книги / Методы обеспечения надежности изделий машиностроения
..pdfВероятность безотказной работы такой системы в течение
заданной наработки (0, t) равна |
|
|
|
|
P(t) = П Pt {t) = ехрГ - X |
J \ (0dЛ , |
(2.22) |
||
1 |
L i=i о |
J |
|
|
где Pi(t) — вероятность |
безотказной |
работы |
/-го |
элемента; |
Xi(t) — интенсивность отказов /-го элемента; п — число элементов в системе.
При постоянной интенсивности отказов |
|
|||
|
/>,.(/) = |
е х р [ - У ] . |
(2.23) |
|
Интенсивность отказов системы |
|
|||
|
|
к .= X у |
(2.24)- |
|
|
|
|
1= 1 |
|
Условие |
стохастического |
подобия P(/) = idem |
сравниваемых |
|
двух систем |
(проектируемой |
и аналога) может |
быть записано |
|
в виде |
|
|
|
|
|
Рх { h ) = P ^ \ |
|
||
В случае, когда интенсивности отказов зависят от времени, |
||||
критерий подобия имеет вид |
|
|
||
|
п |
/ |
|
(2.25) |
|
£ 5 |
JL, (/)d/ = idem. |
||
|
/=1 о |
|
|
|
При постоянных интенсивностях отказов |
|
|||
|
|
п |
|
(2.26) |
|
£ у = idem. |
|||
|
/=1 |
|
|
|
Если /1 = |
/г» т. е. / = idem, |
то |
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
^ |
А,— idem. |
(2.27) |
|
|
i=i |
|
|
Чем больше последовательно соединенных элементов входит в систему, тем надежность системы ниже. Поэтому при после довательном соединении элементов для получения высокой на дежности системы нужно или уменьшить до минимума число элементов, или увеличить надежность каждого из них.
Параллельной системой называется система, состоящая из п элементов; она построена таким образом, что ее отказ проис
41
ходит лишь в случае отказа всех элементов, т. е. система исправ на, если исправен хотя бы один элемент. Такое соединение часто называют резервированием. В большинстве случаев резервиро вание оправдывает себя, несмотря на увеличение стоимости. При конструировании технических систем в зависимости от выпол няемой системой задачи применяют «горячее» или «холодное» резервирование, а также общее или поэлементное (раздельное) резервирование.
Горячее резервирование применяют тогда, когда не допус кается перерыва времени на переключение отказавшего эле мента на резервный с целью выполнения задачи в установлен ное время.
Холодное резервирование применяют тогда, когда требуется увеличение ресурса работы элемента и допускается время на переключение отказавшего элемента на резервный.
Структурная схема надежности при общем резервировании представлена на рис. 2.2.
При общем резервировании |
вероятность безотказной работы |
|
/ >( 0=1 - |
П [1 - Я ,(0]. |
(2.28) |
|
/= 1 |
|
где P{t) — вероятность безотказной работы /-го элемента в те чение заданной наработки (0, /); п — число параллельно соеди ненных элементов.
Для показательного распределения наработки до отказа при общем резервировании
Р (0 = 1 - П [1 - ехр ( - у ) ] , /= 1
где Xi — интенсивность отказов /-го элемента.
Для высоконадежных систем, когда А,,/<С1, имеем е х р (-М ) » 1— у .
(2.29)
(2.30)
Рис. 2.2. Структурная схема надежности си стемы при общем ре зервировании
42
Тогда выражение (2.29) можно записать в виде |
|
Р ( 0 « 1 — П у . |
(2.31) |
i= 1 |
|
Отсюда критерий стохастического подобия систем с общим ре зервированием
|
|
п |
|
(2.32) |
|
|
П \ t = idem. |
|
|
|
i=i |
|
|
|
В случае, если / = idem и п = idem, |
|
|
||
|
|
п |
|
(2.33) |
|
|
П X,:— idem. |
|
|
|
|
1= 1 |
|
|
При раздельном |
резервировании (рис. |
2.3) вероятность без |
||
отказной работы системы определится по формуле |
|
|||
P(t) = П { 1 — П [1 — e x p ( - y ) i |
(2.34) |
|||
Для высоконадежных систем (hjt<^\) выражение (2.34) |
||||
принимает вид |
|
|
|
|
Р (0» |
n { l — П ( М ) } « 1 - |
f П у . |
(2.35) |
|
|
/= 1 |
'=1 |
/= 1<=1 |
|
Отсюда критерий стохастического подобия с раздельным |
||||
резервированием |
|
|
|
|
|
У |
П XЛ= idem. |
|
(2.36) |
|
/=11=1 |
|
|
В случае одинаковой кратности резервирования по участ кам, когда rij = n = idem, а также при / = idem выражение (2.36) имеет вид
г Рц Ш ~| г рп М |
-| г РЧШ |
~1 г Р<” Ш н |
|
Н рг, м |
Рггм |
|
|
1РщМ I |
pnz(t) |
Pnj(t) |
Pnm(i) |
Рис. 2.3. Структурная схема надежности системы с раз дельным резервированием
43
? П A.;i = idem. |
(2.37) |
Необходимо отметить, что многие технические системы име ют такую структуру соединения элементов, которая не может быть сведена к параллельно-последовательной схеме. Так, на пример, часто встречаются схемы «два из трех» либо мос-тико-
вая схема, используемые в системе управления. |
вычисляется |
||||
Надежность |
схемы |
соединения |
«два |
из трех» |
|
по формуле |
|
|
|
|
|
Р2_з(0= |
Р3 (t) + |
3F*{i)[\ -P (t)] = |
3/* (/) - |
2Р3(/), (2.38) |
|
где P{t) — вероятность |
безотказной |
работы каждого элемента |
в течение заданной наработки (0, t).
Для последовательного распределения наработки до отказа
/>2_3(0 = |
Зехр(—2Xt) - 2ехр ( |
ЗА,/), |
(2.39) |
где X— интенсивность |
отказов элементов |
Постоянна |
и одина |
кова для всех элементов.
Отсюда критерий стохастического подобия системы с резер
вированием 2 из 3 |
|
|
Pi- 3 (0 = |
idem. |
|
В случае, если / = idem, |
|
|
ЗХ2 _ 2 ^ 3 = |
idem. |
(2.40) |
Надежность мостиковой схемы находят из зависимости |
||
P (t)= Р*(0 + 5q (О РА(0 + 8<72 (0 Я8 (0 + |
2q3 (t) Р2 (/), (2.41) |
|
где P(t) — вероятность безотказной работы |
каждого элемента |
одинакова; q (t)= l—P(t)— вероятность отказа элемента.
В принципе произвольная схема, состоящая из п элементов, может находиться в 2Лразличных состояниях:
Но — все элементы работоспособны; Я, — отказал i элемент, остальные работоспособны; Нц — отказали i и / элементы, ос тальные работоспособны; //i. 2 ....п — отказали все элементы.
Если каким-либо образом определен критерий отказа систе мы, то, применив его к каждому из состояний, все множество состояний можно разделить на два подмножества: множество состояний работоспособности системы и множество состояний отказа системы.
В теории надежности часто используются системы с частич ным резервированием, когда работоспособность системы опреде ляется при /i-исправных элементах из п.
Расчетная формула выглядит так:
44
|
|
p k = C j p y - * , |
(2.42) |
где |
Pk — вероятность |
исправной работы k элементов; |
Ckn = |
= |
k\(n'_ky 5 P — вероятность исправной работы одного элемен |
||
та. |
Таким образом, безотказная работа системы эквивалентна |
||
|
|||
событию, состоящему |
в том, что исправны, по крайней мере, |
||
/ элементов. При /= 1 |
система будет полностью параллельной, |
а в остальных случаях — частично параллельной. В этом случае надежность системы определится по формуле
p‘ = t |
|
<2-43> |
k = j |
|
|
Отсюда стохастический критерий подобия |
|
|
Pc = idem. |
|
(2.44) |
Пример 2.2. Техническая система состоит из ряда элементов, |
||
которые в структурной схеме надежности |
(рис. 2.4) |
имеют сме |
шанное соединение. |
|
|
Определить вероятность безотказной работы системы за |
||
заданное время t. |
используем |
расчетные |
Р е ш е н и е . Для оценки надежности |
формулы при последовательно-параллельном соединении элемен
тов в схеме «два из трех»: |
~ |
|
a |
&■ |
|
Pc= P tP2[l - (1 - P 3f ] b - |
(1 - ^ ) 2] И + |
- P s ) ] = |
= 0,95 • 0,9 (1 - 0,23)(1 - |
0,12)[0,83+ 3 • 0,82 • 0,2] = 0,75. |
Рис. 2.4. Структурная схема надежности системы к при меру 2.2
45
2.6. АНАЛИЗ НАДЕЖНОСТИ УЗЛОВ МЕТАЛЛОКОНСТРУКЦИЙ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ
Из практики работоспособности узлов металлоконст рукций известно, что распределение усилия, а также распреде ления прочности подчиняются нормальному закону распределения с соответствующими плотностями вероятности. Целью анализа является определение критического напряжения, при котором запас прочности оказывается минимальным. Пусть распределе ние усилия подчиняется нормальному закону с плотностью веро
ятности f I(JC), математическим |
ожиданием |
усилия т\ и средним |
квадратическим отклонением о |
|
нормальному закону |
Распределение прочности подчиняется |
||
с плотностью вероятности /г(*) |
(рис. 2.5), |
математическим ожи |
данием прочности п%2 и средним квадратическим отклонением 0 2 . Функция надежности такой системы определяется выражени
ем вида
где Ф(г) — нормированная нормальная функция распределения. В практике при анализе узлов металлоконструкций функция
надежности определяется, исходя из величины запаса прочно
сти: |
|
Р = Ф (А), |
(2.46) |
где h — коэффициент запаса прочности.
Расчет надежности металлоконструкций проводят для самых критических сечений, где запас прочности минимальный, а затем надежность узла определяется как произведение надежности критических сечений, т. е. как последовательная схема соедине-
Рис. 2.5. Кривые распределения плотности
вероятностей усилия ( / 1) и прочности
<м
46
ний. При коэффициенте запаса прочности h > 1,4 надежность сечения при таком запасе близка к единице, т. е. /, = Ф(1,4)« 1,0. Разрушение происходит тогда, когда действующая нагрузка превышает допустимую по прочности хотя бы один раз.
В табл. 2.1 приведены формулы расчета вероятности неразрушения при различных сочетаниях законов распределения прочности и нагрузки [9].
2.1. Формулы для расчета вероятности неразрушення
Закон распределения |
|
|
и его параметры |
Формулы для расчета вероятности |
|
для |
ДЛЯ |
неразрушення |
нагрузки |
прочности |
|
Норм,альный
5, а | |
Я, |
|
Экспоненцнальный |
||
* . - Т |
kR = -L- |
|
* |
R |
|
Экспоненци |
Нормальный |
|
альный |
|
|
Xs = ~s |
я, |
о5 |
|
|
Нормальный Экспоненци альный
S, <4
я
Логарифмически норма.!тьный
М [In5], |
М{1п£], |
0?nS СТ1пR
V У<4 + °s /
р _ К |
_ |
^ |
R + |
5 |
+ К |
Р - 1 - ♦ ( . * ) |
“ " ( s ' |
* ч ) х |
4 — ( - ' " . Г * ) !
р = ф ( ~ ^ ) |
- |
ехр( ^ |
т г ~ §к* ) х |
х ( — |
( |
- 5" |
Г ) ] |
оо
Р = J (p(— z)dz, где
Z
М[1пЯ] - М [InS]
+afn5
47
Закон распределения и его параметры
для |
для |
нагрузки |
прочности |
Вейбулла трехпарам втрический
а5, bs, S 0 aRt bR, R 0
Нормальный Вейбулла
S, о| |
aRl bRt R0 |
Гaiима
Xs, as |
V a R |
Продолжение табл. 2.1
Формулы для расчета вероятности неразрушения
P ~ l - j | e ' e x p [ - £ * '' * « +
|
|
|
|
/ |
R - R o \ ° * |
|
|
|
|
|
™ |
У |
= |
{ |
а , |
) |
|
|
|
Р - | |
ф ( * • - * ) |
|
л/2п \ |
|
|
X |
|||
|
\ |
°s |
/ |
|
|
as |
/ |
||
Х ^ еХр{ |
^ |
|
|
2 [ ( |
as |
) » |
+ |
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R° |
5 l |
\ |
d</. |
где |
$ |
|
*о |
||
Н----- :------- |
J |
| |
1/ ------------5- |
||||||
|
<rs |
J |
|
|
aR |
- |
R 0 |
||
|
|
Г (a* + |
a s) |
B r . |
|
|
v |
||
где r = \ s /XR\ |
г К ) г ( « д ) |
i + г (а*’ |
“s)’ |
||||||
|
|
— неполная бета-функция, |
|||||||
[ B r / ( \ - \ - r ) ] ( a Rt |
a s) |
усечение которой проводится при г/( 1 +г)
Гамма |
Экспоненци |
|
-S |
|
альный |
|
|
Х5, as |
^R |
Р - ( |
+ 0 |
|
|
Экспоненци Гамма альный
XRt a R
( x , + J
48
В тех случаях, когда не представляется возможным найти распределение совокупного параметра прочности и (или) сово купного параметра нагрузки, для расчета вероятности неразрушения используется статистический метод моделирования Мон те — Карло.
Для расчета вероятности неразрушения методом Монте — Карло используются те же расчетные формулы, что и для детер минированного расчета. В расчетную формулу подставляют произвольные значения параметров и расчетповторяют необхо димое число раз. После каждого опыта полученный результат сравнивают с допустимым значением параметра. При этом воз можны два случая: u = R —S ^ 0 — условие сохранения работо способности выполняется;
u = R — S < 0 — условие сохранения работоспособности не выполняется.
Расчет по серии опытов завершается определением вероят ности неразрушения конструкции по критерию статистической
прочности |
|
Р(и>0) = ^ |
(2.47) |
где m — число случаев в серии испытаний, когда |
0; п — об |
щее число испытаний в серии. |
|
При значениях Р, не удовлетворяющих требованиям, кон |
|
структор определяет, какой (какие) параметр |
(параметры) |
в расчетной формуле требуется откорректировать. |
|
Таким образом, расчет на статическую прочность проводят обычно, определяя вероятность неразрушения, не зависящую от наработки, и если получена достаточно высокая вероятность неразрушения, то это гарантирует работоспособность конструк ции в течение заданного времени.
2.7. КОНСТРУКТИВНЫЕ СПОСОБЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
На этапе разработки конструкторской документации с целью обеспечения надежности создаваемой сложной техни ческой системы можно выделить следующие основные методы проектирования:
выбор оптимальных конструктивных решений, узлов, меха низмов, систем, обеспечивающих нормальные рабочие процессы; выбор наиболее облегченного режима работы, увеличение допус тимых отклонений параметров, при которых сохраняется работо способность узла или механизма; введение элементов защиты, предохраняющих систему от перегрузок и разрушений (напри мер, введение обгонных муфт, плавких предохранителей, центра лизованных смазочных систем с терморегулирующими устрой ствами для повышения надежности работы машин при низких
49
температурах); проектирование систем таким образом, чтобы их работоспособность обеспечивалась при достаточно больших отклонениях выходных параметров, отдельных элементов и узлов (например, упругие муфты обеспечивают работоспособность соединяемых узлов при большем отклонении от соосности, чем жесткие муфты);
использование высоконадежных элементов и узлов, прове ренных для заданных режимов работы;
унификация и стандартизация деталей, узлов и механизмов (приводит к сокращению стоимости и повышению надежности);
использование материалов с высокими и стабильными ха рактеристиками, что дает существенную экономию, так как раз меры деталей значительно сокращаются и, следовательно, со кращаются размеры всей конструкции;
использование материалов с пониженной чувствительностью к концентрации напряжений; для деталей, работающих на трение, применение материалов с высокой износостойкостью, что дости гается высокой твердостью материала. Для антифрикционных материалов очень важны прирабатываемость, смачиваемость смазочных материалов, возможность самосмазывания;
применение методов упрочнения поверхностного слоя дета лей, которые позволяют существенно повысить износостойкость, коррозионную стойкость, жаропрочность и т. д. С целью повы шения усталостной прочности и износостойкости используется пластическое деформирование в виде дробеструйной обработки, обкатки шариками и роликами, гидрополирования, алмазного выглаживания, калибрование шариком; химико-термическая об работка в виде цементации, азотирования; поверхностная за калка; электроискровое и электродуговое упрочнение;
для защиты от коррозии — химико-термическая обработка в виде азотирования, силицирования, сульфидирования; защит ное гальваническое покрытие (цинковое, никелевое, кадмиевое); лакокрасочные покрытия, пластмассовые покрытия, диффузион ная металлизация;
применение в металлоконструкциях оптимальной жесткости; защита элементов и узлов изделия от воздействия вибра
ций, ударных нагрузок, запыленности, влажности, низких и вы соких температур, биологических вредителей и т. д.;
обеспечение максимальной взаимозаменяемости деталей, узлов, механизмов; максимальное сокращение регулировочной работы, наличие в конструкции фиксирующих элементов, обес печивающих правильную установку деталей и узлов при сборке; оптимальная компоновка сборочных единиц изделия; обес печение доступа и удобства осмотра узлов и механизмов, нуж дающихся в периодических проверках и регулировках; рацио нальная компоновка улучшает ремонтопригодность, упрощает
обслуживание;
50