книги / Прочность грунтов и устойчивость оснований сооружений

связностью, то напряжения не моделируются и должны быть одинаковыми в модели и натуре. Отсюда следует также по системе (III.2), что должно быть и ас = 1, следовательно все должно воспроизводиться в натуральную величину. При грунте, не обла­ дающем сцеплением (например, песок), моделирование оказы­ вается возможным, причем имеем:

<хф= 1; о ^ = 1; аь = a i.

Нелинейные процессы моделировать не удается вовсе и следует их воспроизводить в натуральную величину.

Изучение тех или иных процессов бывает удобно характери­ зовать безразмерными комплексами.

Согласно ПИ-теореме, если имеется п\ размерных параметров, для измерения которых использовано пг основных единиц физи­ ческих величин, то всякое соотношение между этими п\ размер­ ными параметрами можно представить в виде п\ — пг безраз­ мерных комбинации. Так, например, имеем параметры: b — ши­ рина фундамента; с — удельное сцепление; у — удельный вес грунта; q — пригрузка; р — давление под фундаментом; т — ка­ сательная компонента напряжения под фундаментом. Следова­

тельно, /2| = 6 и П2 =	2	(так как основные единицы физических
величин — длина, м,	и	сила, Н).	Теперь	можно	составить
п\ — П2 безразмерных комплекса из этих параметров:
		ЛГз =	4* ; лг4 =	4 *	(III.5)
			уb	yb

Любая комбинация из этих комплексов будет также безраз­ мерным числом, характеризующим рассматриваемый процесс. Можно, например, указать на то, что большое значение в пред­ ставлении результатов определения несущей способности имеет комплекс N\.

В частности, известную формулу по определению несущей способности основания при вертикальной нагрузке можно пред­ ставить следующим образом:

p =	Ntfb + N4q + N * t
а в безразмерных комплексах
		с
уЬ	' УЬ	v yb
или
Ni =	м + NqN 2 +	NeNi	(III.6)
при наличии также и горизонтальной		составляющей N\ =	f(Nз)

или Nz = f (N |, N2, NA).

Удобно для решения задач пользоваться безразмерными координатами, которые можно ввести, основываясь на приведен­ ных безразмерных комплексах. Так, например, если воспользо­

111

ваться четвертым комплексом (III.5), то можно ввести безразмер­ ные координаты х' — ух/с\ у ' = уу/с и проводить решение, а да­ лее перейти обратно к абсолютным координатам по этим формулам. Такая возможность значительно расширит круг ис­ пользования полученных решений. В особенности это удобно при необходимости численного решения задач, так как одно по­ лученное решение позволяет использовать его для ряда практи­ ческих случаев. Эта возможность широко используется в теории предельного равновесия сыпучей среды [42].

Обычно эпюра реактивных давлений, получаемая по теории предельного равновесия сыпучей среды, обладающей собственным весом, при наличии постоянной нагрузки считается линейной функцией координаты у (рис. III.1, а) и увеличивается при уда­ лении от особой точки по линейному закону. В действительности же, как показывают расчеты, эта эпюра имеет слабую нели­ нейность вблизи особой точки, а в дальнейшем становится линейной. Практического значения эта весьма малая нелиней­ ность не имеет.

Большое значение в решении задач по теории предельного равновесия имеет особая точка, в которую сходятся характери­ стики одного из семейств линий скольжения, чем и обеспечивается скачок в эпюре напряжений. В. В. Соколовский [42] предпо­ ложил, что одна из характеристик в особой точке имеет посто­ янное значение, а характеристики другого семейства сходятся в нее. В связи с этим особая точка 0 (см. рис. III. 1, а) разверты­ вается на плоскости характеристик в отрезок. Очень важным обстоятельством является то, что собственный вес грунта не влияет на развертку особой точки.

Другими словами, углы, под которыми подходят линии сколь­ жения (характеристики) к особой точке 0 при весомой и невесо­ мой среде, одинаковы. Убедительное доказательство этому поло­ жению дал В. А. Флорин [52], который рассмотрел небольшую область вокруг особой точки, а затем устремил размер этой области к нулю. Он отметил более быстрое уменьшение объема этой области (на один порядок), чем ее поверхности (в плоской задаче — площадь уменьшается быстрее, чем длина ограничи­ вающей линии, так как площадь содержит квадрат длины), поэтому при достаточно малом размере выделенной области действующий на нее собственный вес грунта становится пренебре­ жимо малым по сравнению с напряжениями от внешней нагрузки. Это очень важное заключение, так как распределение напряже­ ний по дуге вокруг особой точки при отсутствии веса среды нам известно — интегралы уравнений получены для этого случая в конечном виде.

Следует отметить также интересную возможность использо­ вания решения для зоны Прандтля в случае, когда удается «поднять» особую точку. Эта возможность отмечена В. В. Соко­ ловским [42]. При этом уже не будет скачка в эпюрах напряже-

П2

Рнс. III.I. Расчетная нагрузка на поверх­

ность основания

ний р и пригрузки <7, будет плавный переход от одной к другой. Кроме того, в пределах участка O1O2 (рис. III. 1, б) будут действо­

вать касательные напряжения, закон распределения которых будет вполне определенным, отвечающим решению для клина, и варьи­ ровать его нельзя. Положение полюса 0 будет также определенным

ибудет зависеть от длины участка O1O2.

Втеории предельного равновесия сыпучей среды для решения задач о несущей способности оснований, заглубленных в грунт фундаментов, действие грунта, расположенного выше подошвы фундамента, обычно заменяется действием эквивалентной по весу пригрузки. Тем самым предполагается, что вдоль линии ОВ (рис. III.2, а) касательные напряжения должны отсутствовать.

из

В действительности же выше линии ОВ находится грунт, и касательные напряжения вдоль этой линии могут развиваться. Вследствие действия нагрузки р смещение грунта в основании в зоне II будет происходить влево (рис. III.2, б), а расположен­ ный в зоне / грунт будет этому препятствовать. Таким образом, вдоль линии ОВ возможно возникновение касательных напряже­ ний в направлении, показанном на рис. III.2, б. Эти касательные напряжения, если их учесть в расчете, увеличат предельную нагрузку р, что и было учтено В. Г Березанцевым [2] в его схеме, приближающей обычно принимаемую схему только с вертикальной пригрузкой к действительности.

Говоря о пригрузке, следует отметить ее фактическое не­ постоянство в связи с тем, что фундамент при увеличении нагрузки дает осадку, в то время как свободная поверхность грунта OiSi (см. рис. III.2, б) остается в прежнем положении. Следовательно, если осадка фундамента будет равна s, а заглубление его в грунт Л = 00i, то пригрузку правильнее считать q = у (А + s), а не yht как это обычно делается. В от­ дельных случаях, в особенности при узких фундаментах и песча­ ном грунте, это обстоятельство может оказаться немаловажным. Особенно его следует учитывать при обработке результатов экспериментов, проведенных с моделями фундаментов в лабора­ торных условиях.

3. РЕШЕНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ОБ ОБРАЗОВАНИИ И РАЗВИТИИ

ВОСНОВАНИИ ПОД КРАЕМ ФУНДАМЕНТА ОБЛАСТИ ГРУНТА

СПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЕМ

Если в основании фундамента или полностью отсутствуют зоны, в которых нарушена прочность грунта и он находится в предельном состоянии, или они незначительны по своим размерам, то напряженное состояние определяется с использованием ре­ шений теории линейно-деформируемой среды. При развитии зоны с предельным состоянием вокруг нее в непредельной области возникает перераспределение напряжений, влияющее на величину образующейся пластической области. Таким образом возникает необходимость решения смешанной упругопластической -задачи.

Для определения размеров подошвы фундамента необходимо знать давление* при котором под краями фундамента в грунте начинает образовываться предельная зона, а также расширение этой зоны по. мере увеличения нагрузки на. фундамент вплоть до максимального размера, соответствующего потере основанием несущей способности.

Давление /?кр, соответствующее началу возникновения области пластической деформации и названное начальной критической нагрузкой [53], было сначала установлено Н. П. Пузыревским

114

(1934)	для несвязного	грунта, у	которого с = 0,	потом
Н. М.	Герсевановым [10]	и, наконец,	О. К. Фрелихом	(1938).

Формулы оказались идентичными в связи с одинаковыми исход­ ными предпосылками, они лишь дополнены предыдущими.

Эти авторы рассматривали случай, когда распределение напря­ жений от собственного веса в грунте было гидростатическим, т. е. коэффициент бокового давления в условиях естественного залегания go = 1. Согласно обоснованному утверждению, выска­ занному В. А. Флориным [51], этот коэффициент может изме­ няться в широких пределах и быть более или менее единицы. Коэффициент go является отношением бокового давления к вер­ тикальному в естественном массиве грунта и зависит от условий формирования грунта, а также изменения напряженного состоя­ ния вследствие выемки грунта из котлована, в котором уста­ навливается фундамент. Определение коэффициента go в полевых условиях затруднительно, однако, как показывает полученное решение задачи, он оказывает существенное влияние и на на­ чальную критическую нагрузку, и на размеры пластической области.

По данным экспериментальных исследований, проведенных для глинистых грунтов естественного сложения в полевых условиях (Бьеррум, 1972), коэффициент go колеблется для глин текучей консистенции в пределах 0,4—0,5, а для менее пластичных глин 0,5—0,6 т. е. оказывается менее единицы. В то же время в грунтах, уплотненных трамбованием, он составляет более единицы. Если рассматривать грунты как вязкопластические тела, то с течением времени этот коэффи­ циент должен стремиться к единице.

Кроме решения для случая g o = l , Н. М. Герсевановым были получены зависимости для вычисления ркр путем подбора

для go =	р,о/(1 — |А оХ 1		и с =	0 (где	ро — коэффициент	Пуас­
сона грунта).		В связи	с	тем что	ограничивать среднее
давление	под	фундаментом		таким	низким пределом,	как

рКр» оказалось нерациональным, в настоящее время вводится устанавливаемое для фундаментов, имеющих одинаковую при­ грузку по бокам, ограничение, соответствующее образованию незначительных областей пластической деформации, по глубине не превосходящих одной четверти ширины подошвы фундамента'. Размер этих областей устанавливался из условия, что фунда­ мент имеет конечную ширину и go = 1, в предположении чисто упругого распределения напряжений в упругой и пластической областях. В связи с этимвнутри пластической области оказы­ вается такое напряженное состояние, при котором угол наиболь­ шего отклонения равнодействующей от нормали к площадке в несвязном грунте превышает угол внутреннего трения грунта.

Построение границ пластических областей конечных размеров на основе теории упругости было обстоятельно рассмотрено в ра-

115

боте-М. И. Горбунова-Посадова (1949), где показано, что та­ кие области возникают либо под краями фундамента, либо при |о < 1 на оси симметрии на некоторой глубине и потом расши­ ряются с увеличением нагрузки, занимая все больший объем.

В действительности же внутри пластической области возни­ кает другое, отличающееся от чисто упругого, напряженное со­ стояние, которое определяется решением теории предельного равновесия сыпучей среды. Это обстоятельство обусловливает, в свою очередь, перераспределение напряжений в упругих областях, очевидно сказывающееся в меньшей степени в отда­ лении от пластических областей. Такое перераспределение на­ пряжений может в большей степени влиять на изменение очертания пластических областей, полученных на основе только упругого распределения напряжений в основании.

Здесь рассматривается поведение грунта под краем фунда­ мента такой ширины, когда влиянием другого края можно пре­ небречь. Исследуется условие образования пластической области под краем фундамента в случае, когда go может иметь любое значение и быть как менее единицы, так и более нее, а влияние веса вышележащей толщи грунта, как это обычно делается, заменено пригрузкой ро. Далее приходится вводить

предположение, что фундамент заложен относительно глубоко и вес вышележащей толщи, замененный пригрузкой ро, намного

больше веса грунта в области, переходящей в предельное состояние. Это позволяет считать боковое давление <70 не увели­ чивающимся в этой предельной области с глубиной. В такой постановке задачу удалось решить точно в элементарных функциях.

Расчетная схема представлена на рис. Ш .З, где рассматри­ вается, как и в теории предельного равновесия сыпучей среды, полубесконечная нагрузка. До момента, пока р невелико, в полу­

плоскости наблюдается чисто упругое состояние,						а при		р = р«р
происходит	зарождение	пластической		области.		Как		показал
И. В. Федоров (1958, [32]), зарождение					пластической			области
начинается	вдоль луча,	имеющего	угол		наклона	к	вертикали
0 = —ф. Разделим полуплоскость			на	три клина:			I — АОАи

П 6

II — Ai$B и III — Л1ОЛ2. На их границах поставим следующие условия:

ВДОЛЬ	АО(0 =	—я/2), О = Р0; т,0= 0;
ВДОЛЬ	ОВ (0 =	л/2),	CF0= р 4	Ро ; тг0 =	0;
ВДОЛЬ	0i41 (0 == Gt|)		и 0А2 (0 =	а2), 0/ =	его ( I 4 sin2 <p)/cos2 Ф 4
	4 2с ctg ф;		T,Q= —(оо tg ф 4 с).

Условия вдоль границ OAi и ОЛг получены исходя из того» что они являются линиями скольжения и вдоль них удовлетво­ ряется условие прочности

(рг— а0)2 4 4т2 = (аг 4	<г0 4	2с ctg ф)2 sin2 ф ;		(ш -7)
|т,0| =	ф +	с,		(Ш-8)
т. е. система уравнений (III.7)	и (III.8)		разрешена относитель­
но аг.
Знак перед тг0 взят в соответствии с избранной системой
координат. Для компонент напряжений			в областях I	и I I

использованы выражения» удовлетворяющие основным уравне­ ниям теории упругости:

о, — с\ — С220		+ D\ sin 20 — 02 cos 20;	|
оо =	ci — С220	— 0 , cos 20 4 £>2 cos 20;	r	(III.9)
Tro =	C2 4- Di cos 20 -4 £>2sin 20.		J

Для пластической области III использовано решение Прандтля для клина [11], в котором произведены упрощающие дальнейшие выкладки преобразования (ав при 0 = сц обозначено ag1):

«то = (oj1+ с ctg ф ) *2(о		_ с c t g % \
Or =	O o-Li-H lis + 2с tg ф;	>	(ШЛО)
	COS ф	I
*г0 =	“ (сто tg Ф 4- С).	)

Дальнейшие выкладки связаны с определением коэффициентов в зависимостях (111.9) исходя из принятых граничных условий. Для области I они оказываются:

Ci =	ро — (ро sin ф 4- сcos ф ) [sin (2сп 4 ф) 4 sin ф — л cos(2a, 4 ф)]М;|
С2 =	0, = — (ро sin ф4- с cos ф) [cos(2a14- ф)] М;			I
02 =	-(p a sin ф 4 с cos ф) [sin (2a 1 4 ф) 4 sin ф] М ;			Г(111.11)
М =	{[cos ф 4 cos (2a1 4	Ф) -	(л - 2a,) sin ф] cos (2а, 4 ф) 4	I
	4fsin (2а, 4	ф) 4	sin ф]2)-"1.	J
Полученные зависимости позволяют найти значение				о0 при
0 =	он:

о?' = ро — (ро*sin ф4 сcos ф)

_______sin (2a, 4ф)4(24со82а|)5Шф—(n42aQcos(2ai 4ф)______

14 cosфсоз(2а14 Ф)4 s ^ [ s i^ 4 2$in(2a,4 ф)—(я4 2a,)cos(2a,4 ф)]

(111.12)

117

Затем рассматривается область //, для которой справедливы зависимости (III.9), но коэффициенты имеют уже другие зна­ чения:

C 'l^po + p + nD't + D'r,

=

(III.I3)

Далее производится, приравнийание действующих справа и слева напряжений <то и тгв вдоль луча ОЛ2 при 0 = аг, которое при 0 = 0,2 дает:

_________—(po+p)sin2a2-bgQ tgy62(aa~a,)t^(l +cos2a2+sin2a2Ctg<p)

[(я—2a2—sin2a2)+ctg(p(l+cos2a2)]sin2a2—(1+cos2a2)(l +cos2a2+sin 2a2 ctg<p)'

	^>2 = -	W tgq>e2(ei“ “l)tg4’ +		D[( 1 . + cos2ai)]/sin 2a,		(111.14)
и после	подстановки		уравнений	(ШЛЗ)	и (III. 14)	в формулу
(III.9)	получаем	при	значении	0 = я /2	искомую зависимость

для нагрузки pi, выраженную через си и а%. После громоздких преобразований будем окончательно иметь следующее выра­ жение:

ро + с Ctgф

{ \ -f cos2aiX 1 +co$2a2+sin<p[siny-hsin(2a24-<p)-K«—2a2)cos(2a2+9)])g2(tt,"fl,)tCT

(1 + cos2a2){ 1+ co s2 a i+ в 1пф[$тф-|-$1п(2а 1+ ф )—{n+2ai)cos(2ai+T )3}

(II1.15)

Зависимость <ШЛ5) аналогична полученной ранее Й* В* Фе­ доровым <1958, (32]). В нее входят углы ai и аз в качестве параметров, связь между которыми будет установлена далее.

Исследуем сначала наиболее простой, но требующий особого рассмотрения случай идеально связной среды, для которой <р = 0 и с^ = 0 . В этом случаев зоне III выражения для напряжений будут следующими (Малышев, 1975):

°0 — arr = 2с (0 - си) + oj}'; хл = —с\

(Ш.16)

вместо выражения (III. 15) получим:

cos 2ai — sin 2a, — 2aiL+	я cos 2a2 +	sin 2a2 + 2 a2'	(H I.17)
1 + cos 2ai	1 +	cos 2a2

Установим начальную критическую нагрузку, соответствую­ щую зарождению пластической области. В этом случае ai = = а.2 = 0,ар. Воспользуемся упругим решением задачи, которое дается формулами (III.9) при значениях коэффициентов (индекс «у» — упругое)

a = (p + <?« + po)/2;	Ci =	—р/(2я);	О Т = - р /( 2 п ) ;
Dl =	(?„ -	ро)/2,	(III.18)

и удовлетворяет поставленным граничным условиям, в частности, при 0 = 0 имеем:

118

Or— р/2 + Po; (Jo= p/2 + go.

(Ш .1 9 )

Очевидно, что зарождение пластической области будет про­ исходить вдоль луча, для которого тго достигает максимального значения, и, поскольку вдоль него возникает предельное состояние, для него будет |тг0| = с. Отыскивая максимум, найдем, что он имеет место вдоль луча, для которого

tg 203ар -=	я*) ■ 8зар = 4 - arctg Я (р° ~ qo) .		(III.20)
Р	2	р

Подставляя зависимости (III.20) в формулу (III.16) и учиты­ вая, что в рассматриваемом случае 0зар = си = аг, получим выражение для критической нагрузки:

Ркр = пс

я (ро — <7о)г

(111.21)

4с

п [ с - ^ 0 ~ Ь П

после чего, подставив выражение (III.21)

в зависимость

(III.20),

найдем:

где £о

Яо/ро■

При

po = q0 или

to =

1

формула

(111.21)

преобразуется

а хорошо

известную

[43],

причем

по

выражению

(Ш .22)

03ар =

'О

и

формула

(111.17)

совпадает

с

полученной ранее

[43].

Характерным’ является

то, что при

to =

1

нагрузка р кр

оказывается наибольшей.

Более сложными, чем выражения

(III.20)

и

(111.21), получа­

ются зависимости, если

грунт

обладает трением

й сцеплением,

т. е. <р Ф 0

и с Ф 0.

В

этом

случае

зарождение

пластической

области

будет происходить вдоль луча, для которого величина

[(а, -

ао)2 +

4т2„)/(о, +

о, +

2с ctg <tf

(111.23)

достигает максимального значения, причем это максимальное значение, в свою очередь, равно sin2 (р. Подставляя в выражение (111.23) зависимости (III.9), соответствующие упругому реше­

нию— при	коэффициентах, даваемых				зависимостями				(III.18),
отыскивая	затем	производную		по 0	и	приравнивая			ее нулю,
а также приравнивая для этого же луча 0зар =							см =	аа выражение
(111.23) к	sin2 tp,	получим после существенных преобразований
систему
		sin фо		ро — да	-	__
				— —г— т---------
			•ро +		Ф
___________ sin <р [sin q> + sin (29ЭПр +					ф)1_________^			s|n	(111.24)
	1 + cos 20эар — (п 4- 20эаР) Sin ф cos (20айр +						ф) ^
			я (ро — до) cos (203цр +			ф)			(111.25)
		^кр	sin Ф +	sin (20зар +		ф)

119

Формула (Ш .25) требует раскрытия неопределенности, полу­

чающейся при £ о = 1 ,	так как в	этом	случае из выражения
(III.24) следует, что	0зар — —ф.	Если	эту неопределенность

раскрыть, то получаем вместо формулы (III.25) известную фор­ мулу Герсеванова—Фрелиха

		п(ро + с ctg у)
		(II 1.26)
		ctg ф— я/ 2 + ф
Вместе	с тем	из формул (III.24) и (III.25) следует, что
случай Ео =	1, 0зар = —ф соответствует максимуму ркр* определя­
емому по формуле		(II 1.26).
Таким образом оказывается возможным с помощью зависи­
мостей (III.20),		(Ш .21), (III.24) — (III.26) установить угол

0зар, определяющий положение зарождающейся пластической об­ ласти и нагрузку, при которой это зарождение происходит. Дальнейшее повышение нагрузки вызывает увеличение пласти­ ческой области, а связь между ними для идеально-связной среды дается зависимостью (III. 17) и для общего случая среды, облада­ ющей трением и сцеплением, зависимостью (III.15). ‘Для того чтобы воспользоваться этими зависимостями, необходимо знать

связь	между	ai	и	аг.	В. В. Соколовский [43] рассматривал
задачу	при	£о =	1	и в	этом случае из-за симметрии считал

ai = —02. И. В. Федоров (1958) воспользовался, зная предельные значения ai и аг при зарождении и при полном раскрытии пластической области, линейной интерполяционной формулой, имеющей следующий вид:

a . - —

<111.27)

Для связи между ai и аг воспользуемся экстремальным принципом, согласно которому зона предельного состояния будет располагаться таким образом, чтобы иметь минимальный возможный размер при одном и том же внешнем усилии. Послед­ нее равносильно тому, что одному и тому же размеру пласти­ ческой области должно соответствовать такое возможное ее поло­ жение, когда внешняя нагрузка будет наибольшей, т. е. по сути дела тем же принципом, которым мы воспользовались при отыска­ нии начальной критической нагрузки ркр. соответствующей за­ рождению пластической области. Наложим также очевидное условие, что. с увеличением нагрузки абсолютные значения углов ai и аг не должны уменьшаться. Кроме того, у нас имеются зна­

чения начальные ai =		аг =	0за„ и конечные для полного раскрытия
области III	ai = —(я/4 +		ф/2);	аг = (л/4 — <р/2), когда фор­
мула (III.15)	обращается в формулу Прандтля
		Р_____^ , _		i + sin<pf „ ,„
	Ро +	ectg<p		(111.28)
				1 — sin ф

Для того чтобы найти недостающую связь между си и аг, следует приравнять нулю производную д р /д (а \ -+* аг) при at —

120