книги / Обобщенная теория анизотропных оболочек

Отсюда находим следующие граничные условия:

	« к +	л	» = 4 - «й** -	4 - ( 4 - ) ’ « я -			+ « л *	(20.6)
			oSS — Re [/		.	* е [0. ЛГ].
Если же на поверхности Sv задан вектор перемещений u =								uv\ +
+ s +	ипп, то на границе L области S					имеют место равенства
	u+ —		iz (я? + (и ? \ u p = я »				к ? |0, ЛГ|,	(20.7)
			ds
где «<\	а Р ,	«Р	— моменты заданныхна L функций.
В случае,		когда на 5 V заданы			нормальные составляющие вектора
перемещений ип и тангенциальные компоненты							тензора напряжений
Cw, оVs, граничные условия на L имеют вид
	ой + tog>- 4- о Г			- 4- (-|-)2(ol? -			ОЙ+ 2Ш§у,	(20.8)
			„Ш _	,.<*>	А£[0, N1
			“я =	и3 ,

Следует отметить, что возможны и другие виды граничных условий. Однако ниже ограничимся лишь указанными тремя типами условий.

Назовем задачей I оп­ ределение решений уравне­ ний равновесия оболочки, удовлетворяющие гранич­ ным условиям (20.7), зада­ чей II — определение того же решения, удовлетворя­ ющего граничным усло­ виям (20.6) и задачей I I I —

определение указанного ре­ шения при выполнении ус­ ловий (20.8).

2. Случай точного удов­ летворения граничным ус­ ловиям на лицевых по­

верхностях. Выразим граничные условия сформулированных в п. 1 краевых задач через функции Wp и Qs, представляющие общее

решение уравнений равновесия оболочки. Согласно данному решению

граничные условия (20.7) примут вид
42+3	ят	2<л-Н)
		А £[0, 2Л + п ,	T £L;	(20.9)
2		= а ? — (уТр~ +	уf Я+),	k е ю, 2л],
р=1

где Я = R Я3/св0; Р+ = Р Я8/свв.

Для того чтобы представить в таком же виде граничные условия (20.6) и (20.8), необходимо выразить входящие в них моменты компо­ нент тензора напряжений через моменты компонент вектора переме­ щений и использовать общее решение (15.38). Согласно формулам (15.5) и (15.8) будем иметь

4п+3

1

[ t

t f ' K

+

(ГЧ 'р - + Гf

/>+ ) | ;

4/1+3

o f f - o ff + 2 io i, = 4o„Rh J

+

2(n+l)

dz

\Л

дг I

*GtO, 2 n +

1];

(20. 10)

o f f =

[ J ; 3

+ ( f f f p - + f? p + > ];

‘4/1+3

2(n+l)

I

o f

- Cah |

Y i

«i*f

-

+

‘

S

off • +

] .

k € [0,

2n].

&

Здесь введены

такие

обозначения:

С4б

V

К

/<?

^

( ^ . + .. +

_ П с Г Н>) +

.(2/)

^ - J +i (4/ + 1}<9

+

А ■= 2m +

1;

- ^ - [ ( 2 о ? ™ - 0 «” > ) 4 + 2 ( 4 / + 3) йН

.

А = 2 т ;

*

L

Л4

/=ШДв

'

' "

J

С44

*

+

£

( 4 / + 1 ) а ш

* ? - ■

^ [ ( 2 ^ + ' > _ аГ+1))

2<?/

/=111+1

г.«<)

■(2^

+“

~

o

f +1,)- |- ],Л - а я

+1;

(20. П

2с,Й

г [ ~

X

^

+

( £71

(4/ +

3) Г

+ |>],

JА7=

2m ;

«!*

c4i

х ( 6 ? “+ч.

2с.

£ - [ -

е + И ) + Д

1(4' + 1) ^ ,}

А= 2 т +

	2(C’C « —		Д +	- а - 1 ( «	+	8)1ЙН.		* =	2т;
Г<А) _	2 (Cj2 +	сОо) ^	72m+l		<—	,
	ca6R			cn cceR V2n+I +
	+ -£*	£	( 4 / + l ) t f ? +		2c13h			k — 2m - f 1.
						3) c33R	’
	c6it	/tsm-Н		(4n +
Значения постоянных /£°, Г^}				получаем	соответственно				из	Ш
путем замены отношений			—2	Cflна —	и — на —			, а Г<£, Г£> еле-
дуют из Г—, п 5 ,		если заменить в них уГ на yjt					и отбросить послед­
нее слагаемое.

Учитывая равенства (20.10), граничные условия (20.6) преобраауются к виду

4л+3	,	_	4 „	4л+3
2	4 Х - 2 т ( -	| -	) а[	| 1а' » ± ( - £ --£ ■ ) +

+.'2(п+1)§« ч а щ

п(к) |	^(А)	+ г<*>/>+),		k € [0>2п + 11;
w +	vs__ Q M p r -
соо			2(п+1|
_	/4п + 3			«<*)	т<*)
	(й)	j _	. v		vn
Re а д т г ( 2 < * ^ - + ' 2 «				ai	Сбб
	P=I
	&е[о,		2п],

а условия (20.S) запишутся таким образом:

						+
	/	2(n+t)	/,<*> J L	/_L	dQs	\
		У
+	‘	к	*	U	T T	)
		(Г !? Р -+		Г!£>/>+),		*£[0, 2п + Ц;
4п+3
п
Г	=	и?1 -	(у7Р~ + f t Я+), А € [0, 2п].
2 , 4 Х

РР=1-

(20. 12)

(20.13)

3. Граничные задачи пологих оболочек. Упростим полученные выше граничные условия, исходя из допущений, используемых в тео­ рии пологих оболочек. Напомним, что под пологими оболочками под­ разумевают оболочки, в которых отношение стрелы подъема к мини­

и в задаче III
4Л+3
Е # г , - т	( - § - ) ( Е 0 4 r + ‘ E ь?			=
^ ^ ( a $ + * o ® ) — (Г!!)Я” +		Г$)Р+),	[0.2л -f-1], т £ Ц	(20.20)
^'бб
‘1«+3			?2Т>+), k 6 [0, 2я].
S е?'»'. = и ? -		(тГР- +
D = i

$ 21. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ, ОСЛАБЛЕННОЙ ОТВЕРСТИЕМ

Рассмотрим задачу об определении напряженно-деформированного состояния сферической оболочки, ослабленной круговым отверстием радиуса /•„=*/? sin 0О. Допустим, что оболочка находится под дейст­

вием равномерного внутреннего давления интенсивности q (P~z =*

= —q\ P$s = 0) и внешних нагрузок, приложенных к контуру отвер­

стия. В полярной системе координат граничные условия (20.19) имеют вид

4я+а		Л	4rt+3			_(А)	„„„„	2(л+1)		\	2/ф_
			/	V				I /	у* и(Ь)	dzQs I
Е 0 . + - в г (			1	Е	“»		№	~	лЦ 5 ^2 /
р«1		2R		" ,		"			"	W
	- . - Г <V + -l-(offi + tol8),								*е[0. 2л+П;		(21.1)
				свв
Г/ 4 п + 3				2(я-Н>
Rej( ^	m f	+	<	2		я ? - Ц - ) е-'ф| =				A	k 6 [0, 2л],
l\ P=1				S = 1

w e Л — j £ - !

4(ci. + c..)'»

+

S ( 4 s + 3)v2.+b b = 2m;

	свй«	coo s==m
Г(А) _	4 (cT, + c*n) h	4 £МЗЛ A

I

/01 ОЧ

( 2 L 2 )

, & = 2 m -f-l,

причем у* = ~Y (Y* — Y^)*

Известно 194], что отверстия в оболочках вызывают некоторые возмущения основного напряженного состояния и эти возмущения локализуются в окрестностях данных отверстий. Определение указан­ ного возмущенного состояния (или концентрации напряжений)

является одним из основных вопросов в задачах расчета оболочек, ослаб­

ленных

отверстиями.

На примере сферической оболочки с круговым

отверстием

иссле­

дуем

влияние поперечных деформаций

на распределение напряжений

в окрестности отверстия

При этом необходимо учитывать, что основное

напряженное

состояние

оболочки

описывается

частным

решением

(15.13),

а возмущенное — решением

уравнений (20.15),

(20.16).

Допуская, что корни характеристического уравнения (15.25) про­

стые

будем

считать,

что оно имеет л, вещественных положительных

корней,

л2 — вещественных

отрицательных

и

2л3 — комплексно-со­

пряженных

корней;

пх -f л2 + 2л3 =

4л +

3.

Согласно

этому

пред­

положению функции

WD представим

в таком

виде:

£

lC T J m{Kpe) + C£,Y m{xlfi)leim ,

p e l l ,

n j;

f7l=---оо

%

[ C ° ^ K e0) +

(к„0)] е‘т\

(21.3)

т= —оо

р£[П! +

1, «1 + П2]\

w p =

s

[С Г ’^ а

д

+ с М

’М

) ]«"”*.

m==—оо

Р€ [пг 4- щ +

1.

пг +

п24- л3],

где

(хр0),

Ym (хрб) — функции

Бесселя первого и второго

родов;

1т (хр0),

Кт (хр0) — модифицированные

функции

Бесселя;

Н $ (хр0),

Нт (нр0) — функции

Ханкеля; хр =

kp ]

/ "

Поскольку

Wp при р £

€ [1, пх + л2]

предполагаются действительными функциями, то

долж­

ны иметь место равенства [251:

р * (Р )__Р>.

/^(Р)

__

•

U—m

т —

В такой же форме представим функции

т. е.

« . =

S гс;'в,у „ (х .в )+ с Г к „ (^ е )]е " ”ф.

« е п ,

«[ц

Л 1 = —-ОО

й

, -

Ё

(С '" /т (v,9) +

(v,6)|е “”\

se in i + 1, n \+ n i\,

m=s—оо

(21.4)

f t .=

£

[C'<!|ym (v,0) +

C ? W

(v,0)] elm\

/7 1 = — OO

S € [fll +

^2 +

1, HI -f- Л2 -f- Л3],

где v5 =

X5

; n\,

«г и л з — числа, обозначающие соответственно

количество вещественных положительных, вещественных отрицатель­ ных и комплексно-сопряженных корней характеристического урав­

нения	(15.40),	причем п\ + ti2 + 2/гз =	2 (п + 1); и так как	при
5 £ [1,	rti 4- «г!	вещественные решения,	то
		—m —	_/V(s)
			— '-'m •

Поскольку область возмущения напряженно-деформированного со­ стояния оболочки имеет локальный характер, то постоянные СщР), Ст(5>примем равными нулю. Учитывая это и принимая во внимание

дифференциальные операторы (20.17), находим производные функ­ ций Wp:

		dz		2	x^CiS’Ym -i(*„0)е11” - ' 1*;
				т=—©о
	■ ^	- =	2	( -	1)‘ к1>Ст/(т _/ (Хрв)	'>®;	(21.5)
	oz	т=—оо
		% -	=	V	н И ,/Л1,_,(нре)е'," - Чф;
		Йг		г?г=—оо
=	2	( -	1 r+'x'p&SnHg-, (^в) еЧп- ,щ			( ( = 1 , 2 , . . . ) .
'V	W=--ОО

Допустим, что моменты компонент тензора напряжений на контуре отверстия можно представить в виде рядов Фурье, т. е.

т - юВ - й » ) - 2 ( Д - . - О * " " ’;
	т=—оо	(21.6)
т - а й =	2 /& 'яф( $ и , = ЙЙ).
GO	—оо

Если внести разложения (21.3), (21.4) и (21.6) в граничные условия (21.1) и учесть при этом значения производных (21.5) и аналогичные им для функций Qs, то получим следующую систему алгебраических уравнений:

	tit	Л»+Л|		-nSfi-з («„е0) ей’ +
	2 & -!(Хрв0)с1г, +		2
	Р*—I	Peftj-J-1
+	§	1 й и (Хрв0) cg> +			( - 1Г tS U (« А2»1) с!-
	р=(1|-Ьп,+1	и
	П1		«1+п2
	2	Й - 2 (V.9.)С™ +	2		Ч « 2(гА)СЙ" +
	5=1		г

s*ni+I

•р

	И1+ П2+«3
+	.2	[й ‘1 2(фА )С й в +	( - 1 г а ‘22к е 0)с 1 » )
	s^ l+^ + l
	~~ fim* if2т** k € [0,		2п -}- 1J, т ^ 0;

П|		я,+л,
£	im+2 (Хрбо)	+ £ 'Пгй-г(ир90) Cm5 +
D=1		P«=rtj+I
«1+Я|+Я»		_	.
+ £	ICm+2 («Д)	Cm + (— l)m fm+2 (Wp®o) C-m] 4*

			n\	&%Ф&)С1'>+				n\+r*2		(v,e0)cl" +
	+	l	£					^	т й
			*” 1					s-rtj+l
	rtj+n2+n3									_
+		J .		K 5 ^ ( v . e j e			+	( - i r O 1 . s K 0 o)C ia ] l			=
		= ft-*,, + iftf-m. Ш0, 2n+l],								m > 1;	(21.7)
		/2j					Л,+Ла
		£ U 1*’ (*A ) cS? +						£	4 “ ’ (*A> c™ +
		p—1					P=n,+1
+		£		(£'*' (*A ) cSP + ( -					i f £ / ’ (»A)		+
	Р-л,+л*+1
			'					«1+^2
		1 /lj
			£ Й'*’ (vA) &J” +					3*=flj+l
	t	r						£	Т Ь ^А )С У +
			f
	n l + n2 + n3							'
+			S=I
		,£,		ic f* (VA )c™!>+ (— i f ct“ ’ (v A )2 -i]
	»=п1+«2+1
				= — f£h,		&€10,		2л],	m > 0.
Здесь введены обозначения:
		/й?1-		.?й>=		№ — l f 8 — Г ^ о , m = 0;
								ri*)	Ш > 1 ;
	em±2(xA) ~				^ Z m(* A ) "b 2ft					±г(KA )*
			A ( VA )= - ^ - ^ 4 z m±:!(vA);
			A )~		~2~mP*Ke		m+1(«A> —^m—1(XA)I>
	Tliri* * (*A ) «				-iTtpVp[/Cm+, (xoe„) -f- /Cm—1 (»A)];
	K 1* (xA) = 4- «1 .4 wffin («А» -									flfii-i («A ll;
		Й "1(vA) = 4				n“ >v-tK”+> <VA> + K» -' (VA)J;

я»'*(VA> = -f Л‘‘Ч IK-.+1 (v>®.) - кт- 1 (v,ec)i;

A *1(vA) = -±-Я*‘Ч №%+>(»А) + «SL, (vtK0)j,

причем

& =

А , , А й

A d . А й

Z « ± 2 (Y A

) —

J/ M * 2 (Y A ).

^Cm±2(Yl®o).

^ m ± 2 (Y A ) .

Yl =

K p>

V ..

Определив функции

и Qs,

согласно формулам

/4а+3

\

<48 +

А

-

2с„ Ц ; #>Г Р +

Г<*ч);

(/4гг4«1«-1-3у

2(п4-1)

2

“?

-

^

—

*•

2

a*as

I e2f4»;

Ь?

Й22

( 4n+,3

P = l

2(л-Н)

S=l

\

V

т №)

;

V

^ 3

I в(ф,

(21.8)

Wlp

fe

^

2тJ

~~dz~~ I ^

P = l

S=1

/

где Ijto

и

< $

=

c„. (

T

* Й Х

+

г**1/>.).

из

ip

f (ft>— постоянные,

получающиеся

соответственно

и Г<*>

путем

замены

отношений

gl2~f- -

на

и

на

,

на-

с0в

с«9

свв

с9«

ходим моменты компонент тензора напряжений. Далее, используя

равенства

а«„ =

Т

' (* +

- т ) р*®

(“ . 3 “ 9, Ф);

0(3 -

4 -

S

(4ft +

1) [ft* (Е) -

ft.+2 (E)I ogf +

лЛ *,_n

+

1 ■s ' («* +

3) Ift*+1 (E) +

Р2Л+3(01 <Jn+" +

2^

+

-*$■ f t

[fta+1 (E) -

ftn+2 (E)l

(i = 0. <P. 3),

(21.9)

в которых

ра =

0 (а =

0,

ф);

р3 =

р0> определяем

компоненты

на­

пряжений оболочки.

Рассмотрим некоторые частные случаи: а) допустим, что на контуре

отверстия	задана	перерезывающая |сила Q03 = а^з = — 21®. (г0 =■
■= /? sin 0О).	Пусть	W = 1. Тогда

/Й + 1 / Й - О (А = 0 , 1 ) ; / 8 = - f t s in O ,.

(2 1 .1 0 )

	Из общего решения (15.39)
следует,			что	пх =		1, п2 =		О,
		1 >	/	.	^ .		г
fZg	=		П\ ” *	1 >	^ 2	• ,	tl-S	*2
=	0. Поэтому			система			урав­
нений (21.7) принимает							вид
		S3,(*i0o) C S 4
		+	£—2 (Нг^о) Со"1+
+		Й М о ) ^ =				- г	\
		£—2 (И2®о) ^02) +
+		С-2(«29о)С{)2) =				- Г	(1>р0;
							(21. 11)
	&Г'о>(х20о)С^ +					^ <ШX

X (^2®о) Со ~ Ро sin OQJ

б) пусть на контуре отверстия приложен крутящий момент Ое'ф = Н (Н = const). Тогда

ffo + if20 = 0; /|о -f- if20 =

0. (21.12)

и система уравнений (21.7) (при Ро — 0) приводится к

виду

f f l( v 1e0)Ci,,,+

+ i)3 (v 2e0)C0121 = 0;

f f l w u c y + n s w u х

Х С ? = ^ - . (21.13)

Таким же способом полу­ чаем аналогичные системы уравнений для последующих приближений.

На конкретных примерах исследуем вопрос об измене­ нии напряженно-деформиро­ ванного состояния оболочки в зависимости от изменения упругих постоянных матери­ ала. На рис. 7 и 8 представ­ лены кривые изменения ок­

но