книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях

					с		m	e t )
	f				<N\	..... _ Д		\	p d )	2/i Of?
	((•				\F		3 ) )
				h					~
			У 1				r-
<4		ф	4	к	fh	~	:		X
NS	:			V	Ф		-
	l	Ф 4 >					:
				2t_f|

Рис. 6.10

стины в плане по предположению существенно превышают длину перемычки между соседними отверстиями. Параметр перфорации определяется как отношение

		К		г				(6.75)
				Т '
Пусть усилия р и /я, прикладываемые к						пластине, действуют
поочередно	и изменяются за		цикл в следующих пределах:
	0 < р (т) <		/л,,	при	m (т) =	0;		(6.76)
	0 <: m (т) с		т *	при	р (х) =	0,
Поскольку постоянная нагрузка отсутствует, условие про­
грессирующего ’разрушения			определяется			из	неравенства
	t	h
	\dy	f min [(as—			Au°] dz < 0,			(6.77)
	r	-h
где под оxx	следует понимать			напряжения		от	каждого	из воз­

действий (6.76)^в отдельности (в соответствии с принятой про­ граммой нагружения).

Для упрощения рассмотрим пластинку с малым значением X, для' которого распределение^напряжений с достаточной точностью описывается периодическим продолжением решения, полученного для плоскости с одиночным отверстием [50].

Напряжения в опасном сечении: при растяжении

a" “ ^ L [ 1+ 0>6 ( T ) , + 1’6 ('5 "V ]’

(6-78>

при изгибе (если принять, что коэффициент Пуассона р — 0,3)

ОЙ’ = [ 1 + 'l,1 0 6 j(- J- )* — 0,318 ( - Jr )*] . г < у < <Г(6.79)

162

Как

видно

из |формул,

рас-

р^/р0

пределеиия

напряжений

вблизи

отверстия

при

растяжении

и из­

jb

гибе не являются подобными: ко-

эффициент

концентрации

у

края

отверстия

в первом

случае

ра-

о/>

вен 3, а

во втором — 1,8.

Распре­

деления

напряжений

при z = h

в перемычке между

отверстиями

L\2

для

отношения

р . к

- =

з

/ 7 2 *

где

-д---—,

Ро =

Ро

а

щ

0

о,г

0/

о,в щ /т д

2osh(\ — К)\ т 0=

osh2( \ — Я),

(6.80)

Рис.

6.12

показаны на рис. 6.11. При данной программе нагружения воз­

можна ситуация, когда	объемлющее распределение напряжений
[доставляющее минимум	подынтегральному выражению	(6.77);
на рисунке оно отмечено штриховкой] неизохронно не		только
по толщине пластины, но и вдоль опасного сечения.

Рис. 6.12 иллюстрирует влияние множественной концентра­ ции напряжений на условия прогрессирующего разрушения (последним отвечает линия 1). Для сравнения линия 2 построена без учета концентрации напряжений, т. е. по осредненным напря­ жениям.

Неизохронное распределение определяющих напряжений «в плане» может реализоваться и при воздействиях на перфори­ рованную конструкцию нестационарных температурных полей. В качестве следующего примера рассмотрим случай периодиче­ ского движения охлаждающей жидкости через отверстия в на­

гретой перфорированной	пластине. Пусть на	пластину		(см.
рис. 6.10) действует постоянное растягивающее		усилие	р	(т) =
= р ==.const [т (т) = 0]	и циклически изменяющееся		темпера­

турное поле, осесимметричное вблизи каждого отверстия и опре­ деляемое следующими условиями:

— t% <t (т) <	0 при г < р < 2г,
t (т) = 0	при 2r < р <	(6.81)
		tt
где р — расстояние от точки , до центра		отверстия.

Если ограничиться достаточно малыми значениями параметра Я, пренебрегая взаимным влиянием отверстий, то для определе­ ния температурных напряжений можно использовать решение задачи термоупругости для плоскости с отверстием [55], периоди­ чески продолжив его на всю решетку:

------ j a E t(т) [ 1 + ( у ) * ] при г < у < 2г;

(6.82)

ой = 4 aE t(т) ( у ) " ПРИ 2r < y < t .

153

С учетом (6.81) минимум подынтегральному выражению в ус­ ловии

р AUot = [ min [(os— ай ) Awo] dz				(6.83)
i	f
доставляется следующими значениями			напряжений:
Oxх	1 + {J J Y ]	ПРИ r < .y < 2 r ,		(6.84)
G*T =	0 при 2r <	у <	t.

Полученное распределение определяющих напряжений яв­ ляется неизохронным. В результате из условия (6.83) находим, что

Р _|___3^ X	__ 1 . 4Q__	(6.85)
Ро ^ 2
		a£ *

Как видно, снижение несущей способности с увеличением пара­ метра X возрастает.

Наличие сетки отверстий в определенных условиях цикли­ ческого нагружения может привести к реализации специфических механизмов прогрессирующего частичного разрушения, отличаю­ щихся от тех, которые имели бы место при отсутствии отверстий.

Вкачестве - иллюстрирующего примера рассмотрим круглую

пластинку, перфорированную по правильной треугольной сетке и защемленную по краю (рис. 6.13), нагруженную не зависящим

от времени давлением		р и	подверженную		повторным	воздейст­
виям	температурного	поля
	— 1 ^	^ ^	1 \ — ty.	(т) ^	t.jj.	(6 .86)
Учитывая изохронность			пластического течения для			z = const
при	воздействиях поля (6.86), используем				для решения задачи

о прогрессирующем разрушении осредненные термоупругие на­ пряжения

&г% = огг/; а{рх = (7Ф/, (6.87)

где ф — коэффициент приведения, определяемый по любой из методик [6, 15, 18]; orti сгф, — термоупругие напряжения в сплош­ ной пластинке;

аг/ = аф, = ^ М - £ = ^ ) ;

*	(6.88)
<?* =	- n q r •

Рассмотрим два возможных механизма разрушения. В ка­ честве первого примем механизм, определяемый выражени-

154

Рис. 6.13

ями (6.3), (6.4) и реализуемый в сплошной пластинке без отвер­ стий. Второй механизм зададим, полагая пластические деформа­ ции сосредоточенными вдоль некоторых линий на срединной по­ верхности (аналогично тому, как это было принято при рассмот­ рении прямоугольной пластины в § 28). Естественно предполо­ жить,. что в пластинке, перфорированной по правильной сетке, пластические шарниры возникнут по наиболее ослабленным се­ чениям, в результате чего она образует шестигранную пирамиду (рис. 6.14).

Условие прогрессирующего разрушения, отвечающее первому механизму, определяется вполне аналогично тому, как это было сделано для защемленной сплошной пластинки. Отличие состоит в коэффициенте ф < 1, содержащемся в формулах (6.87), и в не­ обходимости при определении работы напряжений на фиктивной поверхности текучести проводить интегрирование по сложной многосвязной области. Для упрощения интегралы могут быть вы­ числены приближенно, без учета отверстий, но с введением коэф­ фициентов ослабления уг и у2. Первый из них принимается рав­ ным отношению площадей срединных поверхностей перфориро­ ванной н сплошной пластинок (см. рис. 6.13):

V i = l — - н г - *- '.

(6.89)

где

Коэффициент ослабления у 2 отражает влияние отверстий на протяженность окружного пластического шарнира, образующегося в заделке:

Тз = 1 — к.

(6.90)

155

Предельное условие получим

в

виде

+

(6-91)

где р 0 =

1 1 , 2 6 — нагрузка,

отвечающая

предельному

рав­

новесию

сплошной

пластинки.

Радиус х определяется аналогично тому, как это было сделано

в

§ 25:

3.V2— 2 In я — 3 — 26 =

-----б =

^7 -

<6-92)

С

учетом

(6.92)

из

уравнения

(6.91)

получим

■— = 0 ,5 3 5 ^

(0 «

q„ с

А)\

£ =

0,535(Yl +

Y2) ( l - - 1

- ^

)

(^

<

? , < ! ) .

(6.93)

где

л =

4 ' т

т б <г°;

<

?

°

( ^

-

=

1 ) *

(6-94)

На рис. 6.15 показаны диаграммы приспособляемости. Коэф­ фициенты приведения ф, необходимые для расчета, были взяты из работы [15]; условие приведения состояло в равенстве жест­ костей.

Для возможного механизма разрушения второго (шарнир­ ного) типа предельное условие можно представить в виде

		р J bw dS =	6 J Ai? AOid/ +		6 f M l M 2dl,			(6.95)
		s	и		t2
				где	Arei =	a>0 ( l ----—) ;
				Д61 = Дд2 =			R V 3	’
						*
				М \ = M2=			MQ—	q jt2-,
					h — k =		R ( \ — 72);
					S
					Вследствие того, что цикл
				симметричный (— q* < q (т)С
0	0,z	0,4 0,0	0,8 p/pg	<	?*),	догрузка		осущест­
				вляется		во	всех	шарнирах
Puc.	6.15			(на одном этапе — в радиаль-

156

иых, на другом — в шарнирах, образующих шестиугольник). После преобразований получим

1 = 1 .4 2 ъ ( 1 — 4 - ? 0 -

<6-96)

Этому уравнению отвечают штриховые линии на рис. 6.15. Из диаграммы видно, что при небольшой степени перфорации (Я < 0,5) лучшей верхней оценке для параметров предельного цикла (по условию прогрессирующего разрушения) соответствует механизм первого типа/'в то время как при большем значении параметра перфорации — механизм разрушения с сосредоточен­ ными кривизнами, не характерный для сплошных пластин при тех же условиях.

Г л а в а 7

Приспособляемость оболочек при повторных механических и тепловых воздействиях

Задачи приспособляемости оболочек, являющихся наиболее распространенным элементом конструкций, особенно интересны для приложений теории. Первые решения нетривиальных задач приспособляемости (анализ прогрессирующего разрушения) для оболочек приведены в работе [7]. В них использовалась преоб­ разованная формулировка теоремы Койтера (см. гл. 1). В дальней­ шем некоторые задачи изотермического нагружения оболочки были решены Савчуком в работах [97, 98], где решение отыски­ валось в обобщенных переменных. При этом автор ограничился случаями, когда напряжения в точках, принадлежащих одной нормали, достигают поверхности текучести одновременно. При­ близительно в то же время было опубликовано исследование ра­ боты цилиндрической оболочки, испытывающей циклические воз­ действия внутреннего давления и температуры [72 ]. Анализ про­ грессирующего разрушения (равномерное расширение оболочки без изгиба) и знакопеременного течения был проведен здесь на основе метода, близкого к рассмотренному в гл. 4 методу догрузки. Любопытно, что теория приспособляемости и ее основные теоремы в работе [72] даже не упоминаются.

Последующее развитие методов расчета оболочек, основываю­ щихся как на кинематической, так и на статической теоремах о приспособляемости, и соответствующих инженерных прило­ жений отражено в работах [7, 12, 13, 59, 61 и др.]. Следует отметить также довольно значительное число публикаций ряда английских авторов, посвященных исследованию приспособля­ емости сосудов давления различной формы [79, 86, 88, 91 и др.]. Эти работы характеризуются использованием исключительно статических методов (теорема Мелана) в приближенной (поле остаточных напряжений задается) и строгой (отыскивается опти­ мальное решение с помощью аппарата линейного программиро­ вания) постановках. При этом тип опасного состояния, лимити­ рующего условия приспособляемости (знакопеременное течение, прогрессирующее разрушение), обычно не определяется. Однако условия рассмотренных задач (концентрация напряжений в местах сопряжения оболочек, однопараметрическое нагружение) свиде­ тельствуют о том, что приспособляемость ограничивается здесь, как правило, знакопеременным течением.

158

§ 30. Цилиндрическая оболочка, нагруженная кольцевой нагрузкой, при теплосмеиах

Несущая способность такой оболочки при однократном нагру­ жении рассматривалась А. А. Ильюшиным [23 ] на основе условия текучести Мизеса. При определении условия прогрессирующего разрушения воспользуемся вначале простейшей (и соответст­ венно наиболее грубой) аппроксимацией поверхности нагруже­ ния оболочки, предложенной Друккером (см. 181]),— так на­ зываемым «квадратным» условием (рис. 7.1)

		max (| « ф |,	| mv |) = 1,			(7.1)
где лф =	Ay/V0;	т х = МХ1М0\	N0 =	2osh;		М а = <J S/I2; ЛГф —
окружное	усилие;	Мх — осевой	изгибающий			момент.
Предположим,		что оболочка	(рис.	7.2)	достаточно длинная

и влиянием условий на ее торцах можно пренебречь. Цикличе­

ски изменяющееся температурное	поле	приближенно	примем
в виде	0	(т) < t.Mi	(7.2)
t (т, Q = t0(т) + & (т),

причем для определенности будем считать, что нагрев осущест­

вляется снаружи.	При этом	термоупругие	напряжения [55]
a «	= 0<$ —	С =	4 - .	(7.3)
Предполагаемый	механизм	разрушения	оболочки	показан

на рис. 7.2 тонкими линиями. Он определяется выражением

Aw =	bw0( l — l)f 6 =	Lo	1 0 < Е « 1 ) .	(7.4)
Следовательно,
Д ,|,= ±	^ ; Aarp = - ^	L =	_ ^ L ( l - i ) .	(7.5)

159

Будем считать, что наиболее неблагоприятная программа нагружения отвечает условию Р = Р% = const (в дальнейшем это будет проверено). Области, в которых тепловые напряжения совершают догрузку, можно определить, если сопоставить рас­ пределение приращений деформаций (7.5), соответствующих дан­ ному механизму, с распределением температурных напряжений (7.3). Из рис. 7.3 видно, что областью догрузки охватываются на­ ружные слои оболочки (0 с £ < 1), а также средний кольцевой шарнир [для которого показано распределение Ае^ = Де^ (ф)]. При выравнивании температуры оболочки скорости пластической деформации станут отличными от нуля во внутренних ее слоях (—1 < £ < 0) и в крайних шарнирах 2 (области разгрузки). Если одно из направлений (внешней силы Р или теплового по­ тока), изменить на противоположное, области догрузки и раз­

грузки,

естественно,

поменяются местами.

Уравнение (1.69)

применительно

к

данной задаче

примет

вид

1

1

Я* Лшо =

2Loh J dl

I

min [(<rs— 0$ ) Де^,] dZ, +

0

-1

T

+

4 min [ { M o —

(7.6)

Где M..T

2aEhill (T )

•

3 (1 —Ц)

После выполнения необходимых преобразований с учетом

указанных выше

областей

догрузки

[здесь

минимумы в

правой

части

уравнения

(7.6)

обеспечиваются

при

= о^т,

Мй =

=

М *\,

где звездочкой

отмечены значения,

отвечающие

t (т) =

=

U

и

разгрузки (a <f) =

о ,

М% =

0)

будем иметь

где Р = ф

ременного

			(7.7)
а		2 a ,(l- ц )	началу знакопе­
	^ --------^ ----- соответствует
, a	<° =
течения. Наилучшее приближение			к точному реше-

160

нию найдем путем минимизации выражения (7.7) по L. Это дает

	а		2 - р				(7.8)
Отсюда,	в	частности,			следует, что
с увеличением интенсивности тепло-
смен длина		L 0	несколько			убывает.
Заметим,	что		при	р =	О из		выра­
жений (7.7) и (7.8) можно							полу­
чить известное			решение			для	пре­
дельной	нагрузки			М±
	/>0 =		41/2				(7.9) Рис. 7.4
				V m

С учетом выражений (7.8), (7.9), условие прогрессирующего разрушения (7.7) может быть приведено к виду

■&= КО-Т-РН1--1-Р)-

(7-10)

В интервале 0 < р < 1 полученная зависимость близка к ли­ нейной (рис. 7.4, линия 3). Используя решение для «упругих» напряжений, обусловленных внешней нагрузкой Р [55], нетрудно убедиться, что они совершают положительную работу во всех точках оболочки, где перемещения (в соответствии с рассмотрен­ ной схемой разрушения) отличны от нуля. Следовательно, про­ грамма Р = const, как и предполагалось, является наиболее неблагоприятной (в отношении прогрессирующего разрушения) последовательностью нагружения.

Условию знакопеременного течения на диаграмме соответ­ ствуют две линии: линия 1 — при произвольной программе на­ гружения, отвечающая выражению

U 7 - £	- + P = l ,	(7.11)
г	0

и линия 2 — при теплосменах, кЬгда'Р = const.

Таким образом, при произвольной программе нагружения область приспособляемости определяется линией 7, а при Р = = const линиями 2 и 3. При Р = const снижение несущей способ­ ности оболочки в связи с опасностью прогрессирующего разру­ шения от действия теплосмен может достигать почти 60% (при р < 1, т. е. когда знакопеременное течение еще отсутствует). Анализ показывает [7], что полученное решение отвечает стати­ чески допустимым распределениям напряжений на всех этапах цикла и, следовательно, в рамках принятых допущений может рассматриваться как точное.

Решим ту же задачу на основе статического метода с исполь­ зованием аппарата линейного программирования. Он включает

6 Д. Л. Гохфельд, О. Ф. Чернявский

161