = р,0 ехР (а//)» где а — па раметр, выражающий степень увеличения вязкости стекла в направлении формования; I — расстояние до конца сопла; р0 — вязкость стекломассы на сопле.
Падение температуры вытягиваемой трубы по от ношению к расстоянию до конца сопла выражается зависимостью Т = Аа/, где k%— температурный гра диент стекломассы в направлении формования. При этих предположениях справедливы следующие зависи мости между безразмерными параметрами Л, С2, Са, С8, диаметром D, толщиной стенки В, скоростью
вытяжки v и скоростью деформации Е'а, Ёь, В г,:
-d D _____ С3Р |
|
Г_______1______ L 2С D ] 1 |
||||||||
At |
” |
В exp (A/S) |
l |
2 (D + |
CtB) |
» |
’ |
|||
M |
|
С* |
|
Г |
■ |
- 1 |
|
|
r n ] . |
|
dt |
“ |
exp (Л/S) |
[ |
2 (Р + |
СгВ) |
’ |
(3.105) |
|||
d ° ______f |
1_____________r n l • |
|
||||||||
dt |
~~ |
В exp (Л/S) |
|
[ D + |
CxB |
|
* |
|
||
dSIdt = |
u, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r. ._ 1 |
dD . p ‘ __ 1 |
dB . |
К _ |
1 dv |
|||||
|
|
D |
dt |
’ |
П ь~ |
В |
dt ' |
|
w dr * |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.106) |
где |
|
|
В*, — скорости |
деформации |
внутреннего |
диаметра, толщины стенок и вдоль направления фор мования трубы соответственно.
121
Систему уравнений (3.105) решим для следующих начальных условий:
D = B = t,= |
1; 1 |
(3.107) |
/ = Г = 0. |
I |
|
Внутренний диаметр, толщина трубы, скорость вытягивания и формовочное давление связаны с пара метрами С2 и С3 следующими зависимостями:
|
« > « |
|
л с г |
d C 3 |
|
|
а с 3 |
дС3 |
(3.108) |
||
|
^ 00 |
дВ оо |
d C 3 = К г |
d C 3 ! |
|
|
|
||||
|
<эса |
~ д с Г |
|
|
|
|
диж |
^00 |
|
|
|
dVoc |
|
d C 3 |
d C 3 |
|
|
“ Щ Г |
dC3 |
(3.109) |
|||
dp* |
|
= К ц |
d C 3 |
||
д Рсо |
дРоо |
d C 3 |
|
||
|
з с а |
дС3 |
|
|
|
где индекс «с»» соответствует окончательным значе ниям параметров.
Внутренний диаметр и толщина трубы связаны с относительным изменением скорости вытягивания и формовочным давлением следующими зависимостями:
|
dD' |
dD' |
|
|
|
|
dD' |
dv' |
dp' |
dv' |
dv' |
(3.110) |
|
dB' ~ |
dB' |
dB' |
др' = «4 |
др' |
||
|
||||||
|
do' |
dp' |
|
|
|
Безразмерные параметры, применяемые в матема тической модели, зависят от параметров технологи ческого процесса:
А = <Pi (о. doy,
= Ф2 (&о.
(3.111)
= фз (d0, /?„, /0),
Сз = Ф4 (/о* М’О* Ь0У Ц))>
122
где индекс «О» соответствует значениям параметров на конце сопла; Ь0 — толщина стенки стекломассы на
конце сопла; |
/ 0 — усилие вытяжки; рп— давление |
формовочного воздуха. |
|
При дальнейшем анализе следует учесть следую |
|
щие факторы: |
на исследуемой линии применяется |
один диаметр сопла d0 для всего диапазона типоразме ров вытягиваемых труб; распределение вязкости для данного сырья в процессе формования можно считать постоянным; толщина обтяжки стекломассы на трубке Ь0 не зависит от температуры, т. е. от вязкости стек ломассы, и ее можно считать постоянной; изменяя давление р0 формовочного воздуха, скорость вытяги вания и0 и усилие вытяжки, можно регулировать раз меры вытягиваемой трубы.
Таким образом, для заданного диапазона размеров вы тягиваемых труб и заданного состава сырья стеклова ренного камня изменяются только безразмерные па раметры С2 и С3.
Для решения математической модели необходимо определить статические и динамические величины. К статическим величинам относятся диаметр сопла d0; толщина обтяжки трубки стекломассой Ь0; усилие вытяжки /0; вязкость стекломассы на сопле щ; ско рость вытягивания на сопле и0; параметр, выражаю щий температурную характеристику вязкости стекло массы кг\ параметр, выражающий распределение тем пературы в стекломассе /г2.
Статические величины в процессе, формования явля ются постоянными.
Динамические величины в процессе формования изменяются непрерывно. Их можно разделить на активные, с помощью которых влияют на размеры вытягиваемой трубы (входные величины для матема тической модели) — это давление формовочного воз духа, скорость вытягивания и усилие вытяжки, и ре
123
гулируемые,т. е. требуемые размеры вытягиваемой тру бы (выходные величины для математической модели).
Учитывая статические и динамические величины, рассчитывают безразмерные параметры A, Clf С2, С3, которые включают в группы для учета условий фор мования.
Систему простых дифференциальных уравнений (3.105) и (3.106) с начальными условиями (3.107) мож но решить методом педикатор-корректор. Для про верки первоначального прироста и расчета исходных значений можно применить метод Рунге-Кутта чет вертого порядка. Расчет уравнёний (3.105) и (3.106) можно закончить, если скорость деформации ниже
значения 10” 8. |
|
Элементы матриц К 1% К* |
и К л в уравнениях |
(3.108) — (3.110) определяются |
производной рассчи |
танных значений внутреннего диаметра, толщины стенки, скорости вытягивания трубы и формовочного давления для безразмерных параметров Са и С3.
Решив систему дифференциальных уравнений (3.105) и (3.106) при различных условиях формования, можно получить следующие зависимости: внутренне го диаметра, толщины стенки трубы, скорости вытяги вания и положения стекломассы, начиная с конца сопла, от скорости вытягивания; распределение внут реннего диаметра, толщины стенки трубы и скорости вытягивания в процессе формования; изменение внут реннего диаметра, толщины стенки трубы и скорости вытягивания в процессе формования; скорости дефор мации от внутреннего диаметра и толщины стенки трубы и скорости деформации трубы в направлении формования. По этим зависимостям определяют пара метры, при которых формование стеклянной трубы происходит с максимальной производительностью. С учетом вычисленных элементов матрицы /( 4 по от дельным условиям формования определяют также
124
процентное изменение внутреннего диаметра и толщи ны стенки при 1 %-м изменении формовочного дав ления.
Глава 4
МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ ТИПОВЫМИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
4.1. УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ, ОПИСЫВАЮЩИМИСЯ УРАВНЕНИЯМИ ТИПА ДВИЖУЩЕЙСЯ СТРУНЫ
При синтезе оптимального управляющего воздейст вия в первую очередь необходимо анализировать управляемость объекта или процесса. С учетом эво люционных уравнений для этой цели удобен язык функционального анализа. Можно считать, что рас сматриваемые в гл. 3.1 уравнения, описывающие дви жение струны, имеют первый порядок дифференциро вания по t
y t = A ( t ) y + B(t)u(t), |
(4.1) |
где A (f) — дифференциальный оператор, не содержа щий дифференцирований по t, при каждом фиксиро ванном t.
При каждом фиксированном управлении и и каж дом начальном условии у0 (xv ...» х„) это уравнение имеет решение
У(0 = У (t,x 1........... *„),
(где Xi — пространственные переменные), являющееся отображением полуоси (/ ;> 0) в пространство состоя ний системы состоящее из функции xv .... хп.
Дифференциальное выражение A (/) вместе с вы бором граничных условий, которым подчиняется ре шение, определяет в пространстве состояний исходной системы оператор, который обозначим А (/)•
125
Пространства состояний, рассматриваемые ниже, представим структурой гильбертовых пространств X . Это обычно прямые суммы пространств типа L2 квад- ратично-суммируемых функций или соболевских про странств [31]. При каждом фиксированном t возника
ет множество Rt (г/0), совпадающее с множеством тех элементов из которые имеют вид у (t)> где г/ (/) — решение системы (4.1) с начальным у0 и некоторым допустимым управлением и (/). Замыкание в норме
пространства Ж множества Rt (у0) обозначим через Rt (Уо) и назовем множеством достижимости для систе мы (4.1) из точки у0 пространства состояний за время t.
Объединение [}о Rt (Уо) по всем * ^ О (очевидно, со-
держащее у0) называется множеством достижимости из уо и обозначается R (у0). Если R (yQ) = JC для любого у0, то система называется полностью управ ляемой.
Для исследования управляемости и описания мно жеств достижимости используем способ, обобщающий для систем (4.1) в гильбертовом пространстве клас сический ранговый критерий. Достаточный критерий управляемости при этом способе в абстрактной ситу ации (банахова пространства и произвольного опера тора Л) получен в работе [42]. Поэтому целесообразно для системы, описывающей колебания движущегося материала, исследовать область применимости ре зультата [42]. Если управляющие воздействия, при ложенные к движущемуся материалу, локализованы на некотором участке (или нескольких участках) ма териала, то получить критерии управляемости не возможно [33] и [42].
В этом случае исследование системы проведем, используя методику, аналогичную описанной в рабо тах [23; 24], заключающуюся в рассмотрении факторсистемы и исследовании задачи Коши для нее. В каж
126
дом конкретном случае (например, для уравнения по перечных колебаний движущегося материала) для построения фактор-системы применим решения неодно родных начально-краевых задач для уравнения коле баний в виде формул д’Аламбера [151.
Введем следующие обозначения! Если G — ограни ченное множество точек действительной прямой R, то We - гильбертово пространство функций, задан ных на G со скалярным произведением
(У> = j y'xZxd x + y(x0)z(x„),
где х0 — фиксированная точка из G.
Получаемая норма эквивалентна норме Соболевско
го пространства W\ (G) [22]. Через Ф<? обозначим мно жество всех бесконечно дифференцируемых функций на R , равных нулю вне G. Введем множества
= {</(■ )€ « W (- )e M < s));
|г/(‘ ) е м о ) И - ) € И М . Последнее множество совпадает с множеством
\ y { - ) t L 2(G)\y'.{-)tL2{G)l
где дифференцирование понимается в смысле обобщен ных функций.
Рассмотрим управляемый процесс или систему,
порожденную уравнением |
|
|
x) = |
{ - jF + v ^ r ^ y(t, х) — |
|
_ а2 |
д%У ^ *).. = и(и х), |
(4.2) |
где и (t, •) — функция из некоторого подпространства и пространства функций на отрезке [О, Л при каждом фиксированном t
127
Рассмотрим следующие случаи:
и совпадает с множеством гладких функций на [О, /], равных нулю вне некоторого (возможно малого) интервала [а, р] cz [0, /]. Физически это означает возможность любого внешнего воздействия на дви жущийся материал, но локализованного на неболь шом участке интервала [0, /];
и совпадает |
с |
множеством функций вида kq> х |
X (х) е~с(х~ 1а)\ |
где |
ф (х) — фиксированная функция, |
равная нулю вне интервала [а, р], содержащего точ ку а, и равная единице в некоторой окрестности точки а\ “К — произвольное действительное число. Управле ниями такого рода хорошо аппроксимируют 6-образные (импульсные) воздействия на движущийся материал. В этом случае правая часть уравнения (4.2) имеет вид
и (0 ф (х) е1х~ 1°)Х.
Возвращаясь к системе (4.2), рассмотрим начально
краевую задачу |
|
|
|
|
у (i, 0) = |
у (t, 0 = у’ (t, 0) = |
у] (t, I) = 0 |
(4.3) |
|
при следующих условиях: |
|
|
|
|
U(t, |
-)€Ф |а.в!. |
о < а < |
Р < / ; |
(4.4) |
|
У(1, |
- )€ D ? U |
(4.5) |
|
|
y '( i.- ) € D rW |
|
(4.6) |
Покажем, что из любого начального состояния системы можно как угодно близко приблизиться к любому другому заданному состоянию за конечное время. Для этого проведем редукцию системы (4.2) к эволюционному уравнению. Вводя пространство
Ж[о,ц = Wm 0 L2 [0, /],
получаем в систему эволюционных уравнений
1 Г 0 (<. * ) —
128
x ) + 2o |
x ) — (a i — v's) - ~ y ( t t * ) - |
=u ( t , X),
которую удобно переписать в виде
|
~ h ( t ) - A h |
( t ) = |
( d , u ( t ) ) , |
(4.7) |
|
где h 6 Ж т ь А — оператор |
в Ж т> |
задаваемый |
|||
матрицей |
|
|
|
|
|
элементы которой представляют собой операторы |
|||||
|
/■ L2[0, |
|
|
|
|
с областью определения |
действующий по прави |
||||
лу l z = |
z; |
|
|
|
|
|
Д| |
|
|
|
|
с областью определения |
D[o,q, действующий по пра- |
||||
вилу Ду |
- (а2 — V2) |
||§ - ; |
|
|
|
|
V; Ц |
([0. t])-+ L , [10,1]), |
|
||
с областью определения |
|
действующий по пра |
|||
вилу |
|
|
|
|
|
Область определения оператора А состоит из функ
ций, принадлежащих D[o./j + Dfo,/] и удовлетворя ющих граничным условиям (4.3), а управление и (/) принимает значения в подпространстве
Ф!«.0]<= М Ю , /])•
129
Задача Коши для уравнения (4.2) порождает груп пу Ut ограниченных операторов в действую щую по правилу
и,(Уо. г)(х) = ^ ^ - у |
1> х — {а — V) t) + |
— |
j»„(* + |
|
*+(a+t»)/^ |
jc+Ui— |
|
||
+ ( a - 0) < ) - - £ . |
j |
z0( S ) d S + - ^ |
j |
z (S )d S ; |
|
0 |
|
0 |
|
- ^ f - ' y o ( x - ( a - V ) t ) + -<а + °у ; - Л |
x |
X y'oix + v)t) — ■ ?-%r г„(х + (a + v)t) +
+ ± 2 j L z(x + (a — v)t)),
где функции y„ и г0 являются продолжениями функ ций у„ и г„ с интервала [О, Л на всю ось R по формулам
«(•*)
-+f-а° „ ( vV— aа \
V- a a [ v + a Х)
<*(•*) = |
v — а ( , . |
v + а . |
|
7 + ^ a (/ + |
^ ( JC |
при |
0 ^ |
/; |
|
1 v -\- а ^ |
^.л , |
при I — — ^ * < 0 |
||
г |
v— а ^ |
^ |
/)) при l ^ . x ^ . 1 |
— |
|
|
v — а I |
|
|
V + п |
|
и на полуось х ^ О а продолжается периодически с от
резка [О, I — |
в- /j, а на полуось х < 0 а |
продол |
||||
жается |
периодически |
с отрезка |
^ ^ j " |
, /j. |
|
|
При |
достаточных |
условиях |
гладкости |
решение |
||
h (t) неоднородного уравнения |
tit {t) + |
A h(f) = / (/) |
||||
с нулевыми |
начальными условиями |
определяется |
130