книги / Методы планирования экспериментов в области резания металлов и математической обработки результатов
..pdfЛ«Х ^„=(1 — 1 — 1+1)Х(1-—1—1+1) =
=l —i —i-4-i
-14 -14 -1 -1
i6
—i- i- i+ i—i l —i —l+ i
■^КпХ^куб |
(+ 1 1 1+ 1)X( |
3+1) ' |
|
= —1 + 1 + 1 — 1 |
|
|
|
3 - 3 |
- 3 + 3 |
80 |
|
- 3 + 3 |
+ 3 - 3 |
|
|
|
|
||
1— 1— 1 + 1 |
|
|
|
# к у б Х ^ = ( — 1 + 3 — 3 + 1 ) х ( — 3 — 1 + 1 + 3 ) =
=3—9 + 9 —3
1 - 3 + 3 - 1 |
SC2ij=400 |
|
- 1 + 3 - 3 + 1 |
||
|
||
- 3 + 9 —9+3 |
|
^кубХ^ко—(--1+3—3 + l)X (l 1 1+ *) —
= - 1 + 3 - 3 + 1
1 - 3 + 3 - 1
E C 2ij = 80
l —3+3—1 - 1 + 3 - 3 + 1
КкубХ^куб=(—1+3—3 + l)X (—1+3 -3+1) —
=1- a + 3 - 1
—3+ 9 —9+3 |
=400. |
||
3—9+ 9 —3 |
|||
|
|||
- 1 + 3 - 3 |
+ 1 |
|
|
Теперь можно |
подсчитать эффекты взаимодейст |
||
вии:
Я„Х/5„=9(46)+3(64)-3(79)-9(90)+3(144)+
+1(178)—1(189)—3(293) —3(202)—1(205)+1(289)+
+3(293)—9(248)—3(253) -|-3(340)+9(375)=862
о с |
_ |
(862)’ |
= 619,2 |
“ V |
' r |
l p |
|
R,XP„:---- 3(46)+3(64)+3(79)-3(90)-l(144)+
+1(178)+1(189)-1(293)+1(202)-1(205)-1(289)-|-
+ 1 (293)4-3(248)—3(253) -3(340) +3(375) =42
•SSR„XFk>= |
= 7,35 |
|
3 (80) |
Л,Х ^.,в= 3(46)-9(64)+9(79)-3(90)+1(144)-3(178Н -
+3 ( 189) - 1 (293) - 1 (202)4-3(205)—3(289) 4-1 (293) -
-3(248)4-9(253)—9(340)4-3(375)=—676
SS ^лхРкуб |
<-67.g)j = 380,8 |
3(400) |
^» Х ^ л= - 3(46)-1(64)+1(79)+3(90)+3(144)+
-f-l(176)—1(189) —3(879)-f-3(202)-f-l(205)—1(289)— —3(293)—3(248) - 1 (253)4-1 (340)4-3(375) = - 200
SS |
КквхРл |
(—200)3 = 166,7 |
|
3(80) |
|
^квХ^кв= И^6 )—1(64) —1(79)+1(90) —1(144)-J- |
||
4-1 (178)4*1(189)—1 (293) — 1 (202)-|-l (205)-j-1 (289) |
- |
|
— 1 (293)4-1(248)—1 (253)—1 (340) -|-1(375) = —48 |
|
|
SS ^KBXPKB |
<-48>! = 4 8 |
|
3(16) |
|
|
RmXFK,(i=— 1 (46)4-3(64) -3(79)4-1(90)4-1(144)—
-3(178)4-3(189)—1 (293)4-1(202) -3(205)4-3(289) - - 1 (293)- 1 (248)4-3(253) -3(340) +1 (375) = -9 0
SS |
^квХРкуб |
(-90)3 = 33,75 |
|
3(80) |
^кубХ^л= 3(46)4-1(64)-1(79)-3(90)-9(144)- —3(178) -ьЗ(189)4-9(293)4-9(202)4-3(205)-3(289)- —9(293)—3(248)—Г(253)4-1 (340)4-3(375) =624
ос* |
(624)а _QOAК |
Л.Л X F „„= - 1 (46)+1 (64)-|-l (79) - 1 (90)+3( 144) -
—3(178)—3(189)4-3(293)—3(202)+3 (205)+3(289) —
- 3(293) + 1 (248) - 1 (253) - 1 (340)+-1 (375) =244
5 5 R |
<2^ |
= 248 |
куiVOAPЛ |
3(80) |
|
R*y6Xf „ » = 1 (46) -3(64)+3(79) - 1 (90) - 3 ( 144)+
49(178)—9(189) + 3(293)+3(202)—9(205)+9(289)—
—3(293) -1(248)—3(340)4-1(375) +3(253)=698
SS |
RUV6XF|(V6 |
- в - = 406,7. |
|
3(400) |
Если сложить все суммы квадратов, относящиеся к каждому из этих взаимодействий с одной степенью своб.оды, то получим сумму квадратов' всех взаимо действий:
Ял XF |
=619,2, |
ДЛ X^KU=7,35, |
Яя XЕкуб=380,8, |
|
Якв Х^ 1Суб=33,75, |
RKB х Р л =166,7, |
RKa x F KB =48, |
||
RKy6XFn |
=324,5, |
ЯкубХЕка=248, |
ЯвубХ ^= 4 0 6 ,7 .. |
|
Сумма по всем R x F — 2235. |
|
|
||
Если в таблицу 58 внесем |
сумму квадратов для |
|||
всех (R x F )jj взаимодействий, |
то |
получим полный |
||
дисперсионный анализ для этого примера. |
||||
Из. вышеприведенных эффектов |
взаимодействий |
|||
видно, что имеется большой линейный эффект, а также: общий квадратический эффект изменения скорости резания.
Таким образом, методы, примененные в этой гла ве, молено легко распространить и на эксперименты с большим числом факторов в.случаях, когда один или более факторов рассматриваются на количествен ных уровнях. Если эксперимент спланирован таким образом, что количественные уровни определены друг от друга равными интервалами, то анализ упрощает ся в случае использования ортогональных полино мов [1 ].
§ 4. Факторные эксперименты типа Зп
Как и факторные эксперименты типа 2'\ экспери менты типа Зп представляют собой интересный част ный случай факторных экспериментов. Здесь рассма триваются п—факторов, каждый из которых может устанавливаться на трех уровнях. Таким образом, между уровнями каждого из этих факторов имеются две степени свободы. В факторных экспериментах 3" возможны количественные факторы и качественные, и если уровни этих факторов являются равностоя щими,-то для извлечения линейных и квадратических эффектов и проверки их на значимость можно исполь зовать методы, изложенные в § 3 настоящей главы.
Рассмотрим следующие часто встречающиеся ■случаи:
а) факторный эксперимент типа З2, б) факторный эксперимент типа З3.
а) Факторный эксперимент типа 3-
Такой эксперимент имеет место тогда, когда в эксперименте участвуют только два фактора, и причем для каждого из них выбираются три уровня. В итоге получаются 3x3 = 9 комбинаций условий.
Ввиду того, что каждый фактор может устанавли ваться на трех уровнях, то, следовательно, каждый фактор должен иметь нижний, основной и верхний уровни, которые можно обозначить как 0, 1, 2. Ма тематическая модель при этом имеет вид:
^ij ==tx“l"-^i_b |
(61) |
где i, y== 1 , 2 , 3 .
Чтобы ввести обозначения для комбинаций усло
вий, когда берутся три уровня факторов, рассмотрим фиг. 14.
Путем соответствующего выбора коэффициентов для этих комбинаций условий можно определить ли нейные и квадратические эффекты как фактора А, так и фактора В, а также их взаимодействия АЛХВЛ, А»ХВкв, АлХВкуЪ [1].
Допустим, исследуется температура резания, ко торая устанавливается при одновременном изменении скорости резания и подачи. Причем эти факторы в
114
etj |
02 |
12 |
22 |
|
^ 2 |
||||
|
|
|
||
I |
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
■8- |
,01 |
|
21 |
|
I |
|
м ________ ,J0_________ , 20
О |
2 ф а к т о р R |
Фиг. 14.
данном исследовании представляются на трех фикси рованных уровнях. Результаты факторного экспери мента типа З2, записанные в таблице 59, относятся к комбинациям условий, указанным в верхнем левом углу каждой ячейки. Результаты, приведенные в таб лице 59, заранее закодированы.
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
59 |
|
Фактор s |
|
|
Ф а к т о р |
v |
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
00 |
- 2 |
10 |
0 |
20 |
2 |
4 |
|
1 |
01 |
3 |
11 |
4 |
21 |
1 |
8 |
|
2 |
02 |
—2 |
12 |
- 3 |
22 |
3 |
- 2 |
|
п |
|
3 |
|
1 |
|
б |
Г.. = |
10 |
Анализируя данные, приведенные в таблице 59, общим методом, изложенным в данной главе, полу чаем:
2 |
|
2 |
4- (--2)4 -...+3 |
2 |
103 = 44,89 |
2 +3 |
|
|
|
||
S5 |
— |
|
зд + 12 + 63------ 15!-==4.22 |
||
|
|
|
|
|
9 |
^ = - |
4г + 8г+ < -2>’______£ |
— 16.89 |
|
||
5 5 0ш= |
S S 06m— SiSv — S S s = |
2 3 ,78 . |
|
||
.Схема дисперсионного анализа |
приведена в таб- |
||||
-лиде 60. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 60 |
|
Источник изменчивости |
Число |
Сумма |
Средний |
||
степенен |
квадратов |
квадрат |
|||
|
|
свободы |
|||
V', |
|
2 |
|
4,22 |
2 ,1 1 |
Sj |
|
2 |
|
16,89 |
8,44 |
VSn |
|
4 |
23,78 |
5,94 |
|
С у м м а |
|
8 |
44,89 |
|
|
Теперь можно произвести дальнейшее расщепле ние данных этого анализа. Однако надо иметь в виду, что коэффициенты ортогональных полиномов —1,0 и + 1 , относящиеся к результатам, которые получе ны на нижнем, основном и верхнем уровнях фактора, соответствуют квадратическому эффекту данного фак тора.
В таблице 61 указаны коэффициенты для каждого эффекта, причем эффект используется с 9-ыо комби нациями.
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
61 |
||
■Факторы |
|
К о м б и н а ц и и У с л о в и й |
|
SC2i |
|||||||
00 |
01 |
02 |
10 |
1 1 , |
12 |
20 |
21 |
22 |
|||
|
|
||||||||||
V* |
- I |
- 1 |
— 1 |
0 |
0 |
0 |
4-1 |
4-1 |
+ 1 |
6 |
|
v n |
4-1 4-1 |
+ 1 |
- 2 |
- 2 |
- 2 |
4-1 |
4-1 |
4-1 |
18 |
||
£л |
—1 |
0 |
+1 |
- 1 |
0 |
4-1 |
- 1 |
0 |
4-1 |
6 |
|
|
+ 1 |
—2 |
+ 1 |
4-1 |
- 2 |
4-1 4-1 |
- 2 |
+ 1 |
18 |
||
|
4-1 |
0 - 1 |
0 |
0 |
0 - 1 |
0 |
+ 1 |
4 |
|||
^ кв^л |
—1 |
+ 2 |
- 1 |
0 |
0 |
0 |
4-1 |
_ 2 |
4-1 |
12 |
|
_т |
0 |
- И |
+ 2 |
0 |
- 2 |
- 1 |
0 |
+ 1 |
12 |
||
^ кв^кв |
4-1 |
_2 |
4-1 |
- 2 |
+ 4 |
- 2 |
4-1 |
- 2 |
4-1 |
36 |
|
|
1 |
0 |
2 |
- 2 |
4 - 1 |
3 |
1 |
2 |
|
||
Коэффициенты для первых строк, т. е. для Уаш> Уко» 5ЛШ„ SKUt с 9-ыо комбинациями условиями, уста навливаются следующим образом:
V■tf/MIlll
5.„,м/о6
1 . нижний уровень—0 0 , 0 1 , 0 2 —что соответст вует при линейном эффек те — 1 , при квадратиче ском эффекте + 1 .
2 . основной уровень —1 0 , 1 1 , 1 2 —что соответ ствует ири линейном эф фекте 0 , при квадрати ческом эффекте —2 .
3. верхний уровень—2 0 , 2 1 , |
2 2 —что соответ |
ствует |
при линейном эф |
фекте -И> при квадрати ческом эффекте -f-1 .
| 1 . нижний уровень—0 0 , 1 0 , 2 0 —что соответст вует при линейном эффек те — I, при квадратиче ском эффекте -f-1 .
2 . основной уровень—0 1 , 1 1 , 2 1 —что соответ ствует при линейном эф фекте 0 , при квадрати ческом эффекте —2 .
3. верхний уровень—0 2 , 1 2 , 2 2 —что соответ ствует при линейном эф фекте 4 -1 , при квадрати ческом эффекте -f- 1 •
Коэффициенты для КЛ5Л, l^ S KB, ^ КВ5Л, VmSKa. определяются переумножением соответствующим ко эффициентов для основных эффектов. Применяя эти коэффициенты к результатам для каждой комбинации условий, можно получить:
1/л= - 1 Х 2 - 1 х З - 1 Х ( - 2 ) - { - 0 х О 4 - 0 х 4 4 - 4 - 0 Х ( - 3 ) -f- 1 X 2-|—1 х 1 -f-1 х З = 3
1/кп= 1 Х 2 -М Х З -И Х (-2 )-2 х 0 - 2 х 4 -
—2 х ( - 3 ) 4 IХ2-И X Н 1 Х3=7
S ,= - lX 2 + 0 x 3 4 - lX ( - 2 ) - lX 0 f0 x 4 4 - + 1Х (-3) —1Х 2+ 0Х Н 1 Х З = — 6
И?
S,tD= 1X 2 - 2 x 3 + 1X (-2 ) + 1 XO—2X4 +
4 -lX ( —3) + 1X 2 —2 x 1+ 1 X 3 = —14
V, S ^ l X 2+0X 3-1 X (-2 )+ 0 x 0 + 0 x 4 + 0X(—3)—lX 2 + 0 x l+ 1X3=5
V,S „ = - lx 2 + 2 x 3 —1X (~ 2 )+ 0 X 0 + 0 X 4 +
+0 x ( —3 ) + lx 2 —2x 1 + 1x3= 9
V K, S„=—1 Х 2+ 0 Х З + 1 X ( -2 ) + 2 X 0 + 0 X 4 - - 2 x ( - 3 ) - lx 2 + 0 x l+ lX 3 = 3
K D5(B= 1X 2'—2 x 3 + 1 X (—2)—2X0+4X4 — —2 x (—3 )+ lX 2 —2 x 1 + 1 X 3 = 19..
Соответствующие суммы квадратов равны: |
|
|||||||
S S v — |
^ - = - £ - = 1 , 5 , |
SSv s = |
—- - = 6 ,2 5 |
|||||
л |
SC2i . |
6 |
|
л |
л |
4 |
|
|
S S V |
(7)3 |
_ |
2,72, |
SSVms„„«= |
“ 6.78 |
|||
|
18 |
|
|
|
Л |
KB |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
SSv |
кв |
s = - ^ - = 0 ,7 5 |
||
|
|
|
|
|
л |
12 |
|
|
SSs = i= ^ I 3= |
10,89, |
SSv s = ii5 £ _ = 1 0 . |
||||||
° K D |
1 8 |
|
|
V K O * K B |
3 6 |
|
||
Группируя |
эти |
данные, |
получаем |
таблицу |
62. |
|||
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
62 |
|
Источник изменчивости |
Число степеней |
|
Сумма квадратов |
|||||
свободы |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
V'i |
|
|
2 |
1 |
|
4 ,2 2 |
|
|
|
^кг, |
|
|
|
|
1,5 |
||
|
|
|
1 |
|
|
2,72 |
||
s i |
Ял |
|
2 |
I |
|
16,89 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||
VSjj |
$кв |
|
4 |
1 |
|
|
10,89 |
|
VnSj, |
|
1 |
|
23,78 |
|
|||
|
|
|
|
|
6,25 |
|||
|
v* S KU |
|
1 |
|
|
6,78 |
||
|
V^KB5л |
|
1 |
|
|
0,75 |
||
|
Гкв 5кв |
|
1 |
|
|
10,0 |
||
С у м м а |
8 |
44,89 |
Кроме этого метода есть и другой, более простой метод для подсчета суммы квадратов всех эффектов. Этот метод можно назвать методом по диагоналям [1]. Рассмотрим вначале диагонали, идущие вниз слева направо (смотри табл. 59), где главная диагональ, идущая направо, дает О-И—2 ~ — 1 . Здесь последнее значение — 2 находится путем повторной записи этой же таблицы справа от данной, как показано в таб лице 63.
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
63 |
|
Фактор 6' |
|
Фактор |
V |
|
Фактор |
V |
||
0 |
2 |
0 |
2 |
• |
|
2 |
0 |
2 |
1 |
3 |
4 |
1 |
• |
3 |
4 |
1 |
|
2 |
- 2 |
—3 3 • |
- 2 |
—3 3 |
||||
Аналогично следующая диагональ, идущая вниз,, дает 2 + 3—3= 2 . Отсюда сумма квадратов этих трех диагональных членов определяется:
92 + (1)2 + 2» |
№ |
— - ----------------- |
^ - = 17.56- |
В случае рассмотрения диагоналей, Идущих вниз справо налево, их суммы можно подсчитать согласно следующей схеме (таблица 64).
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
64 |
Фактор 5 |
Фактор V |
|
Сумма |
по диагоналям |
||
0 |
2 |
0 |
2 |
I |
2+4—2=4 |
|
1 |
3 |
4 |
I |
U |
1 -3 + 2 = 0 |
|
2 |
- 2 |
- 3 |
3 |
Ш |
3+ 0+3=6 |
|
0 |
2 |
0 |
2 |
Сумма квадратов составляет: |
||
1 |
3 |
4 |
1 |
, 4!+0=+6> |
101 |
g |
2 |
—2 |
—3 |
3 |
3 |
9 |
|
|
|
|
|
|
||
Эти две суммы дают сумму квадратов для взаимо действия
17,56 + 6,22 = 23,78.
Отметим, что в общей сумме квадратов для взаимодействия часть суммы составляет линейный
m
■эффект |
(обозначим |
через у), а часть—квадратический |
|
[1 ]з |
6 . |
|
|
|
/(l/S ) = 17,56, степеней свободы |
2 |
|
|
у (1/5) = |
6 ,2 2 , степеней свободы |
2 |
Сумма Vx«S = 23,78, степеней свободы |
2 . |
||
Иногда их можно написать просто как VS и I/S* взаимодействия KxS. Это означает, что эффекты мож но перемножать, используя модуль 3, так как рассмат ривается факторный эксперимент Зп. Здесь модуль 3 означает, что получаемое число равно остатку от де ления на 3 числа обычной десятичной системы счис ления. Например, 4=>1 по модулю 3, так как остаток при делении 4 на 3 равен 1. Считаются справедли выми следующие соотношения:
0 |
|
6=>0 |
9=>0 |
|
1 |
4=$> 1 |
7=>1 |
1 0 => 1 |
|
2 |
5=>2 |
8 = ^ 2 |
1 1 => 2 |
и т. д. |
Когда используется форма l/n-5m, предполагается, •что для буквы V допускается наличие единственного показателя степени 1, т. е. п —1. С целью получения л = 1 это выражение можно возвести в квадрат и преобразовать по модулю 3. Так, например,
V2S = (V2S)2 —ViS2= 1/S2.
Таким образом, если при анализе встречается л^>1 , то надо возвести в квадрат это взаимодействие и потом преобразовать по. модулю 3 до тех пор, пока не получится п —1. Этот пример можно записать в бо лее удобном виде.тде все эффекты имеют 2 степени свободы, (смотри таблицу 65).
|
Т а б л и ц а 65 |
|
Источник |
Число степе- |
Сумма |
изменчивости |
ней свободы |
квадратов |
|
2 |
4.22 |
|
2 |
16,89 |
|
2 |
17,56 |
|
2 |
6.22 |
Су м м а |
8 |
44,89 |