книги / Теория информации
..pdfтональных функций (базиса), удобной для последующего анализа прохождения сигнала через те или иные цепи и каналы связи.
Совокупность методов представления сигналов в виде (3.1) назы вают обобщенной спектральной теорией сигналов.
Представление (3.1) является разложением сигнала по системе ба зисных функций. К системе базисных функций предъявляют следую щие основные требования: для любого сигнала ряд должен сходиться, функции \)/А(/) должны иметь простую аналитическую форму; коэф фициенты ак должны вычисляться относительно просто. Этим трем условиям удовлетворяют системы ортогональных функций.
Условие ортогональности нормированной базисной функции име ет вид
(3.2)
где
5Йсимвол Кронекера. Систему {(р(/)} называют ортонормированной. Для детерминированных сигналов наибольшее распространение
получили методы спектрального анализа, использующие преобразо вания Фурье. В этих методах в роли \|fk(t) выступают гармонические функции, а роль коэффициентов акиграют амплитуды гармоник.
Важное значение гармонических сигналов для техники связи обусловлено рядом причин. В частности:
1.Гармонические сигналы инвариантны относительно пре образований, осуществляемых стационарными линейными элек трическими цепями. Если такая цепь возбуждена источником гармонических колебаний, то сигнал на выходе цепи остается гармоническим с той же частотой, отличаясь от входного сигнала лишь амплитудой и начальной фазой.
2.Техника генерирования гармонических сигналов относительно
проста.
Кроме гармонического сигнала для анализа характеристик цепей в технике связи используют еще две очень важные функции: дельта функцию и функцию единичного скачка.
Дельта-функция 5(f), или функция Дирака, представляющая собой бесконечно узкий импульс с бесконечной амплитудой, расположен ный при нулевом значении аргумента функции. «Площадь» импульса тем не менее равна единице:
Оо |
II |
^ о |
|
|
и О |
|
00J5 (t)d t |
= 1. |
(3.3)
(3.4)
Разумеется, сигнал в виде дельта-функции невозможно реализо вать физически, однако эта функция очень важна для теоретического анализа сигналов и систем. На графиках дельта-функция обычно изоб ражается жирной стрелкой, высота которой пропорциональна множи телю, стоящему перед дельта-функцией (рис. 3.1).
▲
s(t)
2 5 (М )
8(0
1 |
|
-► |
0 |
1 |
t |
Рис. 3.1. График сигнала S(t) = 8(t) + 28(t - 1)
Одно из важных свойств дельта-функции - так называемое филь трующее свойство. Оно состоит в том, что если дельта-функция присутствует под интегралом в качестве множителя, то результат ин тегрирования будет равен значению остального подынтегрального вы ражения в той точке, где сосредоточен дельта-импульс:
(3 -5>
Из того факта, что интеграл от дельта-функции дает безразмер ную единицу, следует, что размерность самой дельта-функции обратна размерности ее аргумента. Например, дельта-функция времени имеет размерность 1/с, то есть размерность частоты.
Функция единичного скачка o{t), она же функция Хевисайда, она же функция включения, равна нулю для отрицательных значений ар гумента и единице - для положительных. При нулевом значении аргу мента функцию считают либо неопределенной, либо равной 1/2:
0, / < О,
а ( 0 = <1 / 2 ,/ = О, |
(3.6) |
1, / > 0 .
График функции единичного скачка приведен на рис. 3.2. Функцию единичного скачка удобно использовать при создании
математических выражений для сигналов конечной длительности. Простейшим примером является формирование прямоугольного им пульса с амплитудой А и длительностью Т:
s(t)= A (a (t)-o (t-T )).
Вообще, любую кусочно-заданную зависимость можно записать в виде единого математического выражения с помощью функции еди ничного скачка.
Для случайных |
сигна |
а ( / ) |
||
лов наибольшее |
распро |
|
||
странение получили методы |
1 |
|||
корреляционного |
и |
спек |
|
|
трального |
анализа, |
осно |
|
|
ванные на |
преобразовании |
|
||
Хинчина - Винера. Эти пре |
|
|||
образования |
являются ре- |
Рис- 3.2. Функция единичного скачка |
||
r ^ o ^ w |
|
|
|
|
зультатом распространения |
J |
метода Фурье на случайные процессы. При разложении случайных процессов коэффициенты ак являются случайными величинами, а оп тимальные базисы определяются через корреляционные функции этих процессов.
К задачам синтеза сигналов относят задачи определения формы сигналов (структурный синтез) и задачи определения параметров сиг налов известной формы (параметрический синтез).
3.2. Частотная форма представления сигнала
Рассмотрим, какие функции целесообразно выбирать в качестве базисных при анализе инвариантных во времени линейных систем. При исследовании таких систем решения всегда содержат комплекс ные экспоненциальные функции времени. Детерминированные сиг налы, описываемые экспоненциальными функциями времени, при прохождении через инвариантные во времени линейные системы не изменяются по своему характеру, что является следствием инвари антности класса экспоненциальных функций относительно операций дифференцирования и интегрирования.
Широко используются представления детерминированных сигна лов с применением базисных функций еР' как при р = ± ую (преобра зование Фурье), так и при р = s + у'со (обобщенное преобразование Фурье, известное как преобразование Лапласа).
До сих пор мы не касались физической интерпретации базисных функций. Для чисто математических преобразований она не обязатель на. Однако такая интерпретация имеет безусловные преимущества, так как позволяет глубже вникнуть в физический смысл явлений, про текающих в системах при прохождении сигналов.
Использование экспоненциальных базисных функций в преобра зовании Фурье комплексно-сопряженными парами (с положительным и отрицательным параметром со) позволяет в соответствии с формулой Эйлера е1ш/2 + е~у“ / 2 - cos со/ представить сложный детерминирован ный сигнал в виде суммы гармонических составляющих. Поскольку параметр со в этом случае имеет смысл круговой частоты, результат такого преобразования называют частотной формой представления сигнала.
Всилу указанных преимуществ разложение сигналов по системе гармонических базисных функций подверглось всестороннему иссле дованию, на основе которого была создана широко известная класси ческая спектральная теория сигналов.
Вчастотном виде могут представляться как периодические, так и непериодические детерминированные сигналы.
Строго говоря, в реальных условиях периодические сигналы не существуют, так как идеальный периодический сигнал бесконечен во времени, а всякий реальный сигнал имеет начало и конец. Однако во
многих случаях конечностью времени действия сигнала можно пре небречь и для анализа допустимо использовать аппарат, пригодный для идеальных периодических сигналов.
С пектры периодических сигналов. Простейшим периодичес ким сигналом является гармоническое колебание (тока, напряжения, заряда, напряженности поля), определяемое законом
'2 я ,
s(t)= A cos — t -\|/ = -4cos(c0|/ - у ), (3.7)
Т
при - оо < t < + оо. Здесь А, Т, со,, \\i - постоянные амплитуда, период, частота и фаза.
Указание этих параметров, образующих спектр гармонической функции, и будет ее частотным представлением.
Обычно прибегают к графическому изображению спектра. По оси абсцисс наносятся частоты, по оси ординат - амплитуды и фазы. Для удобства вычерчиваются два графика, представляющих амплитудный и фазовый спектры соответственно. Очевидно, для гармонического сигнала каждый из этих спектров изобразится единственной точкой. График становится более наглядным, если из указанной точки опус тить на ось частот перпендикуляр, который будет изображать так на зываемую спектральную линию.
Гармонический сигнал находит широкое применение на практике,
вчастности, при регулировке устройств обработки информации и сня тии их амплитудных и частотных характеристик.
Произвольный детерминированный сигнал определяется как неко торая заданная функция времени jt(f). В настоящее время в большинс тве случаев произвольный детерминированный сигнал представляется
ввиде надлежащим образом выбранной совокупности элементарных сигналов. Основой для такого рассмотрения являются ряды Фурье.
Итак, любой сложный периодический сигнал может быть пред ставлен в виде суммы элементарных гармонических сигналов, дейс твующих при - со< t < +00.
Пусть заданная на интервале t}< t< t2функция s(t) периодически
повторяется с частотой со, = — , где Т - период повторения, причем
выполняются следующие условия (условия Дирихле):
1) в любом конечном интервале функция s(() должна быть непре рывна или иметь конечное число разрывов первого рода;
2) в пределах одного периода функция s(t) должна иметь конечное число экстремальных значений.
Известны две формы разложения в ряд Фурье: тригонометрическая и комплексная. Тригонометрическая форма разложения выражается в виде
|
s(t) = ^ r + Z ( fl" cos«<V + К sin >т А |
(3.8) |
|
п = 1,2,..., |
|
|
|
или, что равносильно, |
|
|
|
|
*(0 = % |
+ iAcos(«<V - V, )> |
(3.9) |
й |
^ |
”=l |
|
здесь у - постоянная составляющая (действующее значение); |
|||
а и Ьп- |
амплитуды косинусоидальных и синусоидальных членов |
||
разложения s(t). |
|
|
|
Эти величины определяются выражениями: |
|
1
2 %
ап = — js (/)c o s /jo y d /, 1 'l
212
К= — J j ( f ) s i n w o y d / .
1
(3 .1 0 )
(3 .1 1 )
(3 .1 2 )
Амплитуда (модуль) и фаза (аргумент) и-й гармоники выражают ся через апи Ьаследующим образом:
Ап = J a 2„ + b2„, |
(313) |
i|/„=arctg— . (3.14)
Ряд Ф урье в комплексной форме обычно записы вается как:
s ( 0 = i c / < |
(3.15) |
к - - о о |
|
Ск |
Js(/)e_2^ d A |
(3-16) |
1 |
о |
|
Таким образом, если функция x(t) имеет конечную длительность (т.е. ограничена по времени) и удовлетворяет указанным выше усло виям, она может быть сколь угодно точно представлена суммой эле ментарных детерминированных сигналов типа синусоиды. При этом каждый элементарный сигнал характеризуется своей амплитудой,
определяемой формулой (3.13), и частотой - щ . Графически это
можно изобразить так, как показано на рис. 3.3. Расстояние между со- 2
седними частотами гармоник по оси частот равно
Следует отметить, что приведенным выше условиям Дирихле удовлетворяют все физически осуществимые сигналы. Поэтому при представлении периодических сигналов в виде рядов Фурье эти усло
вия в практике не приходится специально оговаривать. |
|
||
В тех случаях, когда сиг |
Амплитуда |
|
|
нал представляет собой фун |
Сэ |
С. |
с» |
кцию, четную относительно |
|||
t, т.е. s{t) = .?(-/), в тригоно |
с, |
|
|
метрической записи остают |
|
|
|
ся только косинусоидальные |
|
|
|
члены, так как коэффициенты |
0)1 Ш2 Шз |
0)4 |
0)* |
Ьп в соответствии с (3.12) об |
Рис. 3.3. Коэффициенты ряда Ф урье |
||
|
ращаются в нуль. Для нечет-
ной относительно / функции s(t), наоборот, в нуль обращаются коэф фициенты ап(3.11), и ряд состоит только из синусоидальных членов.
Таким образом, структура частотного спектра периодического сигнала полностью определяется двумя характеристиками - амплитудной и фазо вой, т.е. модулем и аргументом комплексной амплитуды [(3.13) и (3.14)].
Наглядное представление о «ширине» спектра и относительной величине отдельных его составляющих дает графическое изображе ние спектра (см. рис. 3.3). Здесь по оси ординат отложены модули ам плитуд, по оси абсцисс - частоты гармоник.
Спектр периодической функции состоит из отдельных «линий», соответствующих дискретным частотам: 0, со,, 2оо,, ..., жо,. Отсюда и название - линейчатый, или дискретный, спектр.
Существует очень важное понятие —практическая ширина спектра сигнала. Интуитивно ясно, что если полоса пропускания какого-либо уст ройства недостаточно широкая, чтобы пропустить все гармоники, сущест
венно влияющие на форму сигнала, то сигнал на выходе этого устройства исказится. Таким образом, можно сказать, что ширина полосы пропуска ния устройства не должна быть уже ширины спектра сигнала.
Существует несколько критериев для определения практической ширины спектра сигнала. Например, ширину спектра можно опреде лять как область частот, в пределах которой сосредоточена основная энергия сигнала (например, 95 %). Можно отбрасывать все гармоники с амплитудами, меньшими 1 % максимальной амплитуды в спектре, тогда частоты оставшихся гармоник и определят ширину спектра сигнала.
Однако независимо от критерия, по которому определяют ширину спектра сигнала, можно выделить такие общие для всех сигналов законо мерности: чем круче фронт сигнала, чей короче импульсы и че,ч больше пауза между импульсами, тем шире во всех этих случаях спектр сигнала, т.е. тем медленнееубывают амплитуды гармоник с ростом их номера.
Хотя условия одновременного ограничения длительности и полосы частот не могут быть выполнены в точности, однако можно ограничить спектр полосой F и иметь малые значения сигнала вне интервала Т.
Значение рядов Фурье в современной технике очень велико. Ос нованный на формулах (3.11 и (3.12) гармонический анализ сложных периодических сигналов в сочетании с принципом наложения (супер позиции) представляет собой эффективное средство для изучения вли яния линейных систем на прохождение сигналов.
Если на входе линейной системы, характеристики которой извест ны, существует сигнал e(t) (электродвижущая сила), то для нахождения выходного сигнала достаточно учесть амплитудные и фазовые измене ния, претерпеваемые каждой из гармонических составляющих сигнала при прохождении через рассматриваемую систему. Условие линейнос ти системы позволяет рассматривать прохождение каждой из гармоник сигнала независимо от всех остальных гармоник.
С пектры непериодических сигналов. В реальных системах пе редачи всегда действуют непериодические сигналы, так как все сигна лы имеют конечную длительность.
Непериодический сигнал можно рассматривать как периодический с периодом Т —*оо. При этом разность частот между соседними гармоника ми стремится к нулю. Спектр становится сплошным, амплитуды - беско нечно малыми. При Т -* со частота со, превращается в dco, «со, - в текущую частоту со, а операция суммирования - в операцию интегрирования.
Если функция x(t) не ограничена во времени, удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном интервале и дополнительно удовлетворяет условию
то
1 К Ф < °°> |
(3.17) |
—оо
т.е. интеграл (3.19) сходится, то ее можно представить следующим ин тегральным выражением:
s (г) = — Jeym'd(o J s (/)е '“'d/, |
(3.18) |
называемым интегралом Фурье.
Внутренний интеграл, являющийся функцией ю, обозначим
Sifsi) = | s (t)s rJa'& t |
( 3 1 9 ) |
-СО
После подстановки (3.19) в выражение (3.18) получаем
s(t) = j - J 5,(co)e-/“'dco |
(3.20) |
—00
Выражения (3.19) и (3.20) представляют собой прямое и обратное преобразования Фурье. S(со) называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции s(f). Выражение (3.20) пред ставляет собой непериодическую функцию в виде суммы (интеграла) гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудами.
Из анализа преобразований Фурье вытекает следующее важное поло жение: огибающая сплошного спектра (модуль спектральной плотности) непериодической функции и огибающая линейчатого спектра периодичес кой функции (полученной из непериодической nytneM продолжения ее с пе риодом Т) совпадают по форме и отличаются только масштабом.
Поскольку спектральная характеристика - комплексная величина, то ее можно представить в виде
S(a>) = Л(со) - /8(со) = 5(со)е-у><м) |
(3.21) |
где Л(со) и В(а>) - соответственно действительная и мнимая части спектральной плотности; 5(ю) и \|/(оо) - амплитудно-частотная (АЧХ) и фазо-частотная (ФЧХ) характеристики спектральной плотности.
Непосредственно из формулы (3.19) вытекают следующие выра жения для Л(со) и 5(ш):
Л(ю) = |
Js(/) cos со/d/, |
(3.22) |
B(<£>) = |
со* |
|
Ji(0 sin co/d/. |
(3.23) |
|
Очевидно также, что модуль и фаза спектральной плотности опре |
||
деляются выражениями: |
|
|
S(co) = 7И(со»2 + [Д(ш)]2, |
(3.24) |
|
vp(co) = arctg-В((й) |
(3.25) |
|
|
Л(со) |
Как и в случае ряда Фурье, модуль спектральной плотности есть функция четная, а фаза - нечетная относительно частоты со.
Итак, структура спектра непериодического сигнала полностью определяется функциями частоты S(co) (спектром амплитуд) и <р(со) (спектром фаз).
3.3. Случайный процесс как модель реального сигнала
Рассмотренные математические модели детерминированных сиг налов являлись известными функциями времени. Их использование позволяет успешно решать задачи, связанные с определением реакций конкретных систем на заданные входные сигналы. Случайные состав ляющие, всегда имеющие место в реальном входном сигнале, считают при этом пренебрежимо малыми и не принимают во внимание.
Однако единственная точно определенная во времени функция не может служить математической моделью сигнала при передаче и пре образовании информации. Поскольку получение информации связано с устранением априорной неопределенности исходных состояний, од нозначная функция времени только тогда будет нести информацию, когда она с определенной вероятностью выбрана из множества воз можных функций. Поэтому в качестве моделей сигнала используется случайный процесс. Каждая выбранная детерминированная функция рассматривается как реализация этого случайного процесса.
Необходимость применения статистических методов исследова ния диктуется и тем, что в большинстве практически важных случаев пренебрежение воздействием помехи в процессах передачи и преоб разования информации недопустимо. Считается, что воздействие по