книги / Принципы и практика решения задач по общей физике. Электромагнетизм
.pdfношений (1)-(3). Целесообразность применения того или иного способа зависит от конкретной постановки задачи и от характера ее симметрии.
Для неоднородного участка цепи, на котором кроме ку лоновских сил действуют и сторонние силы, закон Ома запи сывают в виде
//? = ф1-cp2 +W,
где <р,-(р2=Д(р - разность потенциалов, % - электродви
жущая сила (ЭДС).
Расчет разветвленных цепей значительно упрощается, если использовать правила Кирхгофа.
Первое правило: £ /* =0 - алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю. Это уравнение является следствием закона сохранения заряда.
Второе правило отражает закон сохранения энергии применительно к разветвленным цепям: = X ^ - а л
гебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого контура на их сопротив ление равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре. При применении этих правил необходимо следить, чтобы ни одно из уравнений не являлось следствием других.
2.1.1. Опыт Толмена и Стюарта. Для определения удельного заряда носителей тока в металлах был проделан следующий опыт. Катушка радиуса г , содержащая I метров тонкого медного провода с полным сопротивлением R , при водилась во вращение с угловой скоростью to вокруг своей
оси. Затем катушка резко тормозилась, и с помощью балли стического гальванометра, подключенного через скользящие контакты, измерялся заряд q , протекавший в цепи за время торможения. Найти удельный заряд носителей тока в меди в условиях опыта при г = 25 см, / = 500 м, со = 300 рад/с,
R =21 Ом и g = 10нКл (удельный заряд равен отношению за
ряда носителя тока е к его массе т ).
Будем полагать, что носители тока в металлах достаточ но свободны, и при торможении проводника с ускорением а они приобретают относительно проводника ускорение - а . Такое же ускорение им можно сообщить в неподвижном проводнике длиной I , если создать в нем электрическое поле
с напряженностью |
Е = -m ale |
Для этого необходимо при |
||||||
ложить к концам проводника разность потенциалов |
||||||||
|
Ф1-Ф2 = |
2(BJT |
2(т<* ,7 |
mal |
||||
|
] Edl |
= -J — r d l = |
---- г - |
|||||
|
|
|
1 |
|
i |
е |
|
е |
В этом |
случае |
по |
проводнику |
потечет ток силы |
||||
/ = (ф, -ф 2)/Л . Тогда за время |
dt |
при изменении скорости |
||||||
проводника на dv через его сечение пройдет заряд |
||||||||
|
, |
,, |
|
mal |
, |
ml |
, |
|
|
dq |
= Idt = |
— — dt = — — d v, |
|||||
|
|
|
|
e'R |
|
e'R |
||
а за все время торможения |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Vo |
|
е |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где v0 = tor - |
начальная |
скорость |
проводника. Откуда на |
|||||
ходим |
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
_ /сот |
|
|
тqR
После подстановки числовых данных получаем e lm = = 1,8 10й Кл/кг, что соответствует удельному заряду элек трона. Наше первоначальное предположение о том, что носи тели тока в металлах (электроны) свободны, было подтвер ждено экспериментально. Существование в металлах свобод
ных электронов является чисто квантовым эффектом и связа но с тем, что при образовании кристаллической решетки от атомов отщепляются слабее всего связанные (валентные) электроны, которые становятся «коллективной» собственно стью всего металла.
2.1.2. Соединение проводников.
1. Найти сопротивление проволочного каркаса, имею щего форму куба (рис. 2.1), при включении его между точка ми 1-7. Сопротивление каждого ребра каркаса равно R .
|
В данной схеме мы не видим ни |
|
6 |
7 |
|||||
параллельного, |
ни |
последовательного |
|
||||||
|
|
|
|||||||
соединения |
проводников. |
Конечно, |
|
|
|
||||
есть способ |
расчета |
сопротивления |
|
|
|
||||
любого соединения проводников - ис |
|
|
|
||||||
пользование |
правил |
Кирхгофа. Но |
1 |
4 |
|
||||
в |
данном случае |
ситуация гораздо |
|
||||||
|
Рис. 2.1 |
|
|||||||
проще, чем кажется, если учесть сим |
|
|
|||||||
|
|
|
|||||||
метрию схемы. Если к точкам 1 и 7 |
|
|
|
||||||
подключить некоторое напряжение, то |
|
|
|
||||||
из |
симметрии |
схемы |
относительно |
|
|
|
|||
этих точек сразу видно, что потенциа |
|
|
|
||||||
лы точек 2, 4 и 5 равны между собой. |
|
|
|
||||||
И если точки 2, 4, 5 соединить в одну, |
|
|
|
||||||
то |
это никак |
|
не |
скажется |
на распределении |
потенциалов |
и токов в схеме. Значит, и ее сопротивление останется тем же. То же самое можно сказать и о точках 3, 6, 8. Но теперь мы получаем уже знакомое нам соединение (рис. 2.2) и его сопротивление
о |
R |
R |
R |
/?17 |
= — |
I--------1— |
3 |
17 |
3 |
6 |
Найдите самостоятельно сопротивление каркаса между точками 1-4 и 1-3.
Указание. Учесть, что точки одинакового потенциала можно не только соединять, но и разъединять. (Ответ:
/?14=7/?/12, /?13 = 3/?/4 ) |
|
|
||
Ri |
Ri |
/г. |
2. На рис. 2.3 |
представлена |
бесконечная цепь, |
образованная |
|||
|
я2 П |
я 2П |
повторением одного и того же зве |
|
я2П |
на - сопротивлений |
R{ и R2. Най |
ти ее сопротивление между точка ми А и В.
Рис. 2.3
В данном случае разумно вос пользоваться тем, что цепочка образована бесконечным по вторением одно и того же звена, т.е. обладает трансляцион ной симметрией. И если это звено удалить, то оставшаяся часть (после вертикальной штриховой линии) ничем не будет
отличаться от исходной цепочки, обладающей искомым со |
|||
противлением R . Таким образом, всю бесконечную цепочку |
|||
R 1 |
можно представить как соединение |
||
звена из двух сопротивлений Ry, R2 |
|||
|
|||
л , |
и |
искомого сопротивления R |
|
(рис. 2.4), причем RAB = R . Сопро |
|||
в |
|||
тивление RAB нетрудно найти: |
|||
Рис. 2.4 |
|
RR2 |
|
|
|
RAB —R\ + R + Л, |
|
Приравнивая |
RAB и R , приходим к уравнению относи |
||
тельно R: |
|
RR, |
|
|
|
||
|
/? = Л,+ |
||
|
|
R + й, |
|
Его решение имеет вид |
|
||
|
2 |
1 + .1 + 4 ^ - |
|
|
R1 J |
3. Имеется бесконечная сетка, состоящая из ячеек в виде правильных шестиугольников (рис. 2.5). Определить ее со противление между узлами А и В , ес ли сопротивление каждой стороны
ячейки равно R^.
Воспользоваться тем же приемом, что и в предыдущем пункте, нам не удастся, так как удаление любого эле мента бесконечной двухмерной сетки
нарушает трансляционную симметрию. Поэтому воспользу емся законом Ома, который фактически и является определе нием сопротивления проводника. Для этого подключим мыс ленно к точкам А и В напряжение U Тогда в подводящих проводах потечет ток / =U / R , где R - исходное сопротив ление всей сетки. Этот ток в силу симметрии распределяется одинаково по трем направлениям. Значит, по проводнику АВ течет «прямой» ток И З. Но через данный проводник к уз лу В течет не только «прямой» ток от узла А . Сюда же по ступают токи и от всех остальных элементов сетки. Опять же в силу симметрии токи, поступающие к узлу В от всех уда ленных элементов, должны быть одинаковыми во всех на
правлениях и равными |
1/3. |
Таким образом, |
полный ток, |
прошедший от узла А к узлу |
В , будет равен |
21 /3 . В силу |
|
закона Ома можно записать |
|
|
|
U = /R |
и |
U = -IR 0 . |
|
Откуда сразу находим
4. Фигура, отображенная на рис. 2.6, сделана из прово локи постоянного сечения. Число вписанных друг в друга правильных треугольников очень велико. Сопротивление
стороны самого большого треугольника /?,. Найти сопротив
ление фигуры между точками А и В .
£Один из вариантов решения этой за-
Адачи мог быть следующим. Вначале Ha-
д '/ |
\ |
|
ходим сопротивление только одного тре- |
|
/ |
\ / |
\ |
угольника |
АВС . Затем вписываем в него |
A |
cf |
|
В еще один |
треугольник А'В'С' находим |
Рис. 2.6 |
|
следующее приближение и т.д. Это до |
||
|
|
|
вольно утомительный путь. Поэтому вос |
пользуемся симметрией схемы и тем, что каждый дополни тельно вписанный треугольник является подобным преды дущему, причем его сторона каждый раз уменьшается в 2 ра за. Пусть все содержимое внутри треугольника А'В'С' имеет
между точками А' и В' сопротивление Rо. Это сопротивле
ние нам не известно, но, очевидно, что оно в 2 раза меньше сопротивления исходного треугольника АВС со всем его со держимым (по своим линейным размерам треугольник АВС
|
в 2 раза |
больше |
треугольника А'В'С'). |
||
В' |
Заменим |
теперь |
треугольник |
А'В'С' со |
|
|
всем его содержимым эквивалентным со |
||||
|
единением трех |
резисторов сопротивле |
|||
|
нием R (рис. 2.7). Нетрудно убедиться, |
||||
RAR —RO |
что R = 3R0/2 . Таким образом, мы при |
||||
ходим к представленной на рис. 2.8 до- |
|||||
Рис 2 7 |
|||||
вольно простои |
схеме двух |
вписанных |
|||
•' |
|||||
друг в друга треугольников, причем RAB=2R0, |
R = 3R0/2 , |
а значение Л, задано. Осталось только найти сопротивление двух вписанных друг в друга треугольников. Так как в силу симметрии потенциалы точек С,С' и С" одинаковы, то эти точки можно объединить в одну. И тогда схема, отображен ная на рис. 2.8, может быть представлена как последователь ное соединение двух одинаковых участков (рис. 2.9). Из
рис. 2.9, используя правила расчета сопротивления парал лельного и последовательного соединений проводников, на ходим
( R.R/6 |
+R./2 |
f t /2 |
-----1-------- |
||
ftt/2 + ft/3 |
1 |
1 |
RAC |
ft,ft/6 |
|
+ ft |
|
ft,/2 + ft/3 |
Учитывая, что R ^ - 2R$ = 2RaC и ft = 3RQ/2 , для неиз вестного сопротивления R^ получаем квадратное уравнение
3 ^ 2 + ft,J^-ft,2/2 = 0.
Его решение имеет вид RQ = R ^ J l - l j / 6 . Таким обра зом, окончательно получаем
RAB=2R0 = ^ - ( J j - l ) .
2.13. Сопротивление цилиндрической банки. К цен трам противоположных торцов тонкостенной цилиндриче ской банки диаметром D и высотой h припаяны провода диаметром d (рис. 2.10). Определить сопротивление банки, если она сделана из фольги толщиной 5 « d с удельным со противлением р.
Сопротивление проводников, во обще говоря, зависит не только от их материала и геометрии, но и от харак тера пространственного распределе ния в них токов. Поэтому прежде чем находить сопротивление, необходимо выяснить, каково пространственное распределение токов. Для проводника в виде тонкой проволоки этот вопрос не возникает. В нашем же случае си туация не столь простая. Спасает то, что по условию толщина фольги го
раздо меньше других размеров проводника. Это означает, что по основанию банки токи направлены радиально, а по ци линдрической образующей банки токи текут вдоль оси бан ки. Таким образом, полное сопротивление можно предста вить в виде
« - 2 ЙОСН + «бок »
где Лб,,,, - сопротивление боковой образующей банки; Яжн - сопротивление одного основания. Для расчета /?бС1К в соот ветствии с формулой R =pl/S можно сразу записать
h
«бок —Р nDb
Сложнее дело обстоит с сопротивлением оснований. Ра диальное течение тока нарушается в области перехода от подводящих проводов к основанию, но в силу условия b « d плотность тока здесь мала, и сопротивлением этой области можно пренебречь. Разобьем каждое основание на тонкие цилиндрические слои радиусом г и шириной dr. Тогда их сопротивление можно рассчитать как
о |
Т |
dr |
ж" |
1 |
Р2пгд’ |
и для сопротивления всей банки получаем
г, Р ( h |
, D |
/? = -*Ч — + 1п — |
|
яб V.D |
d , |
2.1.4. Сопротивление однородной среды. Найти сопро тивление однородной слабо проводящей среды, заполняю щей все пространство между двумя идеально проводящими оболочками произвольной формы. Удельное сопротивление среды р , диэлектрическая проницаемость Е, взаимная ем кость системы электродов-оболочек С
Воспользоваться, как и в предыдущей задаче, формулой R =p l/S мы сейчас не можем, так как неизвестна ни форма проводников, ни пространственное распределение токов. По этому обратимся к некоторым общим свойствам электриче ского поля. Подключим мысленно к электродам постоянную разность потенциалов U При этом проводники получают заряды +q и - q . В проводящей среде возникает движение зарядов, появляется некоторый ток. Так как разность потен циалов между проводниками поддерживается постоянной, то и токи в среде будут стационарными. При этом в каждой точке среды на место уходящих зарядов непрерывно посту пают такие же новые. Эти движущиеся заряды создают такое же кулоновское поле, что и неподвижные заряды той же конфигурации. Это означает, что электрическое поле стацио нарных токов является потенциальным, поверхности провод ников эквипотенциальны и конфигурация поля такая же, как и при отсутствии слабо проводящей среды. На этом, кстати, основано моделирование электростатических полей различ ной конфигурации при пропускании тока в слабо проводя щих средах.
Окружим один из проводников (например, с заря дом +q ) замкнутой поверхностью S , прилегающей к поверх
ности проводника. В силу теоремы Гаусса: DndS = q , где s
D„ —e0e^i _ индукция электрического поля вблизи провод ника; Еп - напряженность электрического поля. Так как за
ряд связан с емкостью системы проводников соотношени ем q = CU , то
|
е0б<^ EndS = CU |
(1) |
|
|
S |
|
|
Воспользуемся теперь связью плотности тока и напря |
|||
женностью |
электрического |
поля j = E /p . |
Проинтегрируем |
это соотношение по той же поверхности S : |
|
||
|
сf j d S = ^ E ndS |
|
|
|
s |
Ps |
|
Входящий сюда интеграл с[jdS есть просто полный ток |
|||
|
|
s |
|
между проводниками / , который в силу закона Ома равен |
|||
(J/R , где |
R - полное сопротивление среды. Тогда можно |
||
записать |
|
|
|
|
U E .JS =^ . |
(2) |
|
|
Р S |
К |
|
Сопоставляя выражения (1) и (2), находим
R __еоеР
С
Этот результат можно получить и из других соображе ний, не обращаясь к теореме Гаусса. По близким эквипотен циальным поверхностям любую область пространства, за полненную проводящим диэлектриком, можно разбить на