книги / Проектирование устройств фильтрации радиосигналов

мом n(t). Если же имеется рассогласование по какому-либо параметру, то

.кроме шумовой		появится регулярная			составляющая.		Коэффициенты		Ki(t)
в оптимальном	фильтре			изменяются	во времени в соответствии			с	видом
.функции /*[Х(/),		/].	При импульсном сигнале большая часть					периода
Л[Х(/), /]=0,	и	таким		образом коэффициенты		Ki(t)	также равны		нулю
в промежутках между импульсами.
Рассмотрим подробнее действие одного из каналов оптимального филь­
тра. Например,	для		параметра т коэффициент			/Ci (/) равен
/<. (О = Я|1 (О		Л	[х ./), t] ЛГ-1 + P K [t) jJ- Л[х т.				(] лг* + /»,*(/) X
X ^		л	[х (/). t] Л'-1 + Ри Щ щ П			[х (Я,	t] /V-',
тде Pij(t) — элемент			i-ii	строки и /-го	столбца	матрицы Р(/).

Таким образом, коэффициент K\(t) является суммой производных функ­

ции /i[X(/), /] по различным параметрам, причем вес производных зависит от значений дисперсий и ковариаций ошибок. Если в данный момент време­ ни велика дисперсия ошибки измерения задержки Яц(/), то коэффициент Ki (0 будет в основном определяться производном по т.

Производные по остальным параметрам используются в канале т лишь цри наличии корреляции ошибок в каналах измерения разных параметров

(коэффициенты ковариационной матрицы Pj2(0,	Р\з(0 и P u(0	отличаются
при этом от нуля).	фильтра Ki(t)	изменяются
Таким образом, коэффициенты оптимального

сложным образом во времени и зависят от формы сигнала и текущего зна­ чения дисперсий и ковариаций ошибок измерения параметров.

Заметим, что несмотря на формальную законченность данного решения, полученная схема малопригодна для технической реализации из-за чрезвы­ чайно сложной структуры алгоритма вычисления коэффициентов усиления /(,•(/) с помощью выражения (2.5). Вместе с тем исследование подобных схем представляет большой интерес. В частности, в известной схеме нели­ нейном фильтрации [9] когерентного радиосигнала отсутствует схема восста­ новления паразитных параметров A{t) и B(t), которая дает энергетический выигрыш по сравнению с обычной квадратурной обработкой сигнала с не­ известной фазой. Поэтому при конструировании реальной аппаратуры дол­ жно быть проведено сравнительное исследование различных (оптимальных и субоптимальных) схем обработки.

Выражения (2.3)—(2.7) описывают формирование апосте­ риорного распределения и оценки в непрерывном времени. При импульсном излучении радиосигналов передача информации происходит в дискретные моменты времени, что позволяет упростить математический аппарат, выполнив переход от диф­ ференциальных уравнений к разностным.

При использовании импульсов с большой скважностью функция h[X (/), t\ в течение большей части периода повторе­ ния сигнала равна нулю, поэтому в промежутке между 6-м и (6+1)-м импульсами распределение вероятностей описывается уравнением

^д[Х(М.'/У(/*)] = А+{р[Х(Л, fft < f< /* +ll (2.11)

где tk — момент приема 6-го импульса.

В качестве начального распределения при решении уравне­

ния	(2.11) используется значение p[X(fa),	fa/Y (fa)']. Выраже­
ние	(2.11) описывает преобразование распределения в		процес­
се экстраполяции оценки.
	Функция f[X(f), f], входящая в первое слагаемое прямого
дифференциального оператора L+{ } в		выражении	(2.11),

определяет перемещение условного распределения в фазовом пространстве вектора Х(£), благодаря чему вершина распре­ деления соответствует значению экстраполированной оценки. Так как экстраполяция выполняется без использования новых данных, то неизбежно ухудшение точности оценки, обусловлен­

ное старением данных. Это явление			учитывается		наличием
второго члена в L+{	},	определяющего процесс			расширения
распределения. Если	шум	W(/) в	выражении	(2.1) отсутст­
вует, второй член в L+{		} равен нулю, и экстраполяция вы­
полняется без дополнительного снижения точности.					Подобная
ситуация возникает в	случае точно известного			закона измене­

ния параметра.

При приеме импульса сигнала (длительность которого со­ ставляет малую часть периода повторения) происходит сжа­ тие условного распределения в результате действия третьего слагаемого в выражении (2.3). Поскольку решение уравнения (2.3) является сложной задачей, при импульсном сигнале можно заменить вычисление условного распределения в непре­ рывном времени периодическим вычислением апостериорного

распределения, которое после приема (A -fl)-ro импульса		сиг­
нала в соответствии с формулой Байеса равно
р IX (tk+i), /*„/v (fa+i)l = l[X(fa„). /ьп/У (fall PIV (/».цУХ (б+i 1		l2.12>
PIY (<*♦,)!
где p[Y(fa+1)/X(fa+i ) ] — функция правдоподобия	принятого
(fc+l)-ro импульса сигнала. Используя выражения	(2.11) и

(2.12), можно организовать рекуррентное вычисление апосте­ риорного распределения при произвольной форме априорного распределения p[X(fa), fa] и функции правдоподобия.

Преимущество использования выражений (2.11) и (2.12) вместо непосредственного решения уравнения (2.3) заключа­ ется в возможности использования хорошо изученных способов построения функций правдоподобия радиотехнических сигна­ лов [7, 9]. Дополнительное достоинство такого подхода со­ стоит также и в том, что при вычислении функций правдопо­

добия	выполняется уореднение	по паразитным параметрам
радиосигнала и отпадает необходимость в			расширении	векто­
ра \ ( t )	из-за включения этих	параметров.	Естественно,	что в

последнем случае не используются межпериодные статистиче­ ские связи паразитных параметров, и, если такие связи суще­ ствуют, возможны потери качества обработки радиосигналов. ’’Импульсный” подход к решению задачи нелинейной фильтра-

ции	на основе	рекуррентного использования выражений (2.11)
и (2.12) привлекателен также и простотой			реализации, так как
все	операции	с широкополосным сигналом	Y(/) выполняются

врадиотракте при формировании функции правдоподобия.

Вдальнейшем исследование ограничивается алгоритмами фильтрации, реализуемыми на цифровых вычислительных уст­ ройствах. Поэтому основное внимание уделяется построению

рекуррентных алгоритмов на основе выражений (2.11) и

(2.12).

В радиотехнических системах определения координат изме­ нение параметров движения объектов описывается с достаточ­ ной точностью линейным дифференциальным уравнением, т. е. f[X(f), /]=!(/)Х (<) и вместо уравнения (2.1) используется

	X « ) - f « ) X ( t ) + g ( 0 W ( / j	(2.13)
1МИ	X U) = f X ( / ) - f gW tf).	(2.13а)

В линейном случае решение уравнения (2.11)					можно заме­
нить более простым вычислением:
P [X	W	Y t/*)l =	j О[X ,/*). X (/*„,'] pi X (/ftl./ft/Y <f*)| rfX (/,). (2.H)
где 0[X(//t),		X(//,+i ) ] — фундаментальное решение			уравнения
(2.11). Это		решение	соответствует начальному	распределению
в виде	многомерной		ô-функции, расположенной	в	точке Х (4).

Если коэффициенты дифференциального уравнения (2.13а) не зависят от времени, фундаментальное решение 0 [ ] зависит только от величины периода повторения сигнала.

Построим фундаментальное решение для случая постоянных коэффициентов f и g, учитывая, что это решение является ре­ акцией уравнения (2.11) на начальное распределение в виде дельта-фуикции. Так как система линейна, а шум W(t) имеет нормальное распределение, фундаментальное решение является нормальным распределением, параметры которого легко нахо­ дятся с помощью теории линейных систем [36] :

« [Х(М. X /**,)! = (2*Г"''2|О Г 1,*ехр [--у IX ( /* „ ) - *Х tf*)lГ Q-* X

X [X (/*+1! - ФХ (/*)] j .

где Ф — переходная матрица дифференциального уравнения (2.13а), соответствующая интервалу времени Tn=t/t+1—t/,; Q — ковариационная матрица (см. Приложение 1).

В задачах местоопределения объектов закон изменения коор­ динат очень часто представляется в виде полинома с неизвест­ ными коэффициентами, что соответствует однородному диффе­ ренциальному уравнению (2.13а) при g = 0 . При этом функция О { } вырождается в многомерную дельта-функцию:

Выражения (2.12), (2.11) или (2.14) позволяют построить, рекуррентный алгоритм вычисления апостериорного распреде­ ления вероятностей для импульсного излучения сигнала. Мож­ но указать два основных направления исследования этого ал­ горитма — построение распределения в широком априорном интервале при отсутствии точных априорных данных и исполь­ зование нормальной аппроксимации апостериорного распреде­ ления при точных априорных данных. Первое направление ока­ зывается полезным при одновременном оценивании положения! многих сигналов или же совмещении операций поиска и изме­ рения координат. Второе направление представляет интерес потому, что получаемые измерители близки по структуре к ши­ роко распространенным на практике следящим системам.

П р и м е р 2.2. Изучим формирование апостериорного распределении* ве­ роятностей при импульсном излучении радиолокационных сигналов. Рассмат­ риваем задачу определения временного положения сигнала:

Y(f) = V2Hc \ u ( t - z ) \ cos [о>(t - * ) + ср„ С/ — х) -+ ?(*)] + л (f), ^*16)

где (Çi(k) — случайный фазовый сдвиг, обусловленный некогерентностыо фор­

мирования сигнала и принимающий произвольные		значения	в интервале’
[О, 2л] с равной вероятностью при излучении /<-го		импульса;	т — задержка
сигнала, связанная с расстоянием р до цели	выражением т=2р /с0; с0— ско­
рость распространения света, n(t) — белый	шум	со спектральной плот­

ностью N.

Известно, что при обработке некогерентного сигнала, межпериодное додетекторное накопление сигнала нецелесообразно. Поэтому паразитный па­

раметр	<р(6)	не включается в вектор состояния		Х(/), который формируется
из двух	переменных: Хг (/) = [р (0 vp (/)]. Как и			в примере 2.1	изменение
вектора	Х(/)	во времени задается дифференциальным уравнением
		* ( 0 - [ о	5] х (О + [5] ЛхЮ,		12.17)
где шум пi(t)		имеет спектральную плотность
Из уравнений (2.11) н (2.17)			получим

Уравнение (2.18) описывает трансформацию условного распределения в промежутке между приемом импульсов сигнала. Чтобы наглядно показать трансформацию распределения, рассмотрим случай изменения р(/) с постоян­

ной	скоростью		(Л/i= 0 ). Выберем	слон распределения	p[X(f), t/Y(th)], за­
ключенный		в	промежутке между	значениями vp и	v p + Avp . Для этого
слоя	можно	написать:

Переходя от дифференциального уравнения к разностному и учитывая соот­ ношение v p =Ap/At, получим

/>{[р (' + Л* I vf Y , t + \ t i y (tk)}=p{[?(t> — Др üp]r , tjY(tk)}. (2. 19>

Из этого уравнения следует, что сечение распределения плоскостью, прове­

денной

на уровне

v ,t , смещается

за

интервал

At

на

величину

Дp = v 0At.

Этот же результат можно получить из выражения (2 .14). В рассматри­

ваемом

примере

• - П -

при

iV = 0

из

выражения (2.15)

имеем

0 [ X ( /

* ) , X ( *

A+1)]X ^= „8 +1){

-

[

J

х

(Л (Ц]

=

ГрС^л+i) —jp Vk) 4- Atvp)

3

^

'р Uft+i) - Vp (tk)

Тогда из выражения (2.14) следует выражение

(2.19).

решения;

В общем

случае при

среднее значение фундаментального

смещается со

скоростью и0, а

матрица ковариаций Q

равна [15]

Q= Nt

àPU МЪ]

ДР/,

At J

Функция

правдоподобия сигнала

(2.16)

имеет вид [7]

вР [ У

</Л+1)] — с/0

2 У Р с

tfi':

9

(

V (z)V 2 u

( t - ^ ) eh-.dz

, ( 2.20>

N

'ft

где /0 ( ) — модифицированная функция Бесселя первого рода. Если отно­ шение сигнал/шум невелико, можно использовать приближение/0 {JC } « 1 - f л'-/4

	2Р с	'ft+i	t t -	-
при * <		I*		% )
	1. Тогда p [Y (tk^ )] lX ^ \ )] ^ c \ 1 -j—f i r	|	П т ) и ( ;	CQ I
	1			/
Это выражение можно рассматривать как выход оптимального прием­
ника,	содержащего фильтр, согласованный с	принимаемым		сигналом u(t)T
и квадратичный детектор.			может	иметь несколько*
При слабом сигнале функция правдоподобия

максимумов в пределах априорного интервала. Если длительность импульса сигнала невелика, функция правдоподобия зависит от расстояния р и прак­ тически не зависит от скорости vp.

На	рис. 2.2, а—в	показаны	соответственно сечения априорного	распре­
деления	вероятностей	р{[р(0),	(0)]т, 0}, функция правдоподобия	и сече­

ние апостериорного распределения. В примере предполагается, что в преде­ лах априорной области содержится несколько выбросов функции правдопо­ добия. По этой причине после приема первого импульса сигнала условное распределение имеет несколько максимумов. Преобразование условного рас­

пределения	за интервал	Т п	показано	на рис. 2.2, г,	функция правдоподобия
на втором	такте — на	рис.	2.2, д. Так	как сигнал	повторяется регулярно,

а выбросы помех распределены хаотически, происходит формирование основ­

ного максимума распределения вблизи точки	оценки Х (/) и	постепенное за­
тухание боковых выбросов (рис. 2.2, е). При	экстраполяции	отдельные части

распределения смещаются с разной скоростью, благодаря чему происходит

поворот сечения	(сравним рис. 2.2, в и г ), что при последующем умноже­
нии на функцию	правдоподобия приводит к сжатию распределения не только

по оси р, но и по оси v0. Таким образом, с течением времени пик распреде­ ления сжимается в соответствии с ростом точности измерений. Если

о

А АЛЛА		Л А А			_ Д ___(\А
В		е
	V P
			11	9		9
	9	"0			Р
		Рис. 2.2.
N[ =0	(движение с	постоянной	скоростью), точность			возрастает не­
ограниченно с течением времени. При					наличии случайного ускорения
(Л/|#0)	процесс экстраполяции будет сопровождаться расширением						распре­
деления	(рис. 2.2, ж)	и с течением	времени		установится	равновесие	между

процессами размытия распределения при экстраполяции и сужения распреде­ ления при приеме очередного импульса сигнала.

Ознакомление с примерами использования уравнений филь­ трации в задачах обработки радиотехнических сигналов пока­ зывает, что непосредственное применение теории затруднено из-за сложного математического аппарата. Поэтому в техниче­ ских приложениях следует искать более простые по реализа­ ции субоптимальные алгоритмы, сочетающие простоту с удов­ летворительными точностными характеристиками. Наиболее распространенные методы построения приближенных алгорит­ мов рассматриваются в следующих разделах.

2.2.Синтез оптимального фильтра по критерию максимума апостериорной вероятности

При импульсном излучении сигнала и цифровых методах обработки целесообразно строить алгоритмы фильтрации в дис­ кретном времени. Удобный подход к проектированию таких фильтров заключается в нахождении максимума апостериор­ ного распределения вероятности.

Рассмотрим два случая определения максимума апостернор-

ного распределения. В первом случае при большой априорной неопределенности апостериорное распределение при приеме первых импульсов сигнала имеет весьма произвольную форму, и только через некоторый интервал измерений выделяется ос­

новной максимум, который используется		для	оценки.		Из-за
произвольной	формы распределения при	большой		априорной
неопределенности необходимо использовать численное					реше­
ние уравнения	Кушнера — Стратоновича.	Во втором			случае
имеются достаточно точные априорные данные			о положении
сигнала и возможно использование нормальной				аппроксима­

ции функции правдоподобия принятого сигнала. Так как апосте­ риорное распределение в этом случае оказывается нормаль­ ным, нахождение максимума сводится к расчету среднего зна­ чения апостериорного распределения. Второй подход позволя­ ет получить простые алгоритмы, близкие по своей структуре к следящим измерителям.

Первый подход целесообразно использовать при поиске сиг­ нала, второй — при его автоматическом сопровождении.

Рассмотрим задачу поиска сигнала, которая отличается от известной задачи [32] из-за изменения параметра во времени.

Полагаем, что параметр сигнала является частью компо­ нент векторного случайного процесса, удовлетворяющего урав­ нению (2.13а). Принимаемое сообщение имеет вид (2.2). В этой задаче при импульсном излучении сигнала трансформация апо­ стериорного распределения в промежутке между импульсами описывается уравнением (2.11). С учетом (2.11) и (2.13а)

ж и>Iх «>.

м I = - »р— 1|Х (|),''ю 1 ( о '" ум *>| +

+ 7 8р [й ^ { « ш )Г |S4 V (' 1*”>|Х </), /Т (/,)|Ц , (2.21)

ti,<i<tk+1. Уравнение (2.21) необходимо дополнить начальным н граничным условиями. Начальное условие определяется из выражения (2.12):

/>[Х(**♦,). W Y (**«)] = Q> IX(<*«), f*., Y (£*)!/? (Y (4ti), Х(/А+1)],

/ЧХр,,), М = М Х 1 ,

(2.22)

где С — постоянный нормирующий множитель.

Граничные условия определяют значения плотности вероят­ ности на границе априорной области. Очень часто значения на границе выбираются нулевыми, при этом наблюдается умень­ шение вероятности с течением времени. В нашей задаче выбор граничных условий мало влияет на результат, так как при при­ еме новой информации ширина распределения быстро сокра­ щается и значения распределения вблизи границ малы. Поэто­ му можно использовать самое простое задание граничных усло­

вий и считать, что за пределами априорной области значение плотности вероятности равно нулю.

Численный метод решения (так называемый метод сеток) основан на замене дифференциального уравнения в частных производных (2.21) соответствующим разностным. При этом методе априорная область задания параметров в пространстве X разбивается на элементы. Выбор шага разбиения определяет точность приближенного решения и производится опытным пу­ тем. Недостаток метода сеток заключается в быстром росте числа элементов сетки при увеличении размерности вектора X. Поэтому реальные возможности осуществления метода сеток имеются лишь для простейших моделей изменения параметра, задаваемых уравнением (2.13а). Выберем несколько значений матриц f и g, соответствующих моделям первого, второго и третьего порядков:

Если 1/7л>0, то уравнение (2.13а) первого порядка опи­ сывает медленно изменяющуюся во времени случайную вели­ чину X(ï) (экспоненциально-коррелированный случайный про­ цесс). Соответственно модели второго и третьего порядка опи­ сывают случайные процессы с экспоненциально-коррелирован­ ной скоростью и ускорением. Если 1/7'Л= 0 , то моделируются величины с неизвестным постоянным значением, скоростью или ускорением, причем неизвестный параметр задается с помощью начального условия Х(0). Предполагается, что величина X(0) является случайной величиной с известными средним значением и ковариационной матрицей. При отсутствии случайных изме­ нений параметра во времени получаются наиболее простые алгоритмы, заслуживающие внимательного изучения. Из вы­ ражения (2.21) при g = 0 получаем

Обозначая Хг = [рг»р] или ХГ= [рт>РаР], из (2.23) получим

£ /> [Х ,	(/V (4)1 =	t/ У (4)I|.
Л-р [X , t/Y <<„)! =	- Л | ^ | Х , ЦГ(1,)]) -	Л\а,р IX , t,y« ,) ]] .

(2.24)

Особенность выражений (2.24) заключается в том, что число производных меньше числа переменных в векторе X. Таким образом, введение условия g = 0 существенно упрощает реше­ ние задачи. Уравнениям (2.24) соответствуют разностные урав­ нения

P [X, t + btiY (f*)] = 2 р [X,		tJY (*ft)]- p			{[P + оЛр] ,		</V (/*)}
P IX, t + à t l Y {tk)]=3p [X,			t(Y (/*)]- p j P				.	j
	tlY (tk) \ - p	P	1	.	t!Y(f*)			(2.25)
		v f + Avt
		a„	J
В общем случае при использовании метода сеток простран­
ство вектора	X разбивается	на элементы				размерами Лр X Лир
(в двумерной	задаче) или	ДрХДирХДар				(в трехмерной		зада­
че), и для каждого узла сетки задается					значение р[Х, </Y(/&)].

Чтобы найти значение р[Х, t-\-At/Y(th)], необходимо решить разностные уравнения (2.25). Из-за специфики уравнений (2.24) сеточные уравнения (2.25) зависят лишь от части со­ ставляющих вектора X. Благодаря этому двумерная сеточная задача распадается на ряд одномерных задач, соответствую­ щих разным скоростям. Аналогично трехмерная задача стано­ вится эквивалентной ряду двумерных задач, соответствующих заданным значениям ускорения.

Исследуем алгоритм вычисления апостериорного распреде­ ления в двумерной задаче, описывающей изменение параметра

сигнала с постоянной скоростью. Разделив выражение	(2.24)
на р[Х, f/Y (/*)], получим
£ ln p [ X , t l \ ( t b) } = — £ {*,ln/> [X , */Y (*,)!}.	(2.26)

Выражению (2.26) соответствует разностное уравнение

ln p |Х, * + A//Y (f*)]= In/»Цр +Ар «»Г. */Y (**)), (2.27)

где Д р=ирДЛ Из выражения (2.27) следует, что каждое сече* ние распределения плоскостью ир= const смещается со скоро­

стью vp вдоль	оси р. Если At	равно	периоду повторения Тп,
то из (2.22) и (2.27) имеем
ln P (X,	t„/Y (tk)] = \ n c + l n p 0 \[f — kvtT„ 'Op]7'} -Ь
+	2 ,n P |Y	-	i) v fT„ vfV).	(2.28)
	i=i

Выражение (2.28) соответствует сечению распределения пло­ скостью ир= const. Сумма в этом выражении принимает наи-

большее значение в том случае, если скорость изменения пара­ метра близка к скорости Vp. В этом случае максимумы всех функций правдоподобия p{Y(/,)/[p— (А—i)vpTn ир] т} совме­ щаются наилучшим образом и апостериорное распределение имеет максимальное значение. Схема алгоритма показана на рис. 2.3. Реализация подобной схемы обработки требует запи-

1п Ро

tnp[Y(t,)]
lnp[Y({2)]
lnp[Y(î*)]
		Рис. 2.3.
ей величины	In р	для различных периодов сигнала в	память
ЭВМ. При цр= 0		сдвиг исключается, и схема превращается в
обычную схему накопления импульсных сигналов [32].			Рас­
сматриваемая	схема отличается наличием поиска по		скоро­
сти vp.

Аналогичное исследование в трехмерной задаче показывает, что при наличии постоянного ускорения каждый элемент рас­ пределения перемещается не только по дальности, но и по скорости на величину Тпар. По этой причине перед суммиро­ ванием необходимо варьировать задержку, обусловленную влиянием не только скорости vp, но и ускорения ар. Размер­ ность пространства поиска при этом увеличивается, так как максимум отыскивается в пространстве [pi/pap].

Следует заметить, что размерность вектора Х(/) не влияет на объем памяти для хранения значений функции правдоподо­ бия. При усложнении задачи возрастает лишь количество обра­ щений к памяти для расчета очередного значения функций p{[f>VpapjT, t/Y(th)} в точке [рпряр].

Рассмотренный алгоритм хорош при произвольной форме функции правдоподобия, но он сложен в реализации и поэто­ му практически пригоден для простых моделей движения объ­ екта. Можно существенно упростить алгоритм оценивания, ес­ ли принять, что функция правдоподобия может быть аппрокси­ мирована нормальным распределением [2,9]. Такая аппрокси­ мация справёдлива, если истинное значение параметра доста­ точно хорошо известно. Фактически это означает, что априор-